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1、第九章 滞后变量回归模型回归分析经常遇到时间序列资料，如果在回归模型中不仅含有解释变量X的当前值而且 含有X的滞后值，它就称为分布滞后模型(Distributed-Lag Model)，如Y =a +p X +p X +p X +(9.0.1)t00 t1 t12 t2t就是一个分布滞后模型。如果模型中包含一个或若干个因变量的滞后值，它就称为自回归模型 (AutoregressiveModel)，如Y 二a + pX +yY +(9.0.2)ttt 1t就是一个自回归模型。分布滞后模型与自回归模型都属于滞后变量回归模型，它在经济领域有广泛的应用。一个 当前的经济指针，经常受到过去某些经济指针(
2、包括自身的)影响，这是件很常见很容易理解的 事情。我们在处理这一类问题时要考虑下列问题：1经济分析中滞后起什么作用?2滞后的原因是什么?3在实证分析中对滞后有没有什么理论判别方法?4自回归与分布滞后有什么关系?能否从一个导出另一个? 5滞后变量模型中有哪一些统计问题?6变量之间的滞后是否意味着灾难?如果是，如何度量它?这些问题有些是不能给出精确定义或精确解答的，只可体会其意思。我们以下主要是从经 济模型的数学形式来展开讨论。第一节 模型概念：消费滞后、通胀滞后与存款创生实际经济活动中，因变量 Y 经常是与经济自变量的过去值有关，而与当前值有关反而少一些。为了具体说明这种滞后关系，我们看一些实例
3、。1 消费滞后假如一个消费者从今年起每年工资增加2000元，并将持续一段时间。他的消费行为将受 到怎样的影响呢?一般来说，他不会把当年增加的收入全部花光。很可能是，他把每增加的 2000 元当年花掉800元，第二年花掉600元，第三年花掉400元，余下的永久储蓄起来。这样到第 三年，他的消费增加额将是1800元。这样的消费函数写下就是Y 二 C + 0.4X + 0.3X + 0.2X +s(9.1.1)ttt 1t 2t这里Y是消费开支，C是常数，X是收入。一般地，有限分布滞后模型可以写作Y 二a + B X +p X +p X + 卄 X (9.1.2)t0 t1t12 t2k tk t这
4、里分布滞后k个时段。系数0 0称作短期系数，因为它给出X对Y同期线性作用大小。如果X的改变维持不变，那么（0 0+0丿给出Y在下一周期的改变，（0 0+0 1+0 2）给出再下一周期的 改变，等等。这些部分和称作中期乘子。最后，经过k个周期，我们得到为卩=卩+卩+ +卩=卩（9.1.3）i 01ki=00 称为长期分布滞后乘子。类似地，无限分布滞后模型可以写作9.1.4)Y =a + p X +p X +p X + + t0 t1t 12 t 2t它不需要确定分布滞后长度，反而数学处理方便一些。如果定义则表示i种标准化系数，工 = 1。iPPi = i-工PPi于是可以将分布滞后模型改写为9.
5、1.5)9.1.6)= a + P X +i t it2通胀滞后经济理论认为通货膨胀是一种基本的金融现象，因为在持续的经济增长中货币供给量总会 超过实际需求。当然，通货膨胀与货币供应量的改变之间的联系不是实时的，总会滞后一个时 期。研究显示二者之间大致滞后 3-20 个季度。下表摘自Keith M.Carlson（1980）的研究报告：“货币供应对价格的滞后关系”样本周期自 1955年第一季度至1969年第四季度，共60个季度。滞后周期取作20（季度）。滞后方程是表 9.1.1P = 0.146 +t艺m Mit ii=0系数值t值系数值t值m00.0411.276m110.0654.673m
6、10.0341.538m120.0694.795m20.0301.903m130.0724.694m30.0292.171m140.0734.468m40.0302.235m150.0724.202m50.0332.294m160.0693.943m0.0372.475m170.0623.712m70.0422.798m180.0533.511m80.0483.249m190.0393.388m90.0543.783m200.0223.191m0.0594.305X1.0317.870m;i方程中M是货币M1B供应量（现金+可开支票的储蓄）改变的百分数。P是物价上涨的百分数。从长期来看，X=1
7、.0311,它是统计显著的（t=7.870t001（20）=2.528）,意味着货币供应量每增加1%，价格也相应上涨了1%。从短期看， m0=0.041 意味着货币供应量每增加1%，当 年物价上涨 0.041%。表 1 是美国五、六十年代的资料，对我们只有参考价值。不过懂得通胀滞后对宏观调控的 掌握是很重要的。3存款创生假如央行给银行系统注入1000亿元，那么银行的储蓄总额最终可达多少呢?假如法律要求 银行必须留下20%作保证金，那么银行第一次可以贷出800亿元。这800亿元在银行外流通 一段时间后，必须又会被存回银行。银行对这800亿元新到的存款除留下20%作保证金外， 可将其余的 640亿
