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1、1 层次分析法的思想：将所有要分析的问题层次化；根据问题的性质和所要到达的总目标， 将问题分为不同的组成因素，并按照这些因素间的关联影响即其隶属关系，将因素按不同层 次聚集组合，形成一个多层次分析构造模型；最后，对问题进展优劣比拟排序.2 次分析法的步骤：找准各因素之间的隶属度 关系建立递阶层次构造 构造判断矩阵成比照拟阵 并赋值 层次单排序计算权向量与检验 一致性检验层次总排序组合权向量与检验一致性检验3 以一个具体案例进展说明：【案例分析】市政工程工程建立决策：层次分析法问题提出 市政部门管理人员需要对修建一项市政工程工程进展决策，可选择的方 案是修建通往旅游区的高速路简称建高速路或修建城
2、区地铁简称建地 铁。除了考虑经济效益外，还要考虑社会效益、环境效益等因素，即是多 准那么决策问题，考虑运用层次分析法解决。【案例分析】市政工程工程进展决策：建立递阶层次构造 在市政工程工程决策问题中，市政管理人员希望通过选择不同的市政工程工程，使综 合效益最高，即决策目标是“合理建立市政工程，使综合效益最高。为了实现这一目标，需要考虑的主要准那么有三个，即经济效益、社会效益和环境效益。 但问题绝不这么简单。通过深入思考，决策人员认为还必须考虑直接经济效益、间接经济效 益、方便日常出行、方便假日出行、减少环境污染、改善城市面貌等因素准那么，从相互 关系上分析，这些因素隶属于主要准那么，因此放在下
3、一层次考虑，并且分属于不同准那么。假设本问题只考虑这些准那么，接下来需要明确为了实现决策目标、在上述准那么下可以 有哪些方案。根据题中所述，本问题有两个解决方案，即建高速路或建地铁，这两个因素作 为措施层元素放在递阶层次构造的最下层。很明显，这两个方案于所有准那么都相关。将各个层次的因素按其上下关系摆放好位置，并将它们之间的关系用连线连接起来。同时，为了方便后面的定量表示，一般从上到下用A、B、C、D。代表不同层次，同一层 次从左到右用 1、 2、 3、 4。代表不同因素。这样构成的递阶层次构造如下列图。 目标层 A合理建立市政工程，使综合效益最高(A)准那么层 B经济效益(B1)社会效益(B
4、2)环境效益(B3)准那么层 C直接经间接带方便日方便假减少环改善城济效益动效益常出行日出行境污染市面貌(C1)(C2)(C3)(C4)(C5)(C6)措施层 D建高速路(D1)建地铁(D2)图 1 递阶层次构造示意图2. 构造判断矩阵成比照拟阵并赋值根据递阶层次构造就能很容易地构造判断矩阵。构造判断矩阵的方法是：每一个具有向下隶属关系的元素被称作准那么作为判断矩阵的第一个元素位于左上角，隶属于它的各个元素依次排列在其后的第一行和第一列。重要的是填写判断矩阵。填写判断矩阵的方法有：大多采取的方法是：向填写人专家反复询问： 针对判断矩阵的准那么，其中两个表 1 重要性标度含义表13579 2，4
5、，6，8 倒数 表示上述判断的中间值元素两两比拟哪个重要，重要多少，对重要性程度按1-9 赋值重要性标度值见下表。 重要性标度 含义表示两个元素相比，具有同等重要性 表示两个元素相比，前者比后者稍重要 表示两个元素相比，前者比后者明显重要 表示两个元素相比，前者比后者强烈重要 表示两个元素相比，前者比后者极端重要 假设元素 I 与元素 j 的重要性之比为 aij , j 与元素 I 的重要性之比为 a ji =1/a ij 那么元素 ji ij设填写后的判断矩阵为A=(a )，判断矩阵具有如下性质:ij n xn(1) a ij 0(2) a ji =1/ a ji(3) a ii =1 根据
6、上面性质，判断矩阵具有对称性，因此在填写时，通常先填写 aii =1ii 局部，然后再仅需判断及填写上三角形或下三角形的 n(n-1)/2 个元素就可 以了。在特殊情况下，判断矩阵可以具有传递性，即满足等式：a *a =a 当上式对判断矩阵所有元素都成立时，那么称该判断矩阵为一致性矩阵。【案例分析】市政工程工程建立决策：构造判断矩阵并请专家填写 接前例，征求专家意见，填写后的判断矩阵如下：表 2 判断矩阵表AB1B2B3B1C1C2B2C3C4B3C5C6B111/31/3C111C313C513B211C21C41C61B31C1D1D2C2D1D2C3D1D2C4D1D2D115D113D
7、111/5D117D21D21D21D21C5D1D2C6D1D2D111/5D111/3D21D213. 层次单排序计算权向量与检验一致性检验对于专家填写后的判断矩阵，利用一定数学方法进展层次排序。 层次单排序是指每一个判断矩阵各因素针对其准那么的相对权重，所以本 质上是计算权向量。计算权向量有特征根法、和法、根法、幂法等，这里简要介 绍和法。和法的原理是，对于一致性判断矩阵，每一列归一化后就是相应的权重。 对于非一致性判断矩阵，每一列归一化后近似其相应的权重，在对这 n 个列向 量求取算术平均值作为最后的权重。具体的公式是：anijnj=1 刀 akl需要注意的是，在层层排序中，要对判断矩
