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1、复合函数研究策略山东 张吉林（山东省莱州五中 邮编261423）所谓的复合函数就是由两个或两个以上的基本初等函数复合而成的函数，其基本形式为、为基本初等函数，则称为复合函数。由于其结构较为复杂，函数特征比较抽象，给我们的学习带来了一定的困难，本文就有关复合函数学习中的几类常见研究方法加以例述，供大家参考。一、抽象的复合函数问题1.求定义域问题例1.已知函数的定义域为（0，2），求函数的定义域。分析：本例属于抽象的复合函数定义域问题，解决好本题的关键是正确理解函数的对应法则的真正含义，以及函数的定义域是指其中自变量的取值范围。解析：由于函数的定义域为（0，2），即，故，从而有，解之得，所以函数的
2、定义域为。点评：本例在解答过程中的关键问题是在对应法则的作用下的部分地位是等价的，即与的范围是一致的。2.判断复合函数的奇偶性例2（2006年辽宁卷）设是定义在R上的函数，则下列叙述正确的是（ ）A.是奇函数 B.是奇函数C.是偶函数 D.是偶函数解析：对于选项A：令，则，故为偶函数；对于选项B：令，则，此时与的奇偶关系不能确定；对于选项C：令，则，故为奇函数；对于选项D：令，则，故为偶函数。因此，答案选D.点评：用定义来判断函数的奇偶性是最基本、也是最好的判断方法，在判断过程中需注意两点：一是验证所给函数的定义域是否关于原点对称；二是要看与的关系。除直接观察外，常见的还有用的值是否为1或来判
3、断。3.研究函数的增减性问题例3.已知函数是偶函数，上是单调递减函数，则（ ）A. B. C. D. 分析：函数的图象是在的图象的基础上，沿x轴向右平移2个单位而得到。弄清函数与间的关系是解本题的关键。解析：由于函数是偶函数，故其图象关于y轴对称，又函数的图象是在的图象的基础上，沿x轴向右平移2个单位而得到，所以的图象关于直线对称，上单调递减，则其在2,4上单调递增；故在上单调递减，在上单调递增，如图所示-220xy-1结合图象可知，故答案选A.点评：本题很好地将函数的奇偶性、单调性及图象的变换结合在一起，综合性较强，弄清函数与间的关系，充分利用的单调性来研究是解本题的关键。二、有具体解析式的
4、复合函数1.定义域问题例1.已知函数，那么函数的定义域是（ ）A. B. C. D. 分析：本题属于复合函数求定义域，应首先分清函数的复合类型，即分清内、外层函数，然后通过内外层函数的具体类型来确定所应满足的条件。解析：令，即解得（舍）所以，故答案选C.点评：作为内层函数，同时在外层函数对数函数的真数位置，应保证其大于零。2.值域问题例2.求函数的值域。解析：设 点评：通过令，将原函数转化为复合函数的值域问题，但要注意这一条件不要忽视。3. 求解析式类例3.已知。分析：欲求的表达式，需先求出进一步将代入可得。解析：， 令得， 。点评：本题在求函数的解析式时，用构造法来求解的，常见的还可以用换元
5、法。4.函数的单调性问题例4.函数在上单调递增，则在上是（ ）A.由负到正单调递增 B. 由正到负单调递减C.单调递减且恒为正数 D. 时增时减分析：本题直接研究原函数的增减性比较困难，但若换元令，将其转化为复合函数问题，较易解决。解析：令，则原函数可化为，其为偶函数，图象关于y轴对称；又的图象是将图象沿x轴向左平移1个单位得到，故的图象关于直线对称。又在上单调递增，故可知，的大致图象如图所示：oxy-1结合图象易知在上由正到负单调递减，故答案选B.通过以上对抽象的复合函数和有具体解析式的复合函数两类问题的研究，我们不难看出，不论是哪一类函数的复合函数在研究过程中，首要的问题是分清内外层函数类型，在此基础上，将所研究的问题归为各自的函数内容中，化归为基本初等函数问题来解决。
