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1、滚动小专题(八)四边形的有关计算与证明1(2016长春)如图,在ABCD中,点E在边BC上,点F在边AD的延长线上,且DFBE,EF与CD交于点G.(1)求证:BDEF;(2)若,BE4,求EC的长解:(1)证明:四边形ABCD是平行四边形,ADBC.DFBE.DFBE,四边形BEFD是平行四边形BDEF.(2)四边形BEFD是平行四边形,DFBE4.DFEC,DFGCEG.CE46.2(2016苏州)如图,在菱形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,过点D作对角线BD的垂线交BA的延长线于点E.(1)求证:四边形ACDE是平行四边形;(2)若AC8,BD6,求ADE的周长解:(1)证明:四
2、边形ABCD是菱形,ABCD,ACBD.AECD,AOB90.又DEBD,即EDB90,AOBEDB.DEAC.四边形ACDE是平行四边形(2)四边形ABCD是菱形,AC8,BD6,AO4,DO3,ADCD5.又四边形ACDE是平行四边形,AECD5,DEAC8.ADE的周长为ADAEDE55818.3(2016台州)如图,点P在矩形ABCD的对角线AC上,且不与点A,C重合,过点P分别作边AB,AD的平行线,交两组对边于点E,F和点G,H.(1)求证:PHCCFP;(2)证明四边形PEDH和四边形PFBG都是矩形,并直接写出它们面积之间的关系解:(1)证明:四边形ABCD是矩形,ABCD,A
3、DBC.又EFAB,GHAD,EFCD,GHBC.CPFHCP,CPHPCF.PCPC,PHCCFP(ASA)(2)证明:由(1)知ABEFCD,ADGHBC,四边形PEDH和四边形PFBG都是平行四边形四边形ABCD是矩形,DB90.四边形PEDH和四边形PFBG都是矩形S矩形PEDHS矩形PFBG.4(2016遵义)如图,矩形ABCD中,延长AB至E,延长CD至F,BEDF,连接EF,与BC、AD分别相交于P、Q两点(1)求证:CPAQ;(2)若BP1,PQ2,AEF45,求矩形ABCD的面积解:(1)证明:四边形ABCD是矩形,AABCCADC90,ABCD,ADBC,ABCD,ADBC
4、.EF.BEDF,AECF.在CFP和AEQ中,CFPAEQ(ASA)CPAQ.(2)ADBC,PBEA90.AEF45,BEP、AEQ是等腰直角三角形BEBP1,AQAE.PEBP.EQPEPQ23.AQAE3.ABAEBE2.CPAQ3,BCBPCP134.S矩形ABCDABBC248.5(2016毕节)如图,已知ABC中,ABAC,把ABC绕A点沿顺时针方向旋转得到ADE,连接BD,CE交于点F.(1)求证:AECADB;(2)若AB2,BAC45,当四边形ADFC是菱形时,求BF的长解:(1)证明:由旋转的性质得:ABCADE.ABAC,AEAD,ACAB,BACDAE.BACBAED
5、AEBAE,即CAEDAB.在AEC和ADB中,AECADB(SAS)(2)四边形ADFC是菱形,且BAC45,DBABAC45.由(1)得,ABAD,DBABDA45.ABD是等腰直角三角形BD22AB2,即BDAB2.ADDFFCACAB2.BFBDDF22.6准备一张矩形纸片ABCD,按如图所示操作:将ABE沿BE翻折,使点A落在对角线BD上的M点;将CDF沿DF翻折,使点C落在对角线BD上的N点(1)求证:四边形BFDE是平行四边形;(2)若四边形BFDE是菱形,AB2,求菱形BFDE的面积解:(1)证明:四边形ABCD是矩形,AC90,ABCD.由翻折得BMAB,DNDC,AEMB,
6、CDNF,BMDN,EMBDNF90.BNDM,EMDFNB90.ADBC,EDMFBN.EDMFBN(ASA)EDFB.四边形BFDE是平行四边形(2)四边形BFDE是菱形,EBDFBD.ABEEBD,ABC90,ABE9030.在RtABE中,AB2,AE,BE.ED,AD2.SABEABAE,S矩形ABCDABAD4.S菱形BFDE42.7(2016济宁)如图,正方形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,延长CB至点F,使CFCA,连接AF,ACF的平分线分别交AF,AB,BD于点E,N,M,连接EO.(1)已知EO,求正方形ABCD的边长;(2)猜想线段EM与CN的数量关系并加以证明解:(1)四边形ABCD是正方形,AOOC,ABC是等腰直角三角形在ACF中,ACCF,CF平分ACF,AEEF.EO为AFC的中位线CF2EO2.AC2.AB2.(2)EMCN.证明:CFCA,CE是ACF的平分线,CEAF.AENCBN90.ANECNB,BAFBCN.在ABF和CBN中,ABFCBN(ASA)AFCN.BAFBCN,ACNBCN,BAFOCM.四边形ABCD是正方形,ACBD.ABFCOM90.ABFCOM.,即CMCN.由(1)知EOBC,EOMCBM.EMCMCNCN.