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1、 数学教学中思维能力的培养龙 胜（吉首大学数学与计算机科学学院，湖南 吉首，416000） 摘要：本文试从课堂教学和学生自主学习两个方面来研究数学思维能力的培养，其主要内容为两大部分：第一部分是课堂教学中，教师通过对数学教材的解剖分析，充分揭示数学思维过程的再创造，让学生亲自参与数学知识的发生和发展过程；第二部分是重视学生的主体地位，指导学生独立自主阅读教材获取新知，及时整理知识和反思，培养学生良好的思维习惯，形成良好的思维策略，增强解决问题，分析问题的能力。关键词：数学教学；培养思维能力；问题解决Thinking Ability in Mathematics Teaching Trainin
2、gPeng Ying(Jishou university college of Mathematics and Computer Science , JiShou Hunan 416000)Abstract:This paper studies training the ability of mathematical thinking on two aspects, teaching in classroom for teachers and studying independently for students. The main content consists of the two pa
3、rts: The first part is teaching in classroom. Teachers of mathematics teaching anatomy analysis and fully reveal the re-creation of the process of Mathematical Thinking. Make sure that students are personally involved in the mathematical knowledge of the occurrence and development; the second part i
4、s attaching importance to the dominant position of the students. To cultivate good thinking habits and create a good thinking strategy and enhance their thinking, students should learn to get new knowledge through reading materials independently and summarize and make a reflection timely under teach
5、ers direction.Key words: Mathematics teaching; thinking ability training; problem solving 目前我们已进入信息时代，知识更新速度越来越快，各类技术在不断进步，产品日益复杂精巧，市场日益短暂。这就要求工作人员在智力上能适应工作，随时准备吸收新思想，感知新事物，适应变革，解决新出现的问题。正是这种要求使得数学成为很多行业必备的知识。在数学教育研究中，一直以来人们对数学思维的研究持续不断，近十几年始终方兴未艾，几乎每一本数学教育学方面的著作都有一定篇幅论述数学思维在我国数学教育界，有从数学方法论角度去探讨数学思维
6、，如徐利治等编著的数学方法论教程、张楚延著的数学方法论等。也有着重于从哲学、认识论与思维科学或脑科学的角度来研究数学思维，如王仲春等编著的数学思维与数学方法论，徐利治、王前著的数学与思维等。还有从数学思维教育与教学的角度来研究，例如郭思乐、喻伟著的数学思维教育论以及张乃达著的数学思维教育学1等。本文根据现行大纲要求，主要从课堂教学和学生自主学习两个方面来阐述数学思维能力的培养。数学思维教育的意义，不仅仅是为了培养数学家，而是为所有人的未来发展打下基础，在于培养人的数感、数学观念和数学思想。1在课堂教学中，充分揭示思维过程 “数学是训练思维的体操”这句名言的寓意在于我们教学要使学生感到一切都是当
7、着学生的面发生的，而不是以教条形式灌输的。数学课堂教学中应突出数学思维过程和认知环节的实际过程，然而实际教学的缺陷之一，却恰好表现为忽视或压抑学生的思维过程，有的采取注入式和结论式教学，一猜就中，一选就准，一证就对，一用就灵，忽略了给学生思考的过程，让学生感到教师就像变魔术，捉摸不透；有的进行题海战术，强调纯技能技巧，解题程式化，让学生机械模仿，生搬硬套，造成学生思维的惰性和封闭，缺乏创造性。这些都是素质教育的大忌！数学思维过程是主体以获取数学知识，解决数学问题为目的，更是素质教育的需要。在课堂教学中，教师要注重从思维教育的角度，展示必要的数学思维过程和实际的认知过程，使学生更多地参与知识的发
8、生发展过程。根据现使用的数学教材体系，数学课堂教学可分为概念教学、公式定理法则教学和解题教学，本人认为在课堂教学中应充分揭示以下三个思维过程。1.1抓概念教学，形成过程充分揭示概念的形成过程数学概念在数学学习过程中有着重要的地位，它类似于思维的“细胞”，必须认真构建。首先，数学概念是数学的基础知识，一切思维都是以概念为基础，凭借概念进行，大量科学知识都是以概念之间的联系表达的。其次，数学概念是逻辑的导出有关定理和法则的出发点。再次，数学概念是确定研究对象和任务的着眼点，一堂课出现的思维障碍，有许多情况是没有明确概念的内涵和外延，没有把握概念间的关系，如同一关系、交叉关系、从属关系。最后，概念是
