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1、福建省厦门市2018届高中毕业班第二次质量检查试题数学（理）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知全集，集合，则图中阴影部分所表示的集合是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：解二次不等式得集合A，由集合的运算得阴影部分.详解：由题意，阴影部分为.故选C.2. 已知，则的值是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析：由诱导公式求得，再由同角关系式求得，最后由二倍角公式得.详解：，故选A.点睛：本题考查的恒等变换，三角函数的诱导公式、同角间的三角函数关系、两角和与差的正弦（余弦、正切）公式、
2、二倍角公式是解这类题常要用到的公式，需要熟练掌握另外需要观察“已知角”和“未知角”之间的关系，寻找它们之间的联系，从而确定选用什么公式进行变形、化简3. 若展开式的二项式系数之和为64，则展开式中的常数项是（ ）A. 1215 B. 135 C. 18 D. 9【答案】B【解析】分析：由二项式系数和求出指数，再写出展开式通项后可求得常数项详解：由题意，通项为，令，常数项为，故选B.点睛：在展开式中二项式系数为，所有项的系数和为要注意这两个和是不一样的，二项式系数和是固定的，只与指数有关，而所有项系数和还与二项式中的系数有关4. 执行如图的程序框图，若输出的值为55，则判断框内应填入（ ）A.
3、B. C. D. 【答案】C【解析】分析：模拟程序运行，观察变量的值可得结论.详解：程序运行中变量值依次为：；，此时应结束循环，条件应为.故选C.点睛：本题考查程序框图中的循环结构，解题时可模拟程序运行，由其中变量值的变化结论.，本题也可由程序得出其数学原理，然后研究得出.本题程序实质是求数列的和：，当为偶数时，当为奇数时，计算后可得10时，程序运行后11，从而得出判断条件.5. 等边的边长为1，是边的两个三等分点，则等于（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析：先为基底，把用基底表示后再进行数量积的运算.详解：由已知， ，故选A.点睛：本题考查平面向量的数量积运算，解题关键是选取
4、基底，把其它向量都用基底表示，然后进行计算即可，因此也考查了平面向量基本定理，属于基础题.6. 从装有形状大小相同的3个黑球和2个白球的盒子中依次不放回地任意抽取3次，若第二次抽得黑球，则第三次抽得白球的概率等于（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析：这是一个条件概率，可用古典概型概率公式计算，即从5个球中取三个排列，总体事件是第二次是黑球，可在第二次是黑球的条件下抽排第一次和第三次球.详解：.点睛：此题是一个条件概率，条件是第二次抽取的是黑球，不能误以为是求第二次抽到黑球，第三次抽到白球的概率，如果那样求得错误结论为.7. 九章算术是我国古代数学成就的杰出代表.其中方田章给出计
5、算弧田面积的经验公式为：.弧田（如图1阴影部分）由圆弧和其所对弦围成，弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.类比弧田面积公式得到球缺(如图 2)近似体积公式：圆面积矢.球缺是指一个球被平面截下的一部分，厦门嘉庚体育馆近似球缺结构（如图3)，若该体育馆占地面积约为18000，建筑容积约为340000，估计体育馆建筑高度(单位：)所在区间为（ ）参考数据: ，. A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：根据所给近似体积公式分别计算时的体积近似值.详解：设体育馆建筑高度为，则，若，则；若，则，若，则，故选B.点睛：本题通过数学文化引入球缺体积近似公式，即吸引了学生的眼球，
6、又培养了学生的兴趣，同时培养了学生的爱国情怀，是一道好题.8. 设满足约束条件且的最大值为8，则的值是（ ）A. B. C. D. 2【答案】B【解析】分析：作出可行域，作出直线，平移直线可得最优解，由最优解可解值.详解：作出可行域，如图内部（含边界），作出直线，易知向上平移直线时，增大，所以当过点时，取最大值，由得，解得.故选B.点睛：本题考查简单的线性规划问题，其解法如下：作出可行域，作出目标函数对应的直线，平移直线得最优解.9. 函数在区间单调递减，在区间上有零点，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：结合余弦函数的单调减区间，求出零点，再结合零点范围列出不
7、等式详解：当，又，则，即，由得，解得，综上.故选C.点睛：余弦函数的单调减区间：，增区间：，零点：，对称轴：，对称中心：，.10. 已知函数，若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：利用导数研究函数的单调性，由指数函数与对数函数的性质得的大小，然后可得结论.详解：，当时，递减，当时，递增，是的最小值，又，且，故选C.点睛：比较函数值的大小，通常是利用函数单调性，象本题这种函数的单调性一般通过导数来研究，11. 抛物线的准线与轴的交点为，直线与交于两点，若，则实数的值是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析：由抛物线的焦点弦性质知，这个结论必须先证明（可用几何方
