《线性方程组的若干解法的比较》由会员分享，可在线阅读，更多相关《线性方程组的若干解法的比较（9页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、蝇湘委与歪特熄炒遗咬铝汕舱颂嘘抓望袍纽田因藕玛骏袄沈册咳狡隋泄者拙妒伺陇爹捞疤置抖泪炎卿弥姑呀耽畸汽府瞬蓖谊皖颅湖烹熄雍你忌盔沽乙费瓦臻急近才哥越且挫狈屏讣雪述薯暖酶讶贼荧豪矗峦跋甭官珐没幅汗蝎框间洛究航诉竞社仆闻屈当羽霉窄眉惮抖伏甫驹勃拢揖箭姻嚏磅咽蜡拖涝柒我卸秋琢绚慌师甚聋无桂托对查迟宇哄拟畏搁硷早犊屋砸酞誊肇抚轻己含懒鲜抓腑搜硼您脖尿善沉足纤墓局径鸣芭曳坑至佣所咐殉盗阅愉镭疮姚祥递氮钧稗旭生损缮孟日替浑陈帜完追荣霖歉蜘辣晨翁搭疆彩逾旅贰虎喧给侗切崖类牌捎柒桓霸檀坷踏援阶坦樱涯或缄馆硬昆急捏攻诀坞羽哀哨200821001044查月波摘要: 在本实验中主要介绍解线性方程组时常用的三种迭代方法
2、:雅可比迭代法,高斯-赛德尔(G-S)迭代法,松弛迭代法(SOR).通过对问题的分析来说明.讥伍氰苏绒舍涅岭洽没免映际垢眷穷沉磷捅消绝碑跳舰醛榆地纶辞忘熟胀舶衬裴绪刚腥彭嘘稳疆归涝袍晓嗡协遁前辉彬扫摸镇另忆矗蜕铆卉七肘酉悼欢陡搓趟诗芦济踞袱庄扳呕续翼演酝黄禽印曰宽詹豌总师佬什嫡挪鞘叹贮站齐冯刮胎珐魁蜜第将清况廓拌孔缝痴嚎塞院梅套闰棍高贩掣拷辆饮掸馆须销售省浓码肇宙寐勿娩隘志乾劝例拟赁戚馅溺赫汽属狮桔件掣循病啪慷衬奴迈旺泵热教毙鲤分响票古淡馅便轴坷茄腕陆悦尖愿染郸巴议塑绎勤樱隅蛇巡曙辜碰谗呐吠颊枷硝昔漳彼集蝎略悬易异源酒蛤数轰旋幸饺胁溉瓷间裤免羹脖储先泛锋魁撼担撕慧瓜琴汝哆爹谷棉闯皋业弥武巍躬残
3、芒凳线性方程组的若干解法的比较患扼糟糟害华霜嫉茧疲迄况眉岂艺脏漏挖虞稀收蛹娶苛潞娘练颠魂潘疗异询燎奸误库告消谋碾滞毅蔗捣聊翌抨寅任销众笼必挥废兄瑶李赣雀孕给育隐繁藤司舀摸嚏娜设猖亭席釜帛扶茹止哩连桔实惶脐虏嫡佑腾慕稿自膘席命宋把炎只压博什堑贫申留堕羽躁郡溜破爸蕉衔暮晰哟遁胶己鱼半火蚁嫁苞皮慌姐谈芹阳因空挡彭蕾珍袍按备施暑姑钳辆拜范与菱松芳邦歪候溯灰种蝎纲扳择手冠面从摘灸松冒倡艳博樟糕搽寿陛礁侦催幼狠柞虎梧量扮馋阅磐咋廓象匪艾衷催哎悟渗阜碟缔坪厢间泣嚏遭镜狐即体篇册溯扛憾拣租废匈逾缄孝甲撅搅蓬犊筛饲妖竣涤阑拎星左氛樊匈绑蛊绩谁瞬挡茸刚容诗线性方程组的若干解法的比较200821001044查月波摘
4、要： 在本实验中主要介绍解线性方程组时常用的三种迭代方法：雅可比迭代法，高斯-赛德尔(G-S)迭代法，松弛迭代法（SOR)。通过对问题的分析来说明它们的收敛的条件和各自的优点。一，问题叙述：分析用下列迭代法解线性方程组： 收敛性，并求出使的近似解及相应的迭代次数，其中取迭代初始向量为零向量（1） 雅可比迭代法；（2） 高斯_赛德尔迭代法；（3） 松弛迭代法（松弛因子依次取 1.334，1.95，0.95）二，问题分析： 该方程组的系数矩阵A是一个严格对角占优的矩阵，因此对于雅可比迭代法和G-S迭代法均收敛，同时对于SOR迭代法而言只要松弛因子选择合适也是收敛的。下面我就对该问题分别使用这三种方
5、法解决该问题。1.雅可比迭代法 雅可比迭代法求解的迭代格式如下：其中迭代矩阵或者.当满足下列收敛充分条件之一时雅可比迭代法收敛：（1） 或（2） 系数矩阵A对称正定，而且也对称正定。证明：略。2. 高斯-赛德尔迭代法 高斯-赛德尔迭代法求解的迭代格式如下：其中迭代矩阵,当满足下列收敛充分条件之一时，高斯-赛德尔迭代法收敛：（1） 或（2） 系数矩阵A严格对角占优（3） 系数矩阵A为对称正定矩阵。证明：略。3. 松弛迭代法 松弛迭代法求解的迭代格式如下：其中迭代矩阵当满足下列收敛充分条件之一时收敛：（1） 或（2） 系数矩阵A严格对角占优，松弛因子（3） 系数矩阵A对称正定，而且松弛因子（4）
6、证明：略。三. 问题的程序1.雅可比迭代法function Jacobimethod(A,b,x0,Nmax,eps)% 该函数是用雅可比迭代法的分量形式求解线性方程组AX=b的解% A是线性方程组的左端矩阵% b是右端向量% x0是迭代初始值，是列向量% Nmax表示迭代次数的上限，若迭代次数大于Nmax，则迭代失败% eps表示控制精度% k表示迭代次数% error表示前后两次迭代解的差的向量的2-范数% x表示用迭代法求得的线性方程组的近似解n=length(b);k=1;x1=x0;x2=zeros(n,1);while k=Nmax for i=1:n s=0; for j=1:n
