《数论的方法技巧》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数论的方法技巧（9页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、页共第十三页第1讲数论的方法技巧(上)数论是研究整数性质的一个数学分支，它历史悠久，而且有着强大的生命力。数论问题叙述简明，“很多数论问题可以从经验中归纳出来，并且仅用三言两语就能向一个行外人解释清楚，但要证明它却远非易事”。因而有人说：“用以发现天才，在初等数学中再也没有比数论更好的课程了。任何学生，如能把当今任何一本数论教材中的习题做出，就应当受到鼓励，并劝他将来从事数学方面的工作。”所以在国内外各级各类的数学竞赛中，数论问题总是占有相当大的比重。小学数学竞赛中的数论问题，常常涉及整数的整除性、带余除法、奇数与偶数、质数与合数、约数与倍数、整数的分解与分拆。主要的结论有：1. 带余除法：若
2、a，b是两个整数，b0，则存在两个整数q，r，使得a=bq+r(0rb),且q，r是唯一的。特别地，如果r=0，那么a=bq。这时，a被b整除，记作b|a，也称b是a的约数，a是b的倍数。2. 若a|c，b|c，且a，b互质，则ab|c。3. 唯一分解定理：每一个大于1的自然数n都可以写成质数的连乘积，即其中p1p2V-Ypk为质数，al,a2,，ak为自然数，并且这种表示是唯一的。(1)式称为n的质因数分解或标准分解。4. 约数个数定理：设n的标准分解式为(1)，则它的正约数个数为：d(n)=(a1+1)(a2+1)(ak+1)。5. 整数集的离散性：n与n+1之间不再有其他整数。因此，不等
3、式x14，说明：求解本题所用的基本知识是，正整数的十进制表示法和最简单的不定方程。例3从自然数1,2,3,，1000中，最多可取出多少个数使得所取出的数中任意三个数之和能被18整除？a+b+c=18m，a+b+d=18n，其中m，n是自然数。于是c-d=18（m-n）。上式说明所取出的数中任意2个数之差是18的倍数，即所取出的每个数除以18所得的余数均相同。设这个余数为r，则a=18a1+r，b=18b1+r，c=18c1+r，其中a1，b1，c1是整数。于是a+b+c=18（a1+b1+c1）+3r。因为18|（a+b+c）,所以1813r,即61r,推知r=0,6,12。因为1000=55
4、X18+10:所以，从1,2,，1000中可取6,24,42,，996共56个数，它们中的任意3个数之和能被18整除。例4求自然数N,使得它能被5和49整除，并且包括1和N在内，它共有10个约数。解：把数N写成质因数乘积的形式由于N能被5和72=49整除，故a31,a4n2,其余的指数ak为自然数或零。依题意，有（a1+1）（a2+1）（an+1）=10。由于a3+12,a4+1支3,且10=2X5,故,=an+1=1a1+1=a2+1=a5+1=四页共第十三页即a1=a2=a5=an=0,N只能有2个不同的质因数5和7,因为a4+132,故由（a3+1）（a4+1）=10知，a3+1=5,a
5、4+1=2是不可能的。因而a3+1=2,a4+1=5,即2-15-14=12005。XN=57=57X例5如果N是1,2,3,，1998,1999,2000的最小公倍数，那么N等于多少个2与1个奇数的积？1011=20482000，每一个不大于2000的自然数表示为质因数=1024，22解：因为相乘，其中2的个数不10，所以，N等于10个2与某个奇数的积。数不多于10个，而1024=2说明：上述5例都是根据题目的自身特点，从选择恰当的整数表示形式入手，使问题迎刃而解。二、枚举法枚举法（也称为穷举法）是把讨论的对象分成若干种情况（分类），然后对各种情况逐一讨论，最终解决整个问题。运用枚举法有时要