8、阵进展一致性检验。在特殊情况下，判断矩阵可以具有传递性和一致性。一般情况下，并不要求判断矩阵严格满足这一性质。但从人类认识规律看，一个正确的判断矩 阵重要性排序是有一定逻辑规律的，例如假设 A 比 B 重要， B 又比 C 重要，那么从逻辑上讲， A 应该比 C 明显重要，假设两两比拟时出现 A 比 C 重要的结果 那么该判断矩阵违反了一致性准那么，在逻辑上是不合理的。因此在实际中要求判断矩阵满足大体上的一致性，需进展一致性检验。 只有通过检验，才能说明判断矩阵在逻辑上是合理的，才能继续对结果进展 分析。一致性检验的步骤如下。第一步，计算一致性指标 C.I. consistency index
9、 nC.I . maxn1第二步，查表确定相应的平均随机一致性指标 R.I. random index 据判断矩阵不同阶数查下表，得到平均随机一致性指标 R.I. 。例如 对于 5 阶的判断矩阵，查表得到 R.I.=1.12表 3平均随机一致性指标R.I. 表 1000 次正互反矩阵计算结果矩阵阶数1234567R.I.00 0.52 0.891.121.26 1.36矩阵阶数910111213 14R.I.1.461.491.521.541.56 1.58第三步，计算一致性比例 C.R. consistency ratio并进展判断C.R.R.I .81.41151.59C.I .当 C.R
10、.0.1 时，认为判断矩阵不符合一致性要求，需要对该判断矩阵进展重新修正。【案例分析】市政工程工程建立决策：计算权向量及检验 上例计算所得的权向量及检验结果见下：表 4 层次计算权向量及检验结果表A 单( 总) 排序权值B1单排序权值B2单排序权值B3单排序权值B10.1429C10.5000C30.7500C50.7500B20.4286C20.5000C40.2500C60.2500B30.4286CR0.0000CR0.0000CR0.0000CR0.0000C1单排序权值C2单排序权值C3单排序权值C4单排序权值D10.8333D10.7500D10.1667D10.8750D20.1
11、667D20.2500D20.8333D20.1250CR0.0000CR0.0000CR0.0000CR0.0000C5单排序权值C6单排序权值D10.1667D10.2500D20.8333D20.7500CR0.0000CR0.0000可以看出，所有单排序的C.R.0.1 ，认为每个判断矩阵的一致性都是可以承受的。LJ 匕人/曰 LJU， n 日十 JVLJ HJJ4、U 丄,I 7 U yy I 7s 匚 F十口 J工A | 工 h|J 丿4. 层次总排序组合权向量与检验一致性检验总排序是指每一个判断矩阵各因素针对目标层最上层的相对权重。这一权重的计算采用从上而下的方法，逐层合成。很明
12、显，第二层的单排序结果就是总排序结果。假定已经算出第 k-1 层m个元素相对于总目标的权重刖)=(w(k-1) ,w(k-1),w (k-1) )T,第k层n个元素12m对于上一层第k层第j个元素的单排序权重是p(k)=(p(k) ,p (k)，p (k) )t ,j1j2jnj其中不受j支配的元素的权重为零。令P (k) =(p (k) ,p (k),p (k),表示第k层 层个元素的排序，那么12n元素对第 k-1 第k 层元素对于总目标的总排序为：(k)(k)(k)(k) T (k)(k-1)w =(w ,w , ,w ) = p w1(nwi (k)p wjij (k ) j ( k
13、1)I=1,(, ,nj1同样，也需要对总排序结果进展一致性检验。假定已经算出针对第 k-1 层第 j 个元素为准那么的 C.I. j(k)、R.I. j(k) 和 C.R. j(k) ,jjjj=l,2,m,那么第k层的综合检验指标C.I. (k)= C.I.(k),C.I.(k) , , C.I.(k)(k-1)wj12m(k)R.I. = R.I.(k),R.I.(k), , R.I.(k)(k-1)wj12mC.R.( k)C.I .(k )R.I .(k )当 C.R. (k)0.1 时，认为判断矩阵的整体一致性是可以承受的。 【案例分析】市政工程工程建立决策：层次总排序及检验 上例层次总排序及检验结果见下：表 5 C 层次总排序 (CR = 0.0000) 表C1C2C3C4C5C60.07140.07140.32140.1
