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1、新定义问题总巳北家考螢分新新定义题型的构造注重学生数学思考的过程及不同认知阶段特征的表现.其内部逻辑构 造呈现出比较严谨、整体性强的特点其问题模型可以表示为阅读材料、研究对象、给出条 件、需要完成认识而规律探究、方法运用、学习策略等则是“条件”隐形存在的“魂”这 种新定义问题虽然在构造方式上“五花八门”，但是经过整理也能发现它们存在着一定的规 律新定义题型是北京中考最后一题的热点题型该类题从题型上看，有展示全貌，留空补 缺的；有说明解题理由的；有要求归纳规律再解决问题的；有理解新概念再解决新问题的， 等等这类试题不仅来源于课本且高于课本，结构独特北京第25 题分析北京第29 题分析北京第29
2、题分析年份201420152016考占n八、新定义问题一一 先学习后判断，函数综合给出新定义，学习，应用给出新定义，学习，应用1. 2016 北京在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为(X, y),点Q的坐标为(x?, y2)，且x产x2, y严打，若P, Q为某个矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂 直，则称该矩形为点 P，Q 的“相关矩形”.下图为点 P，Q 的“相关矩形”的示意图.321O1134图 Z101(1) 已知点A的坐标为(1, 0), 若点B的坐标为(3, 1),求点A, B的“相关矩形”的面积； 点C在直线x = 3上，若点A, C的“相关矩形”为正方形，求直线AC
3、的表达式；(2) 00的半径为事2,点M的坐标为(m, 3).若在00上存在一点N,使得点M, N的“相 关矩形”为正方形，求m的取值范围.2. 2015 北京在平面直角坐标系xOy中，OC的半径为r, P是与圆心C不重合的 点，点P关于0C的反称点的定义如下：若在射寸线CP上存在一点P,满足CP+CP=2r, 则称P为点P关于0C的反称点，如图Z102为点P及其关于0C的反称点P的示意图.特 别地，当点P与圆心C重合时，规定CPz=0.(1) 当00的半径为1时.O 分别判断点M(2, 1), N(2，0)，T(1，；3)关于00的反称点是否存在，若存在，求 其坐标； 点P在直线y=x +
4、2上，若点P关于00的反称点P存在，且点P不在x轴上, 求点P的横坐标的取值范围.(2) 当0C的圆心在x轴上，且半径为1,直线y=于x + 2 与x轴，y轴分别交于 点A, B.若线段AB上存在点P,使得点P关于0C的反称点P在0C的内部，求圆心C的 横坐标的取值范围3. 2014 北京对某一个函数给出如下定义：若存在实数M0,对于任意的函数值y, 都满足一MWyWM,则称这个函数是有界函数.在所有满足条件的M中，其最小值称为这个 函数的边界值.例如，图Z10 3中的函数是有界函数，其边界值是1.(1)分别判断函数y=(x0)和y=x + 1(4xW2)是不是有界函数？若是有界函数，求 x其
5、边界值；(2) 若函数y=x+1(aWxWb, ba)的边界值是2,且这个函数的最大值也是2,求b 的取值范围；(3) 将函数y = x2(1WxWm, m20)的图象向下平移m个单位长度，得到的函数的边界值是t当m在什么范围时,4. 2013 北京对于平面直角坐标系xOy中的点P和。C,给出如下定义：若0C上 存在两个点A, B,使得ZAPB = 60，则称P为0C的关联点.已知点 Dg, |), E(0,2), F(23, 0).(1) 当00的半径为1时， 在点D, E, F中，00的关联点是； 过点F作直线l交y轴正半轴于点G,使ZGF0=30,若直线l上的点P(m, n)是0 0 的
6、关联点,求 m 的取值范围；(2) 若线段EF上的所有点都是某个圆的关联点，求这个圆的半径r的取值范围.图 Z10 4北京专题训壕1. 2016 海淀一模在平面直角坐标系xOy中，0C的半径为r, P是与圆心C不重 合的点，点P关于0C的限距点的定义如下：若P为直线PC与0C的一个交点，满足rW PPW2r，则称P为点P关于0C的限距点，图Z10-5为点P及其关于0C的限距点P 的示意图.(1)当00的半径为1时，分别判断点M(3, 4)，n|, 0)T(1, /2)关于00的限距点是否存在？若存在，求 其坐标；点D的坐标为(2, 0)，DE, DF分别切00于点E,点F,点P在厶DEF的边上
7、.若点P 关于00的限距点P存在，求点P的横坐标的取值范围；(2)保持中D, E, F三点不变，点P在ADEF的边上沿E-F-D-E的方向运动，0C 的圆心C的坐标为(1, 0),半径为r.若点P关于0C的限距点Pz图 Z10- 52. 2016 东城一模对于平面直角坐标系xOy中的点P和。C,给出如下定义：若存 在过点P的直线l交0C于异于点P的A, B两点，在P, A, B三点中，位于中间的点恰为 以另外两点为端点的线段的中点时，则称点P为0C的相邻点，直线l为0C关于点P的相 邻线.(1)当00的半径为1时,分别判断在点d,4j，E(0,迈)，F(4, 0)中，是00的相邻点有 请从中的
