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1、最小二乘法圆拟合1.最小二乘法圆拟合原理理论最小二乘法(Least Square Method )是一种数学优化技术。它通 过最小化误差的平方和找到一组数据的最佳函数匹配。利用最小二乘 法可以简便地求得未知的数据，并使得这些求得的数据与实际数据之 间误差的平方和为最小。最小二乘圆拟合模型公式推导在二维平面坐标系中，圆方程一般可表示为:(1)(X X+ (y y )2 = r2对于最小二乘法的圆拟合，其误差平方的优化目标函数为： S =咒 v(X X )2 + (y y )2 ri 0i 0i=1式中：G, yi = 1,2,., n为圆弧上特征点坐标；为参与拟合的特征点数。 在保持这优化目标函
2、数特征的前提上，我们需要对其用一种稍微不同的改进方法来定义误差平方，且其避免了平方根，同时可得到 一个最小化问题的直接解，定义如下:(2)E = 2L X X ）2 + （J J ）2 r2 i0i0i=1则（2）式可改写为：E = E C 2 2 XX + X 2 + J 2 2） + J 2 （3）i 0 i 0 i 0 i 0i=1令，B = -2 y , A = -2 x C = x 2 + j 2 - r2即（3）式可表示为：E = (2 + j 2 + Ax + By + C )i=0由最小二乘法原理，参数A, B , C应使E取得极小值。根据极小值的求法，A ,8和。应满足竺=2
3、Z J + y 2 + Ax + By + C X = 0 i=0竺=2Z (x2 + y 2 + Ax + By + C = 0 i=0- = 2Z C 2 + y 2 + Ax + By + C)= 08Ci i i ii=0求解方程组，先消去参数C,则(4)式(4)*n-(6)*Zx.得i=0fnZxy -Zx ZyB + niii ii=0i=0 i=0f Xc 2 乙A + =0 ，=0 ，=0 )(7)Zx 3 + nZxy 2-Z (2 + y 2 Zii ii i ii=0i=0i=0i=0式(5)*n-(6)*Zy得i=0fnZxy -Zx ZyA + iii ii=0i=0
4、 i=0(8)f JEy 2Ey EyB + nZ y 3 i=0*1=0 i)Zy3 + nZx2y -Z(2 + y2:Zy ii ii i ii=0i=0i=0i=0M =fnZx2-Zx Zx(9)11i=0i=0 i=0 )xy -Zx Zy iii i* i=0i=0 i=0 /(10)M22二电小计(11) i=0ii=0 ii=0i)H = nKn+卫”一工 J + , 2 乞 x (12)1ii ii i ii=0i=0i=0i=0H2 ii=0i=0将（7）, （8）式写成矩阵形式iiii=0=Xy3+nXx2yX Q + y 2 乞 y (13)i=0-MM 一-A-H1
5、112=1MMB-H1-2122* *2(14)根据式（14）和式（6）可得:H M - H M 212122 M1M 22 - M12 M 21B = H M-HM =M ；M 21 -心1松2 (2 + y 2 + Ax + By )C = 4=0n从而求得最佳拟合圆心坐标，y。)，半径r的拟合值:x = - , y =-旦,r = A2 + B2 -4C 020222.仿真数据分析首先设置仿真圆心（x0,y0）,半径R0，在根据实际数据任意选取一 段圆弧，产生N组随机数据。考虑实际测量的点云数据中伴随有一定 高斯躁白声，因此在每个点添加服从高斯分布NG,。2）的随机数作为 噪声，其中。2为高斯分布的方差（单位：mm 2），在噪声标准差（ ） 下产生N组随机噪声数据。最后利用最小二乘法原理对仿真得到的N 组随机噪声数据进行拟合，并分析其半径误差与圆心误差。下面任取 圆上pi*35/180到6*pi/7圆弧段，以仿真圆心（，），半径作实例分 析。在matlab软件中得到的仿真数据效果图图2所示：5 4 5 3 54.3 2 EE N789x mm利用仿真的得来的数据（选取某一截面）用最小二乘法进行拟合，得 到其拟合效果图如图3所示:X(mm)(EE) N