8、元再贷出去，这贷出去的存款又会被别人存回银行，如此等等，最终，根据著名的乘数法则，银行储蓄总额会达到：1000 -11 - 0.8=5000 （亿元）用滞后模型描述就是：Y 二 X +pX +pX +pX + .+ B X + t ttt -1t -2k t -k二 X +PX + 卩 2X + 卩 3X + + 卩 k-1X + t tttt这里Xt=1000（亿元），0=0.8。当然这个5000亿不是一夜之间变出来的，它要经过一段时间。这几个例子只是经济指针之间关系滞后的很少一部分代表。为什么会发生滞后呢?当然主 要是技术上的原因。生产过程是一环套一环的，只有等上一工序完成，才能进行下一工
9、序。资 本、技术、新产品的扩散，都需要时间。除此之外，人们的心理因素与社会习惯势力也起着滞 后作用，新事物、新方法、新产品都需要示范使人信服才能普遍被接受。经济制度包括财政税 收制度也使滞后现象成为必然。第二节 有限分布滞后模型一、滞后长度已知时模型的估计若要估计分布滞后模型Y 二a+ B X + +P X +t0 tN t-N t这里 N 已知，称作滞后长度，可以使用标准记法Y 二 XP +8这里Y =2,X =-11X1X2X0X1X-N+1 X-N+2,P =aP0,8 =8182Y1XX XP8T1TT-1T-NNT注意矩阵X里包含前定样本值X, X ，,X，假定这N个观察也是可供利用
10、的。如果-N+1 - N+208也满足标准假设，即8N(0,0 21)，Xt被看作固定的，非随机的，那么基于样本信息Y与 X，0的最小二乘估计为P = (XX)-1 X Y，它是0的无偏估计。这样估计在分布滞后模型里存在一些问题。首先，在实际问题中滞后长度N很少已知。如果将某个上界M代替N(MN),贝M的LSEp二Q, p , p，p )将不是有效估计，MM01M因为它忽略了限制p=0。这个问题我们放到下段解决。N+1N+2M第二个问题是 X 的某些列向量可能线性相关。这是一个典型的复共线问题。如果分布滞 后长度N较短，比如是3或4,那么复共线问题可能不严重。然而实际问题N=10并不少见， 如
11、果Xt改变量不大，或者移动有规则，就会产生严重的复共线。复共线下的LSE预测精度很 差，如何处理这一问题我们也放到以后解决。二、分布滞后长度的确定如果真实滞后长度N未知，但它有上界M,那么如何选择N是一个基本的问题。我们先 谈一个简易法则，它称为分布滞后模型的特定估计(Ad Hoc Estimation)。因为假定X是非随机的，至少是与8不相关的，X ,X 等等也是如此，所以可以应 ttt -1 t -2用普通最小二乘(OLS)。我们可以作一个回归序列：(1)Yt 对 Xt 回归；(2) Y对X，X ,回归；ttt -1(3) Y 对 X，X ,，X2 回归；ttt-1 t-2这个过程一直进行
12、到下列情况发生就停止：最后的滞后变量统计不显著；或者最后的滞后变 量符号与上一个回归方程相比发生改变。Alt和Tinbergen将美国1930-1939年石油消费量Y对新订货量X作回归，以季度为滞后 单位，采用Ad Hoc方法：八Y =8.37+0.171XttY =8.27+0.1 1 1X +0.064Xttt -1Y =8.27+0.109X+0.071X -0.055Xttt -1t -2Y =8.32+0.108X+0.063X +0.022X -0.020Xttt -1t -2t -3结果他们认为第二个回归方程是最好的。因为第三、第四个方程里Xt-2的系数是不稳定的，此外系数为负对
13、经济现象不好作出解释。于是滞后长度就取1 为合适。这就是Ad Hoc估计与Ad Hoc方法。 下面的统计检验方法思想与上面的差不多，不过顺序正好相反。因为分布滞后回归变量X异xtl有自然顺序，我们就顺其自然建立一系列假设检验:t t-1H1 : 0 二0H1 : 0主 00MaMH 2 : 0二 0H 2 : 0 丰 0,0 二 00M -1aM -1MH 3 : 0二 0H 3 : 0主 0, 0=0 二 00M -2aM - 2M -1MHi : 00M - i +1二 0Hi : 0丰 0, 0=0= 0aM -i+1M -i+2M这里每一个零假设检验都是在上一个零假设被接受的条件下进行的。当某一零假设被拒绝，检 验过程就停止。假设*N(0,G 21)，则可以用F检验或t检验。下面我们构造统计量。记a0110=0, X =nn0n1XX X10一 n+1XX X21n+2XX XTT -1T-n9.2.4)SSEnT 一 n 一 2,SSEn二(y - X 0 )(y - X 0 )n nn n9.2.5)9.2.6)则检验第i个零假设H0的似然比统计量可写作9.2.7)S 一 SSEM-i SEM-i+162M-i+1如果假设H1, H 2
