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1、第二章 矩阵补充习题(含答案) - 第二章 矩阵补充习题 1对于n阶方阵A，存在自由数k，使得A?0，试证明矩阵EA可逆，并写出其逆矩阵的表达式E为n阶单位阵 【详解】 由代数公式1-ak?(1?a)(1+a+?+ak-1)以及A与E可交换，有 kE-Ak?(E?A)(E+A+-Ak?1)，而Ak?0 故有(E?A)(E+A+-Ak?1)?E 可知EA可逆，且有 -1E-A?E+A+-Ak?1 2设A为n阶非奇异矩阵，?为n维列向量，b为常数记分块矩阵 ?EP-T*-?A*0-A，Q-?TA-， b?其中A是矩阵A的伴随矩阵，E为n阶单位矩阵 (1) 计算并化简PQ； (2) 证明：矩阵Q可逆
2、的充分必要条件是?A-b 【分析p 】 此题的关键是对于含A的计算或证明题，首先应联想到关系式*T?1AA*?A*A?AE另外，在进展矩阵乘法运算中要注意哪些是矩阵，哪些是向量，哪些是数，左乘还是右乘 【详解】 1因AA?AA?AE，故 *?EPQ-T*-?A?A =-0?2由1可得 PQ?20-A?TA-T*Tb-AA?A?A-? -TA*-bA-? T?1A?b-A-A?b-T?1?A-， 而PQ?P?Q,且P?A?0,，故 1-T?A? Q?Ab-由此可知，Q?0的充分必要条件为?A-b，即矩阵Q可逆的充分必要条件是T?1?TA?1-b 【评注】 此题综合考察了矩阵乘法运算、矩阵乘积行列
3、式的性质以及伴随矩阵的性质要特别注意重要公式：AA*?A*A?AE，且A可逆时，有 A?AA,?A*?1*?1?AA*?1?1 ?,A?A?A?,A?AA 3设A和B均为n?n矩阵，那么必有 (A) A?B?A?B. (B) AB=BA. (C) AB?BA. (D) (A?B)?1?A?1?B?1. 【 】 【详解】 矩阵的乘法运算不满足交换律，因此一般AB?BA,但AB?AB，而行列式是数，可交换，于是有AB?AB?BA?BA，可见应选(C). 对于(A), (D)，主要考察行列式和矩阵的运算性质，均可通过反例说明不成立。 ?-?nn?14设A?020，而n?2为正整数，那么A?2A? .
4、 -【分析p 】 此题假设分别计算出A及Ann?1，再代入A?2A23nn?1求其值，那么将问题弄复杂化了。一般而言，对于一个填空题，可先试算A,A,?,找出规律后，在进展计算。 【详解】 因为 ?-202-?2 A?020?020?040?2A， -202-故有 A?2A 5设n维向量-(a,0,?,0,a),a?0；E为n阶单位矩阵，矩阵 T A?E-?， B?E?nn?1?An?2(A2?2A)?0. T1-T， a其中A的逆矩阵为B，那么a= . T2T【分析p 】 这里-为n阶矩阵，而-?2a为数，直接通过AB?E进展计算并注意利用乘法的结合律即可. 【详解】 由题设，有 1-T)
5、a11TTTT =E- aa11TTTT =E-(-)? aa1TTT =E-?2a- a1T =E?(?1?2a?)-?E, a112于是有 ?1?2a-0，即 2a?a?1?0，解得 a?,a-1. 由于A0 ,故a=-1. a2 AB?(E-?)(E?T 6X=AX+B, 其中 ?010-1?1-? A-111， B?20， -10?1-?5?3-求矩阵X. 【详解】由X=AX+B,，有 (E-A)X=B, 于是X?(E?A)B. ?121-0?1?10-1-1 而 (E?A)?10?1=?321， -?3-0?11-?102-?121-1?1-3?1-01-故 X?(E?A)?1B=?
