《实数的完备性》由会员分享，可在线阅读，更多相关《实数的完备性（7页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第七章实数的完备性本章教学目的与基本要求:(1)、理解闭区间套、聚点、覆盖等基本概念；(2)、掌握实数连续性定理的内容并正确应用它们证明题目；(3)、了解实数连续性定理及闭区间上连续函数性质的证明方法。本章重点：(1)、闭区间套、聚点、覆盖等基本概念；(2)、利用实数连续性定理及闭区间上连续函数的性质证明题目；本章难点：(1)、闭区间套、聚点、覆盖等基本概念；(2)、利用实数连续性定理及闭区间上连续函数性质证明题目；(3)、实数连续性定理及闭区间上连续函数性质的证明。本章课时安排：总课时8课时，其中第一节：关于实数集完备性的基本定理4课时；第二节：闭区间上连续函数性质的证明2课时；习作课2课时
2、。本章参考书籍：见导论。7.1关于实数集完备性的基本定理本节主要教学内容：闭区间套定理、聚点定理、有限覆盖定理、柯西收敛准则。教学方法与设计：重点讲授闭区间套、聚点、覆盖等基本概念；定理的证明以讲授方法为主；多讲授例题使学生掌握基本概念及定理。极限的基本问题有二：一是极限的存在性；二是极限的计算。而其存在性不仅与函数(或数列)的结构有关，还与所讨论的数域有关。例如在有理数域中讨论极限，单调有界定理就可能不成立，如(1+Jn的极限为e就是一个无理数，即有理数域对极限运算是不封闭的。但实数域对极限运算是封闭的，这就是实数的完备性或称实数的连续性。在第一、二章我们已学习了描述实数完备性的定理：确界定
3、理、单调有界定理、柯西收敛准则，此外还有闭区间套定理、有限覆盖定理和聚点定理，它们彼此是等价的。本章将讨论它们的等价性，同时利用它们证明闭区间上连续函数的性质，从而使极限理论乃至整个数学分析能建立在坚实的理论基础之上。一、闭区间套定理与柯西收敛准则1、闭区间套定理(1)、闭区间套的定义设闭区间列an，bn具有下列性质：(i)VnN有冏,巧尸%+,*；(ii)lim(bn-an)=0。则称闭区间列%,4为闭区间套。即:na1a2MwMb2三灯，且区间长度趋于零。-111.、例：0,a-,annn(2)闭区间套定理设an，bn是一个闭区间套，则三化wR,使vnwN=自亡%,6。证明：由闭区间套的性
4、质知an单调增加有上界b,故由单调有界定理知wR使“野口=上，且/nwN=anw。同理bn单调增加有上界ai,故bn也收敛，再由(ii)知limbn=且VnwN=an0,三NwN,VnaN有an,bnuU(U,附。证明：由liman=七及limbn=0立即可证。nj二二n说明：(1)几何意义111、(2)开区间列结论不一定成立，例如(0,1),(1,1)。nnn(3)闭区间套定理的用法：要证明具有某性质P的数已存在，常常应用该定理。首先根据性质P构造一个区间，将该区间二等份，使其中至少有一个子区间具有性质P,继续使用二分法得一个闭区间套，然后证明该闭区间套“套”出来的数具有性质P。1、柯西收敛
5、准则an收敛uV名0,三NwN,Vn,mN=an-am|zo证明：设liman=a，则Vea0,三NwN,寸n,mN=|an-aw/2,ama0,ENnN,Vn,mN=|anam|Wana+ama0,三N亡N,VnN=|anaNme。即在aN以aN+同中含有%的几乎所有项(在此区间之外至多只有an的有限项)。1 111,令鼻=-0,3Ni,VnNi=an=a-一，aN1+-。2 121211记豆1,叼=aN1-2,aN1+/，则%,P1中含有4的几乎所有项(在此区间之外至多只有4的有限项)。111-11_-_依次令S=22,23，2n,，分别得皿，瓦=a-2ke岫+2k,则kPk中含有an的几
6、乎所有项(在此区间之外至多只有an的有限项)，k=1,2,3，n,。11于是得一个闭区间套o(n,Pn=aN1F,aN1+,由闭区间套定理知22三化wo(n,Pn,nwN。下证liman=之n事实上，由闭区间套定理的推论可知vs0,3NN,vnNctn,Pn=U仁，w),因此U(t,s)内含有小的几乎所有项(在此邻域之外至多只有an的有限项)。即有liman=1。n-j二二例：证明：若f(x)在a,b上连续，且f(a)f(b)W0,则好Wa,b=f(2)=0。证明：若f(a)=0或f(b)=0,则1=a或之=b，定理获证；设f(a)f(b)0。ababab将a,b二等份，若f()=0,则自=，
