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1、河南省豫南九校2018届高三下学期第一次联考试题理科数学第卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，则（ ）A B C D2.复数 (为虚数单位），则（ ）A2 B C1 D 3.的值为（ ）A B C D 4.抛物线的焦点坐标为（ ）A B C D 5.将函数的图像上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平移个单位，则所得函数图像的解析式为（ ）A B C D 6.某空间几何体的三视图如图所示，均为腰长为1的等腰直角三角形，则该几何体的表面积为（ ）A B C D 7.九章算术中的“两鼠
2、穿墙”问题为“今有垣厚五尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢？”可用如图所示的程序框图解决此类问题.现执行该程序框图，输入的的的值为33，则输出的的值为（ ）A4 B5 C6 D78. 已知直三棱拄中，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）A B C D 9.已知两定点和，动点在直线上移动，椭圆以为焦点且经过点，则椭圆的离心率的最大值为（ ）A B C D 10.已知的三个内角的对边分别为，若，且，则的面积的最大值为（ ）A B C D 11.在的展开式中，项的系数等于264，则等于（ ）A B C D 12.已知实数满足，则（ ）A B C D 第卷（共90
3、分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知实数满足则的最大值为 14.已知向量满足，则向量在方向上的投影为 15. 已知直线过圆的圆心，则的最小值为 16.下列结论：若，则“”成立的一个充分不必要条件是“，且”；存在，使得；若在上连续且，则在上恒正； 在锐角中，若，则必有；平面上的动点到定点的距离比到轴的距离大1的点的轨迹方程为.其中正确结论的序号为 (填写所有正确的结论序号）三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 设正项等比数列，且的等差中项为.（1）求数列的通项公式；（2）若，数列的前项和为，数列满足，为数列的
4、前项和，若恒成立，求的取值范围.18. 四棱锥中，底面为矩形，.侧面底面.（1）证明：；（2）设与平面所成的角为，求二面角的余弦值.19.某地区某农产品近几年的产量统计如下表:（1）根据表中数据，建立关于的线性回归方程；（2）若近几年该农产品每千克的价格(单位:元）与年产量满足的函数关系式为，且每年该农产品都能售完.根据（1）中所建立的回归方程预测该地区年该农产品的产量；当为何值时，销售额最大？附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，.20.已知点，圆，点是圆上一动点，的垂直平分线与线段交于点.（1）求点的轨迹方程；（2）设点的轨迹为曲线，过点且斜率不为0的直线与交于两
5、点，点关于轴的对称点为，证明直线过定点，并求面积的最大值.21.设函数.（1）当时，恒成立，求的范围；（2）若在处的切线为，求的值.并证明当)时，.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程已知直线的参数方程为（为参数)，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为.（1）求圆的直角坐标方程；（2）若是直线与圆面的公共点，求的取值范围.23.选修4-5：不等式选讲已知均为实数.（1）求证：；（2）若，求的最小值.试卷答案一、选择题1-5: DCBBB 6-10: ACCAB 11、12：AC二、填空题13. 1
6、14. 15. 16.三、解答题17. （1）设等比数列的公比为，由题意，得解得所以 （2）由（1）得，若恒成立，则恒成立，则，所以.18.解：（1）证法一：设中点为，连接，由已知，所以，而平面平面，交线为故平面以为原点，为轴，为轴，如图建立空间直角坐标系，并设，则所以，所以.证法二：设中点为，连接，由已知，所以，而平面平面，交线为故平面，从而 在矩形中，连接，设与交于，则由知，所以所以，故由知平面所以. （2）由，平面平面，交线为，可得平面，所以平面平面，交线为过作，垂足为，则平面与平面所成的角即为角所以 从而三角形为等边三角形，（也可以用向量法求出，设，则，可求得平面的一个法向量为，而，由
7、可解得）设平面的一个法向量为，则， 可取设平面的一个法向量为，则，可取于是，故二面角的余弦值为.19.解：（1）由题，所以，又，得，所以关于的线性回归方程为.（2）由（1）知，当时，即2018年该农产品的产量为7. 56万吨.当年产量为时，销售额(万元）， 当时，函数取得最大值，又因，计算得当，即时，即2018年销售额最大. 20.解：（1）由已知得：，所以又,所以点的轨迹是以为焦点，长轴长等于4的椭圆，所以点轨迹方程是.（2）当存在时，设直线，则，联立直线与椭圆得，得，所以直线，所以令，得，所以直线过定点，（当不存在时仍适合）所以的面积，当且仅当时，等号成立.所以面积的最大值是.21解：由，当时，得.当时，且当时，此时.所以，即在上单调递増，所以，由恒成立，得，所以.（2）由得，且.由题意得，所以.又在切线上.所以.所以.所以.先证，即，令，则，所以在是增函数.所以，即.再证，即，令，则，时，时， 时，.所以在上是减函数，在上是增函数，所以.即，所以.由得，即在上成立.22解：（1）圆的极坐标方程为，又，圆的普通方程为（2）设，故圆的方程，圆的圆心是，半径是2，将代入得，又直线过，圆的半径是2，即的取值范围是.23.证明：（1）法一： ，所以.法二：，所以. （2）证明：因为 (由柯西不等式得）所以，当且仅当即时，有最小值.
