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4、可分离变量的微分方程教学难点：齐次方程的解法教学步骤及内容 ： 一、可分离变量的微分方程本节开始,我们讨论一阶微分方程 (1)的一些解法.一阶微分方程有时也写成如下的对称形式： (2)在方程(2)中,变量与对称,它既可以看作是以为自变量、为未知函数的方程 ,也可看作是以为自变量、为未知函数的方程 ,在第一节的例1中，我们遇到一阶微分方程旁批栏：，或 把上式两端积分就得到这个方程的通解：。但是并不是所有的一阶微分方程都能这样求解。例如，对于一阶微分方程 （3）就不能像上面那样直接两端用积分的方法求出它的通解。原因是方程（3）的右端含有未知函数积分求不出来。为了解决这个困难，在方程（3）的两端同时
5、乘以，使方程（3）变为，这样，变量与已分离在等式的两端，然后两端积分得或 （4）其中C是任意常数。可以验证，函数（4）确实满足一阶微分方程（3），且含有一个任意常数，所以它是方程（3）的通解。一般地，如果一个一阶微分方程能写成 （5）的形式，就是说，能把微分方程写成一端只含的函数和相乘，另一端只含的函数和相乘，那么原方程就称为可分离变量的微分方程。旁批栏：假定方程（5）中的函数和是连续的，设是方程的解，将它代入（5）中得到恒等式将上式两端积分，并由引进变量，得设及依次为和的原函数，于是有 （6）因此，方程（5）满足关系式（6）。反之，如果是由关系到式（6）所确定的隐函数 ，那么在的条件下，也是
6、方程（5）的解 事实上，由隐函数的求导法可知，当时，这就表示函数满足方程（5）。所以如果已分离变量的方程（5）中和是连续的，且，那么（5）式两端积分后得到的关系式（6），就用隐式给出了方程（5）的解，（6）式就叫做微分方程（5）的隐式解。又由于关系式（6）中含有任意常数，因此（6）式所确定的隐函数是方程（5）的通解，所以（6）式叫做微分方程（5）的隐式通解。例1 求微分方程 （7）的通解。解 方程（7）是可分离变量的，分离变量后得两端积分 旁批栏：二、齐次型微分方程形如 的一阶微分方程 称为齐次微分方程。求解这类方程的方法是：利用适当的变换，化成可分离变量的微分方程。设 则 故有将（2）代入（
7、1）得 即分离变量，得两端积分便可求出通解，再以代入便可求出原方程的通解。例4 求微分方程的通解.解 令代入方程得或分离变量，得 两端积分，得 或再把回代，即得原方程的通解为。例5 求下列微分方程的通解解 原方程可变形为 令代入方程得旁批栏：分离变量得 两端积分得 即 故 回代即得原方程的通解为三、小结与思考：1、可分离变量方程的解法为变量分离后再积分。2、应用微分方程解决综合型问题的方法和思路是怎样的？3、齐次方程齐次方程的解法令四、作业布置： 二（1，3，5）板 书 设 计一、可分离变量的微分方程二、齐次型微分方程三、三、小结与思考旁批栏：韭茨亦宏吧失米克履陌峡稽帽夹呻缺龙症辞童逛更谦狠魁
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