7、定理获证；设f()#0,则两222个子区间中必有一个子区间4心使f(ajfg)f(a2)f(b2)0。将上述步骤一直进行下去，得一个闭区间套an,bn,且f(an)f(bn)0,又由an,bn的性质可知3N,VnaN,有an,bnUU(6),故f(an)0,f(bn)0,与f(an)f(bn)M0矛盾，证毕。二、聚点定理与有限覆盖定理1、聚点的定义(I)、设S为数轴上的点集，U为定点(U可以属于S,也可以不属于S)若？的任何邻域内都含有S的无限多个点，则称之为S的一个聚点。说明：(1)有限点集无聚点；(2)若数列an的项各不相同，且liman=a,则点a为点集an的聚点；(3)注意点集与点列的
8、区另1J。-1、.1例：(1)S=有一个聚点巴=0(丫lim=0)；nn二nn1.5=(-1)+有二个聚点=1占=1；n(3) S3=(a,b)nQ的聚点集为a,b；(4) 1=N没有聚点。证明：(1);lim1=0,二Vw0曰NwN,寸nN=200,由有理数的稠密性可知，U(x,a)门(a,b)内有无限多个有理数，即U(x,s)内含有&的无限多个点，故由聚点的定义可知=x是S3的一个聚点，于是&=(a,b)QQ的聚点集为a,bo1(4) VnuN，取:0%0Jx0wS=xwU小3)；(III)已为S的一个聚点U存在数列%US,且%的项各不相同，有limxn=t。证明：(I)=(II)显然成立
9、；(II)=(III)已知条件为V0,Bxo=SxWU注可,1取q=,二x1uS=0-x1鸟；2取=min2,-x1,Ex2WS=0-x2与;；0-xn0=SuM,M,记为&,t1;将a,4二等份，则两个子区间中必有一个子区间a2,b2含有S的无限多个点；将上述步骤一直进行下去，得一个闭区间套an，bn：bnan=M/2nT0(nT8),每个闭区间an，bn含有S的无限多个点。由闭区间套定理知三化wan,bn,vnwN。又由闭区间套定理的推论知灯名0,三NWN,VnN有an,bnuU(&a),即U(,s)内含有S的无限多个点。所以之为S的一个聚点。4、致密性定理有界数列xn必有收敛子列。证明：
10、由聚点定理证明。若有无限多项相等，则由该无限多项所组成的子列为常数列，因而收敛；若%中没有无限多项相等，则必有无限多项不相等，于是2对应于数轴上的一个有界无限点集，由聚点定理知xn有一个聚点巴。由聚点的等价性定义知xn有一个收敛的子列。5、柯西收敛准则的另一个证明数列an收敛仁V0,BNnN,Vn,maN=|an-am|zo证明：u先证an有界：取名=1,三NwN,VnaN,m=N+1aNnanaN噌1,所以有|an|1+|aNJ,令M=max|a1,|a2aN1,1+卜n$,则VnNn|ajM。由致密性定理，有界数列一10,KN,_kK二an有收敛子列anJ,设lima&=a,下证liman
11、=a：kkn），：.ank-a0,EN1wN,Vn,mN1nanam名。取N=max(K,N1,VkAN,Vn,mAN有上述二式同时成立，因此取m=nkN有an-ankan-aan-ank+ank-axw(ct,B),则称H为S的一个开覆盖，或称H覆盖了S。若H的元素个数是无限(有限)的，则称H为S的一个无限(有限)开覆盖。1例：(1)若S=(0,1),H=(,1)|nwN,则H覆盖了S；n11、,若S=(0,1),H=(,)|nwN,则H没有覆盖S；n1n1 ,、，、(3)若S=0,1),H=(,1)|nwN,则H没有覆盖S；n(4)若S=a,b,H=U(x,5)|xeS,50,则H覆盖了S
12、。7、有限覆盖定理(海涅-波雷尔HeineBorej若开区间集H覆盖了闭区间S=a,b,则H中必存在有限个开区间也覆盖了So即三(%,耳),32也)，3n,Pn)=HnUH,则Hn覆盖了S:二-xS,-ik:1kn=x(-k,:k)证明：反证法，由闭区间套定理证明。假设H中任意有限个开区间都不能覆盖S(简称S没有有限覆盖)将a,b二等份，则两个子区间中至少有一个子区间a，4没有有限覆盖；将上述步骤一直进行下去，得一个闭区间套an,bn,且其每个闭区间%,bn都没有有限覆盖。由闭区间套定理知1an,bn,-n-N。显然Ca,b,.口，P)wH=S(5P)。故由闭区间套定理的推论知当n充分大时有an,bn匚(6，P),与闭区间an,bn没有有限覆盖相矛盾。说明：(1)有限覆盖定理有又称紧致性定理；(2)若H覆盖了开区间(a,b),则开区间(a,b)不一定有有限覆盖；一一1,、例：S