9、前一知识阶段发展到后一知识阶段的转折点。要使学生建立正确的概念，必须尊重学生的概念形成过程。概念的形成实质上是一种思维形式，是由具体到抽象，由感性认识到理性认识，以归纳、概括为主的思维过程。但事实上，在数学教学中，我们往往会看到这样的现象：教师对直接给出的概念作一些解释后，就立即进入运用概念，解题阶段。这种回避知识的发生过程，忽视学生对问题的感知而失去真正体会领悟知识的教法，易导致学生对问题的一知半解甚至是错误的理解。在数学教学中，每个概念的意义都必须是确定的，清晰的。例如：多项式的次数是2，如果学生没有理解多项式的次数的概念，就会出现不应有的错误，如认为该多项式次数为3。又如：初中学生如果不
10、清楚方程和同解的概念，他们就不理解这两个等式的关系，而出现把方程过程写成之类的错误。因此教师应将此过程充分揭示出来，让学生体会到概念的形成过程，抓住数学概念的实质，进而更准确地把握概念，增强思维力，从中学到研究问题、提出概念的思想方法。在概念教学中，我们可以采用以下几种方法揭示概念的形成过程：（1）提供大量的感性材料，使模型、实物、实例成为理解数学概念的思维载体形成准确概念的首要条件，是使学生获得十分丰富且足以反映某一数学概念本质属性的感性材料。因此，在教学中要密切联系数学概念的现实原型，引导学生进行观察有关的模型、实物、实例，分析日常生活和生产十几种常见的事例，抽象出他们在形或数方面的共同性
11、质，舍去非本质属性，突出其本质属性，在具有充分的感性认识的基础上引入概念。例如，圆的概念教学中，首先让学生讨论说出生活中所见到的实物，然后通过演示教具引导学生观察并记录在形成圆的过程中什么量变了，什么量没有变，进一步分析出圆所具有的本质属性，最后让学生从的集合的角度概括出圆的精确定义：“平面内，到定点的距离等于定长的点的集合。”从具体的例子中归纳引入新概念也属于这种方式，例如，先举出几个实例，通过观察、分析，发现它们都是研究两个相互依赖的变量与之间的变化规律；再进一步引导学生认识这些实例的共同特性：尽管所举实例的表现形式不同，有的是有一个公式反映，有的是通过一条曲线体现，有的是有一个表格给出，
12、但他们都是对其中一个变量变化范围内的每一个值，另一个变量都有相应确定的值与之对应，且与每一个值对应的值是唯一的；这样就抽象、概括出函数概念的本质属性，最后便可以给出函数概念的描述性定义了。（2）从数学发展本身需要产生新概念并不是所有概念都能找到感性材料的。有的概念产生于实际需要，随着科学的发展而一步步发展起来的。在生产生活中，数学问题暴露出的矛盾就要求人们对已有知识进行再认识，对概念加以扩充并形成新概念，这一过程体现了思维再创造性。例如，在实数范围内，方程是没有解的。怎样才能使它有解呢？于是引入了一个新数，使得满足，它和实数在一起可以按照通常的四则运算法则，进行计算，由此再引入复数的概念。这种
13、通过揭示复数产生背景的教学过程，可以让学生更好理解复数的意义及其在数学学习中的重要性。数学教学中应尝试从数学内在需要去引入概念，可以激发学生解决问题、进行创造的积极性，例如，讲述“一元一次不等式组及其解法”，很多教师都是先给出一元一次不等式组及其解集的定义后，再分析实例的。但是，在直接给出两个定义后，不少学生往往只能从形式上接受，并不领会它的实质。至于为什么要学习这一内容，更觉茫然。我们不妨改变教法，一开始提出问题：某校选拔参加运动会的选手，规定参加者年龄不超过20岁，不小于14岁，问有几种年龄是合适的？这样，由于学生已经有了一元一次不等式的知识经验，自己便提出了的表示式。这个表示式反映了不等
14、式组、不等式组的解集以及解法的背景，对于学生领会一元一次不等式组及其解集的定义，具有很重要的意义。 这种形成概念的方法使学生增强了问题意识，学会了充分利用已有的认知经验进行再认识，培养了创造能力。（3）用比较的方法引入或区别概念比较是在思维中确定所研究的对象的相同点和不同点的过程，比较是一个判断性的思维过程。数学中很多概念从表面上看似乎差不多，如“大于与不小于”，“正数与非负数”，“全不相等与不全相等”，“或”与“且”。所有这些，在教学时可引导学生通过纵向比较和横向比较找出它们的异同点，从概念的内涵和外延加以区别，这样比较能使概念的本质更加明确，将新旧知识有机的联系起来，形成概念系统，使得思维
15、更加严密。 需要注意的是，概念一旦形成，教师还应借助适量练习深化学生对概念的理解、巩固概念，最终完成“具体抽象具体”的发展阶段。由于学生亲历了由感性认识上升到理性认识的过程，不但能够准确地掌握概念，而且学生的理性思维得到了训练，思维力也得以增强。1.2. 抓公式、定理教学，揭示结论的探索、发现过程 数学教材中公式、定理的给出，基本上是数学思维结果的系统表述，采取的方式是通过演绎，将知识展开。为使教材的叙述精练简洁，数学知识和方法在教材中是以定论的形式出现的，往往看不到公式、定理的发现过程，而数学结论的发现与提出实际上经历了曲折的试验、归纳、猜想、检验等一系列探索过程。如果在数学教学过程中，教师
16、把教材内容的安排不作处理而直截了当地呈现在学生面前，然后要求学生死记硬背公式，就会掩盖公式、定理发现的思维过程，使得大量的学生知其然而不知其所以然，对公式、定理只能进行简单的模仿，不能灵活运用，这对培养学生的数学思维能力是极为不利的。因此，教师应充分挖掘教材，对它进行充实、重组和处理，将作为思维结果的教材内容看成思维过程的材料，向学生揭示结论的探索、发现过程，使其亲历科学发现的过程，体验成功后的喜悦，促进学生思维的发展，还能使其了解结论的由来，强化对公式、定理的理解和记忆。教师在落实教学设计和实施教学过程中，要根据具体的公式、定理灵活处理。我想从以下几个方面谈谈自己的探索：（1） 通过对具体事物的观察、测量、计算等实践活动，来猜想，推出公式、定理的具体内容。例如在教学边形的外角和定理时，我的师傅宋加斌老师的一