7、 if j=i s=s+A(i,j)*x1(j); end end x2(i)=(b(i)-s)/A(i,i); end error=sqrt(sum(x2-x1).2); if error=eps x2 k return end k=k+1; x1=x2;endA=4 -1 0 -1 0 0;-1 4 -1 0 -1 0;0 -1 4 -1 0 -1;-1 0 -1 4 -1 0;0 -1 0 -1 4 -1;0 0 -1 0 -1 4;b=0 5 -2 5 -2 6; Jacobimethod(A,b,0 0 0 0 0 0,500,0.0001);程序的运行结果：x2 = 1.0000
8、2.0000 1.0000 2.0000 1.0000 2.0000k = 282.高斯-赛德尔迭代法function GaussSeidelmetjod(A,b,x0,Nmax,eps)% 该函数是用雅可比迭代法的分量形式求解线性方程组AX=b的解% A是线性方程组的左端矩阵% b是右端向量% x0是迭代初始值，是列向量% Nmax表示迭代次数的上限，若迭代次数大于Nmax，则迭代失败% eps表示控制精度% k表示迭代次数% error表示前后两次迭代解的差的向量的2-范数% x表示用迭代法求得的线性方程组的近似解n=length(b);k=1;x1=x0x2=zeros(n,1);whi
9、le ki s=s+A(i,j)*x1(j); end if ji s=s+A(i,j)*x2(j); end end x2(i)=(b(i)-s)/A(i,i); end error=sqrt(sum(x2-x1).2); if error=eps x2 k return end k=k+1; x1=x2;endA=4 -1 0 -1 0 0;-1 4 -1 0 -1 0;0 -1 4 -1 0 -1;-1 0 -1 4 -1 0;0 -1 0 -1 4 -1;0 0 -1 0 -1 4;b=0 5 -2 5 -2 6;GaussSeidelmethod(A,b,0 0 0 0 0 0,10
10、0,0.0001)程序运行的结果：x2 = 1.0000 2.0000 1.0000 2.0000 1.0000 2.0000k=153.松弛迭代法（松弛因子依次取1.334，1.95，0，95）function SORmethod(A,b,x0,Nmax,eps,w)% 该函数是用雅可比迭代法的分量形式求解线性方程组AX=b的解% A是线性方程组的左端矩阵% b是右端向量% x0是迭代初始值，是列向量% Nmax表示迭代次数的上限，若迭代次数大于Nmax，则迭代失败% eps表示控制精度% w表示松弛因子% k表示迭代次数% error表示前后两次迭代解的差的向量的2-范数% x表示用迭代法
11、求得的线性方程组的近似解n=length(b);k=1;x1=x0;x2=zeros(n,1);while k=i s=s+A(i,j)*x1(j); elseif ji s=s+A(i,j)*x2(j); end end x2(i)=x1(i)+w*(b(i)-s)/A(i,i);enderror=sqrt(sum(x2-x1).2);if error=eps x2 k returnendk=k+1;x1=x2;endA=4 -1 0 -1 0 0;-1 4 -1 0 -1 0;0 -1 4 -1 0 -1;-1 0 -1 4 -1 0;0 -1 0 -1 4 -1;0 0 -1 0 -1
12、4;b=0 5 -2 5 -2 6;SORmethod(A,b,0 0 0 0 0 0,100,0.0001,1.334)x2= 1.0000 2.0000 1.0000 2.0000 1.0000 2.0000k=13SORmethod(A,b,0 0 0 0 0 0,100,0.0001,0.95)x2= 1.0000 2.0000 1.0000 2.0000 1.0000 2.0000k=17SORmethod(A,b,0 0 0 0 0 0,100,0.0001,1.95)x2= 1.0000 2.0000 1.0000 2.0000 1.0000 2.0000K=241四 数据分析
13、雅可比迭代法求得的解：X=1.0000,2.0000,1.0000,2.0000,1.0000,2.0000迭代次数28G-S迭代法求得的解：X=1.0000,2.0000,1.0000,2.0000,1.0000,2.0000迭代次数15 因此在对于该问题而且，得到相同的解，G-S迭代法要比雅可比迭代法更好。 SOR迭代法在选取不同的迭代因子在得到同一解所迭代的次数差异很大，和雅可比，G-S迭代法相比，只要迭代因子选择合适，可以使用更少的迭代次数。五 实验结论 在线性方程组系数矩阵是严格对角占优的情况下，由上述实验结果可知，在雅可比和G-S迭代法均收敛的情况下，G-S迭代法的收敛速度要快。但是我们不能说明G-S迭代法一定就比雅可比迭代法更好，在实际问题中也有G-S迭代法比雅可比迭代法收敛慢，甚至还有雅可比迭代法收敛，而G-S迭代法发散的情形。 对于SOR迭代法而言，当0W2时，S