8、答案中，任选一个相邻点，在图中作出00关于它的一条相邻线，并说明 你的作图过程； 点P在直线y=x + 3上，若点P为00的相邻点，求点P横坐标的取值范围；(2) 0C的圆心在x轴上，半径为1,直线y=于x + 2j3与x轴，y轴分别交于点M, N,若线段MN上存在0C的相邻点P,直接写出圆心C的横坐标的取值范围.图 Z10 63. 2016 石景山一模在平面直角坐标系xOy中，图形W在坐标轴上的投影长度定义 如下：设点P(x，y )，Q(x，y )是图形W上的任意两点.若一x?分别判断函数y = x 1, y=丄，y=x2有没有不变值？如果有，直接写出其不变长度;x的最大值为m,则图形 1
9、1 2 2 1 2W在x轴上的投影长度l =m；若1 yiy?1的最大值为n,则图形W在y轴上的投影长度lx12y=n.如图Z10 7，图形W在x轴上的投影长度1=丨3 1丨=2；在y轴上的投影长度l xy = |40|=4.(1) 已知点 A(3，lyp时，其函数值等于p,则称p为这个函数的不变值.在函数存在不变值时，该函数的最大 不变值与最小不变值之差q称为这个函数的不变长度.特别地，当函数只有一个不变值时， 其不变长度q为零.例如，图Z108中的函数有0，1两个不变值，其不变长度q等于1.专题突破(十) 新定义问题北京真题体验1解：S = 2X1 = 2.fk= 1, 或b = 1.C的
10、坐标可以为(3, 2)或者(3,2)，设直线AC的表达式为y = kx+b, 将A, C的坐标分别代入AC的表达式得到0= kb,hrI0= kb,2 = 3k+b, 或2= 3kb,1=1,解得1b =一 1，所以直线AC的表达式为y=x 1或y=x+1.(2)若00上存在点N,使M, N的“相关矩形”为正方形，贝9直线MN与x轴的夹角为 45 (正方形一条对角线所在直线)，即过M点作与x轴的夹角为45的直线，与00有交点, 即存在N.当k= 1时，极限位置是直线与00相切，如图中l与l，直线l与00切于点N ,12 1 1 ON =S,Z0NM =90,1 1 1 |与y轴交于P/0,2)
11、.又 VM (m , 3),3 (2) =0m, .皿=5, M( 5, 3). 同理可得 M2(1, 3).当k=1时,，极限位置是直线l , 1(与00相切)，可得M(1, 3), M (5, 3).3434因此m的取值范围为一5WmW 1或1WmW5.2解：(1)点M(2, 1)关于00的反称点不存在.3点N(2，0)关于00的反称点存在，反称点N(2, 0).点T(1,.3)关于00的反称点存在，反称点Tz (0, 0).如图，直线y=x+2与x轴，y轴分别交于点E(2, 0),点F(0, 2).设点P的横坐标为X.(1) 当点P在线段EF上，即0WxW2时，0V0PW2,在射线OP上
12、一定存在一点P,使得OP+OPZ=2,点P关于00的反称点存在，其中点P与点E或点F重合时，OP = 2，点P关于00 的反称点为0,不符合题意，0VxV2.(ii)当点P不在线段EF上，即xVO或x2时，0P2,对于射线0P上任意一点P,总有0P+0Pz2,点P关于00的反称点不存在.综上所述，点P的横坐标x的取值范围是0x2.(2) 若线段AB上存在点P,使得点P关于0C的反称点P在0C的内部，则1VCPW2. 依题意可知点A的坐标为(6, 0),点B的坐标为(0, 2 -./3),ZBAO=3O .设圆心C的坐标为(x, 0). 当x6时，过点C作CH丄AB于点H,如图，.0CHWCPW
13、2,0CAW4,.06xW4,.2Wx6,并且，当 2Wx2, CHW2,在线段AB上一定存在点P,使得CP = 2,此时点P关于0C的反称点为C,且点C在0C的内部，2Wx2, CAW2,在线段AB上一定存在一点P,使得CP = 2,x = 8时，点P关于0C的反称点为C,且点C在0C的内部，6WxW8. 综上所述，圆心C的横坐标x的取值范围是2WxW8.3. 解：(Dy(x0)不是有界函数.xy=x+l(4a.一lVbW3.(3)由题意，函数图象平移后的表达式为y = x2m( lWxWm, m三0).当 x= 1 时，y=lm； 当 x = 0 时，y=m； 当 x=m 时, y=mD(1, |), E(0,2), F(2 丫勺，0), 0F E0， D0 1 时，1 mm2m. 当OWmW*时，1m三m.由题意，边界值 t= 1 m.,31当4WtW1 时，OWmW?1.OWmW. 当 2mW1 时，1mm.由题意，边界值 t=m.33当WtW1 时，4m1，.3m1时，由题意，边界值t三m,3不存在满足WtW1的m值.D点一定是00的关联点，而在00上不可能找到两点与点F的连线的夹角等于60, 故在点D, E, F中，