6、32120?20. -?3-?5?3-1?1-?0?11-? 7 设 ?a11?a21 A-?a31-a41a12a22a32a42a13a23a33a43a14-a14?aa24-, B-24?a34a34-?a44-a44a13a23a33a43a12a22a32a42a11?a21-, a31-a41-0?0? P1-0-1其中A可逆，那么B0100?100-1?00-, P2-?00-?0-0001001000?0-, 0-1?等于 ?1(A) A?1P1P2. (B) P1AP2. ?1?1(C) P1P2A. (D) P2AP1. 【详解】 因为P1是单位矩阵交换第一、四列后所得的
7、初等矩阵，而P2是交换第二、三列后所得的初等矩阵，于是有 B?AP2P1， 从而 ?1?1?1?1?1 B?1?(AP?P?P2P1)1P2A1P2A. 故正确选项为(C). 【评注】 设E为n阶单位矩阵，E(i,j),E(i(k),E(i,j?i(k)分别是将E交换第i,j两行、第i行乘以非零的k倍、将第i行的k倍加到第j行上去所得到的初等矩阵，那么有 1E(i,j)?1?E(i,j), E(i(k)?1?E(i)， E(i,j?i(k)?1?E(i,j?i(?k). k对于列变换的情形有类似的结果。 8 设n阶矩阵A与B等价, 那么必有 (A) 当|A|?a(a?0)时, |B|?a. (
8、B) 当|A|?a(a?0)时, |B|-a. (C) 当|A|?0时, |B|?0. (D) 当|A|?0时, |B|?0. 【分析p 】 对A通过一系列初等变换后得矩阵B,那么A,B等价. 因此矩阵A与B等价的充要条件是: r(A)?r(B)或存在可逆矩阵P,Q使得PAQ=B. 【详解】因为当|A|?0时, r(A)?n, 又 A与B等价, 故r(B)?n, 即|B|?0, 应选(D). 9. 设A为3阶矩阵，将A的第2行加到第1行得B，再将B的第1列的?1倍加到第?110-?2列得C，记P-010?，那么 ?001-?C?PAP. C?PAP. ?1?1C?PAP. C?PAP. 【 】
9、 【详解】由题设可得 TT?110-1?10-110-1?10-?B-010?A,C?B?010-?010?A?010?， ?001-001-001-001-1?10-1?1而 P-010?，那么有C?PAP.故应选. ?001-?10. 设矩阵A=(aij)3?3 满足A?A，其中A是A的伴随矩阵，A为A的转置矩阵. 假设a11,a12,a13为三个相等的正数，那么a11为 *T*T(A) 13. (B) 3. (C) . (D) 333. 【分析p 】 题设与A的伴随矩阵有关，一般联想到用行列展开定理和相应公式： AA*?A*A?AE. *【详解】 由A?A及AA?AA?AE，有aij?A
10、ij,i,j?1,2,3，其中Aij为aij的*T代数余子式，且AA?AE?AT2?A?A?0或A?1 23 而A?a11A11?a12A12?a13A13?3a11?0，于是A?1，且a11?3. 故正确选项3为(A). 【评注】 涉及伴随矩阵的问题是常考题型，只需注意到两个重要思路：一是用行列展开定理，另一是用公式：AA?AA?AE. 11 设A是m?n矩阵，C是n阶可逆矩阵，矩阵A的秩为r，矩阵B=AC的秩为r1，那么 (A) r?r1 (B) r?r1 (C) r?r1 (D) r与r1的关系由C而定 【 】 【分析p 】 利用左乘或右乘可逆矩阵不改变被乘矩阵的秩即得结果 【详解】 由
11、B=AC知r1?秩(A)?r,又B?AC两边同时右乘C，得A?BC，于是r?秩(B)?r1，从而有r?r1 ?1?1* 12设矩阵 ?k?1 A-?1-11k1111k11?1- 1-k?且秩(A)=3，那么k= . 【分析p 】 由A的秩为3知，A的行列式一定为零，从而可解出参数k. 不过应当注意的是假设由A?0得到的参数不唯一，那么应将参数代回去进展检验，以便确定哪一个为正确答案，因为使得A?0只是必要条件而非充分条件。 【详解】 由题设秩(A)=3，知必有 k1 111k1111k111?(k?3)(k?1)3?0 1k解得k=1或k=-3. 显然k=1时，秩r(A)=1不符合题意，因此一定有k=-3. 【评注】 在做此类填空题时，排除k=1后可立即得k= -3，不必真的将k= -3代入进展检验。不过假设先检验k= -3为正确的时，仍应检验k=1的情形，因为可能两个k值均是正确的。另外，此题也可通过初等变换化A为阶梯形进展分析p 。 第 页 共 页