8、法也可用代数方法），然后把用直线的倾斜角表示后求出，从而得斜率，还要注意对称性，应该有两解.详解：直线过抛物线的焦点，过分别作抛物线的准线的垂线，垂足分别为，由抛物线的定义知，又，而，即，设直线的倾斜角为，若，则，由对称性也有.故选D.点睛：关于的证明方法还可用代数方程证明：设方程为，代入得，设，则， ，直线关于轴对称，即，由面积法或角平分线定理得.这实质是任意的抛物线的过焦点的弦的性质之一.12. 已知函数，若关于的方程有两个不等实根 ，且，则的最小值是（ ）A. 2 B. C. D. 【答案】D【解析】分析：由导数得是增函数，则有且只有一解，因此方程有两解，则有两解，再由与性质可得结论.详
9、解：，当时，当时，在上恒成立，是上的增函数.令，则有且只有一解，则要使方程有两解，只要有两解即可.由于在和上都是增函数，因此当时，有两解，设解为且，则，（如图），令，易知时，时，即时取得极小值也是最小值.故选D.点睛：本题考查导数在研究函数中的应用和函数的概念与性质，首先利用导数判断出函数是单调函数，从而方程有且只有一解，因此问题转化为方程有两个解，通过的图象得出两解的范围与表达式及的范围，然后可以把表表示出来，再由导数求出此关于的函数的最小值.本题还考查了逻辑思维能力、转化与化归思想，属于难题.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知复数满足，则等于_【答案】【解析
10、】分析：可先求出，再根据复数模的定义求出模详解：由题意，则故答案为点睛：复数，由，本题也可根据模的性质求解：，14. 斜率为2的直线被双曲线截得的弦恰被点平分，则的离心率是_【答案】【解析】分析：设出弦两端点的坐标，代入双曲线方程后作差可得的关系式，从而求得离心率详解：设直线的与双曲线的两个交点为，则，两式相减得，即，又由已知，即，所以故答案为点睛：设斜率为的直线与双曲线交于两点，弦的中点为，则，即证明方法可用“点差法”15. 某四面体的三视图如图所示，则该四面体高的最大值是_【答案】2【解析】分析：由三视图还原出几何体，分析结构图即可详解：如图是原几何体，其在正方体中的位置，正方体棱长为2，
11、则该四面体高的最大值为2.故答案为2.点睛：本题考查由三视图还原几何体问题，解题时必须掌握基本几何体的三视图，再由基本几何体得出一些组合体的三视图16. 等边的边长为1，点在其外接圆劣弧上，则的最大值为_【答案】【解析】分析：引入一个参数，设，利用正弦定理把用表示，这样可把也用表示出来，然后由三角函数的性质可求得最大值详解：设，则，外接圆半径为，在中，同理，则 .当时，的最大值为.点睛：本题考查解三角形的应用，解题关键是建立三角函数的模型，题中点P在劣弧AB上移动，因此选为变量，把面积和表示的函数，结合三角函数知识求得最大值解决此类问题必须掌握两角和与差的正弦（余弦）公式、二倍角公式、正弦函数
12、的性质、三角形的面积公式等知识，本题同时考查了学生的运算求解能力三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知等差数列满足.（1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和.【答案】（1）；（2）【解析】分析：（1）已知数列是等差数列，因此由已知先求出，利用成等差数列求出参数，从而可得数列的通项公式；（2）把变形为，从而用分组求和与裂项相消求和法求得其前项和详解：（1）（法一）由，令，得到是等差数列，则，即解得：由于，（法二）是等差数列，公差为，设对于均成立则，解得，（2）由18. 已知四棱锥的底面是直角梯形，为的中点，.（1）证明:平面平面
13、；（2）若与平面所成的角为，求二面角的余弦值.【答案】（1）见解析；（2）【解析】分析：（1）在直角梯形中，由已知得是等边三角形，这样结合可得，再有，因此有平面，从而可证面面垂直；（2）只要作于点，则可得平面，从而得是中点，计算得，以为坐标轴建立空间直角坐标系，写出各点坐标，求出平面和平面的法向量，由法向量的夹角的余弦值得二面角的余弦值详解：（1）证明：由是直角梯形，可得从而是等边三角形，平分为的中点，又，平面 平面，平面平面 （2）法一：作于,连,平面平面,平面平面 与平面平面为与平面所成的角，又,为中点,以为轴建立空间直角坐标系， ，设平面的一个法向量， 由得，令得， 又平面的一个法向量为
14、，设二面角为，则 所求二面角的余弦值是.解法二：作于点,连，平面平面，平面平面 平面为与平面所成的角,又,为中点，作于点,连,则平面，则，则为所求二面角的平面角 由，得,.点睛：在立体几何中求空间角（异面直线所成的角，直线与平面所成的角，二面角）常常是建立空间直角坐标系，写出各点坐标，求出直线的方向向量和平面的法向量，由空间向量的夹角与空间角的关系，采用向量法求得空间角19. 某市大力推广纯电动汽车，对购买用户依照车辆出厂续驶里程的行业标准，予以地方财政补贴.其补贴标准如下表:2017年底随机调査该市1000辆纯电动汽车，统计其出厂续驶里程，得到频率分布直方图如图所示.用样本估计总体，频率估计概率，解决如下问题：（1）