6、进行恰当的分类，分类的原则是不重不漏。正确的分类有助于暴露问题的本质，降低问题的难度。数论中最常用的分类方法有按模的余数分类，按奇偶性分类及按数值的大小分类等。例6求这样的三位数，它除以11所得的余数等于它的三个数字的平方和。分析与解：三位数只有900个，可用枚举法解决，枚举时可先估计有关量的范围，以缩小讨论范围，减少计算量。设这个三位数的百位、十位、个位的数字分别为X,y,z。由于任何数除以11所得余数都不大于10，所以x2+y2+z210,从而1VxV3,0y13，摸17次是不可能的，所以摸了3次，3张扑克牌数字之和是17，可能的情况有下面15种：1,6,101,7,91,8,88,7,2
7、9,6,210,5,2六页十三共页第3,4,103,5,93,6,83,7,7（11）4,4,9（12）4,5,8（13）4，6，7（14）5，5，7（15）5，6，6只有第种情况可以满足题目要求，即3+5+5=13；3+3+9=15；5+9+9=23。这3张牌的数字分别是3，5和9。例9写出12个都是合数的连续自然数。分析一：在寻找质数的过程中，我们可以看出100以内最多可以写出7个连续的合数：90，91，92，93，94，95，96。我们把筛选法继续运用下去，把考查的范围扩大一些就行了。解法1：用筛选法可以求得在113与127之间共有12个都是合数的连续自然数：114，115，116，11
8、7，118，119，120，121，122，123，124，125，126。分析二：如果12个连续自然数中，第1个是2的倍数，第2个是3的倍数，第3个是4的倍数第12个是13的倍数，那么这12个数就都是合数。又m+2,m+3,，m+13是12个连续整数，故只要m是2,3,，13的公倍数，这12个连续整数就一定都是合数。解法2:设m为2,3,4，13这12个数的最小公倍数。m+2,m+3,m+4,，m+13分别是2的倍数，3的倍数，4的倍数13的倍数，因此12个数都是合数。说明：我们还可以写出13!+2,13!+3,，13!+13（其中n!=1X2X3XXn）这12个连续合数来。同样，个连续的合
9、数。m是+m+1!）m+1（,，+3!）m+1（,+2!）m+1（七页十三页共第三、归纳法当我们要解决一个问题的时候，可以先分析这个问题的几种简单的、特殊的情况，从中发现并归纳出一般规律或作出某种猜想，从而找到解决问题的途径。这种从特殊到一般的思维方法称为归纳法。例10将100以内的质数从小到大排成一个数字串，依次完成以下5项工作叫做一次操作：（1）将左边第一个数码移到数字串的最右边；（2）从左到右两位一节组成若干个两位数；（3）划去这些两位数中的合数；（4）所剩的两位质数中有相同者，保留左边的一个，其余划去；（5）所余的两位质数保持数码次序又组成一个新的数字串。问：经过1999次操作，所得的
10、数字串是什么？解：第1次操作得数字串711131131737；第2次操作得数字串11133173；第3次操作得数字串111731；第4次操作得数字串1173；第5次操作得数字串1731；第6次操作得数字串7311；第7次操作得数字串3117；第8次操作得数字串1173。不难看出，后面以4次为周期循环，1999=4X499+3，所以第1999次操作所得数字串与第7次相同，是3117。例11有100张的一摞卡片，玲玲拿着它们，从最上面的一张开始按如下的顺序进行操再把原来的第三把下一张卡片放在这一摞卡片的最下面。把最上面的第一张卡片舍去，作：八页十三页共第张卡片舍去，把下一张卡片放在最下面。反复这样
11、做，直到手中只剩下一张卡片，那么剩下的这张卡片是原来那一摞卡片的第几张？分析与解：可以从简单的不失题目性质的问题入手，寻找规律。列表如下：设这一摞卡片的张数为N，观察上表可知：a（a=0,1,2,3,）时，剩下的这张卡片是原来那一摞卡片的最后一张，（1）当N=2a张;即第2aam2（+m）时，剩下的这张卡片是原来那一摞卡片的第2m张。（2）当N=26+36，2X36=72,所以剩下这张卡片是原来那一摞卡片的100=2取N=100,因为第72张。说明：此题实质上是著名的约瑟夫斯问题：传说古代有一批人被蛮族俘虏了，敌人命令他们排成圆圈，编上号码1,2,3,然后把1号杀了，把3号杀了，总之每隔一个人杀一个人，最后剩下一个人，这个人就是约瑟夫斯。如果这批俘虏有111人，那么约瑟夫斯的号码是多少？例12要用天平称出1克、2克、3克40克这些不同的整数克重量，至少要用多少个祛码？这些砝码的重量分别是多少？分析与解：一般天平两边都可
