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1、第4讲与函数的零点相关的问题 函数零点的个数问题1.函数f(x)=xcos 2x在区间0,2上的零点的个数为(D)(A)2(B)3(C)4(D)5解析:要使f(x)=xcos 2x=0,则x=0,或cos 2x=0,而在区间0,2上,通过观察y=cos 2x的函数图象,易得满足cos 2x=0的x的值有,所以零点的个数为5个.2.(2015南昌二模)已知函数f(x)=函数g(x)是周期为2的偶函数,且当x0,1时,g(x)=2x-1,则函数y=f(x)-g(x)的零点个数是(B)(A)5(B)6(C)7(D)8解析:函数y=f(x)-g(x)的零点个数就是函数y=f(x)与y=g(x)图象的交
2、点个数.在同一坐标系中画出这两个函数的图象:由图可得这两个函数的交点为A,O,B,C,D,E,共6个点.所以原函数共有6个零点.故选B.3.(2015南昌市一模)已知函数f(x)=若关于x的方程ff(x)=0有且只有一个实数解,则实数a的取值范围为.解析:依题意,得a0,令f(x)=0,得lg x=0,即x=1,由ff(x)=0,得f(x)=1,当x0时,函数y=lg x的图象与直线y=1有且只有一个交点,则当x0时,函数y=的图象与直线y=1没有交点,若a0,结论成立;若a0,则函数y=的图象与y轴交点的纵坐标-a1,得-1a0,则实数a的取值范围为(-1,0)(0,+).答案:(-1,0)
3、(0,+)4.(2015北京卷)设函数f(x)=若a=1,则f(x)的最小值为;若f(x)恰有2个零点,则实数a的取值范围是.解析:当a=1时,f(x)=其大致图象如图所示: 由图可知f(x)的最小值为-1.当a0时,显然函数f(x)无零点;当0a1时,易知f(x)在(-,1)上有一个零点,要使f(x)恰有2个零点,则当x1时,f(x)有且只有一个零点,结合图象可知,2a1,即a,则a1,由二次函数的性质可知,当x1时,f(x)有2个零点,则要使f(x)恰有2个零点,则需要f(x)在(-,1)上无零点,则2-a0,即a2.综上可知,满足条件的a的取值范围是,1)2,+).答案:-1,1)2,+
4、)确定函数零点所在的区间5.(2015四川成都市一诊)方程ln(x+1)-=0(x0)的根存在的大致区间是(B)(A)(0,1) (B)(1,2) (C)(2,e) (D)(3,4)解析:设f(x)=ln(x+1)-,则f(1)=ln 2-20,得f(1)f(2)0,函数f(x)在区间(1,2)有零点,故选B.6.(2015河南郑州市一模)设函数f(x)=ex+2x-4,g(x)=ln x+2x2-5,若实数a,b分别是f(x),g(x)的零点,则(A)(A)g(a)0f(b)(B)0g(a)f(b)(C)f(b)0g(a)(D)f(b)g(a)0解析:考查函数y=ex与y=4-2x的图象,得
5、其交点的横坐标a应满足0a1;考查函数y=ln x与y=5-2x2的图象,得其交点的横坐标b应满足1be+2-40,可排除C,D;0a1,g(a)ln 1+2-50)上的最小值;(3)若存在两不等实根x1,x2,e,使方程g(x)=2exf(x)成立,求实数a的取值范围.解:(1)当a=5时g(x)=(-x2+5x-3)ex,g(1)=e.g(x)=(-x2+3x+2)ex,故切线的斜率为g(1)=4e.所以切线方程为y-e=4e(x-1),即y=4ex-3e.(2)f(x)=ln x+1,x(0, )(,+)f(x)-0+f(x)单调递减极小值(最小值)单调递增当t时,在区间(t,t+2)上
6、f(x)为增函数,所以f(x)min=f(t)=tln t,当0t时,在区间(t, )上f(x)为减函数,在区间(,t+2)上f(x)为增函数,所以f(x)min=f()=-.(3)由g(x)=2exf(x),可得2xln x=-x2+ax-3,a=x+2ln x+,令h(x)=x+2ln x+,h(x)=1+-=.x(,1)1(1,e)h(x)-0+h(x)单调递减极小值(最小值)单调递增h()=+3e-2,h(1)=4,h(e)=+e+2.h(e)-h()=4-2e+0,于是(x)在(0,1)上单调递增;当x(1,2)时,(x)0,于是(x)在(1,2)上单调递减;依题意有解得ln 3-1
7、b1,0b=log320f(-1)=log32-1-log32=-10,所以根据函数的零点存在性定理得出函数f(x)=ax+x-b的零点所在的区间是(-1,0),故选B.2.(2015凉山州模拟)设函数f(x)=|ln x|-的两个零点为x1,x2,则有(A)(A)x1x21 (B)x1x2=1(C)1x1x2(D)x1x2解析:由f(x)=|ln x|-=0,得|ln x|=,作函数y=|ln x|与y=的图象如图.不妨设x1x2,由图可知,x11x2,则ln x1|ln x2|,所以-ln x1ln x2,则ln x1+ln x20,即ln (x1x2)0,所以x1x20或-2x+a2x,
8、或a1或a0.故选D.4.(2014重庆卷)已知函数f(x)=且g(x)=f(x)-mx-m在(-1,1内有且仅有两个不同的零点,则实数m的取值范围是(A)(A) (-,-2(0, (B) (-,-2(0, (C) (-,-2(0, (D) (-,-2(0, 解析:g(x)=f(x)-mx-m在(-1,1内有且仅有两个不同的零点就是函数y=f(x)的图象与函数y=m(x+1)的图象有两个交点,在同一直角坐标系内作出函数f(x)=和函数y=m(x+1)的图象,如图, 当直线y=m(x+1)与y=-3,x(-1,0和y=x,x(0,1都相交时,0m;当直线y=m(x+1)与y=-3,x(-1,0有
9、两个交点时,由方程组消元得-3=m(x+1),即m(x+1)2+3(x+1)-1=0,化简得mx2+(2m+3)x+m+2=0,当=9+4m=0,即m=-时,直线y=m(x+1)与y=-3相切,当直线y=m(x+1)过点(0,-2)时,m=-2,所以m(-,-2.综上,实数m的取值范围是(-,-2(0, ,故选A.5.(2014湖北卷)已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x0时,f(x)=x2-3x.则函数g(x)=f(x)-x+3的零点的集合为(D)(A)1,3 (B)-3,-1,1,3(C)2-,1,3(D)-2-,1,3解析:当x0时,函数g(x)的零点即方程f(x)=x-3的根,由x2
10、-3x=x-3,解得x=1或3;当x0时,由f(x)是奇函数得-f(x)=f(-x)=x2-3(-x),即f(x)=-x2-3x.由f(x)=x-3得x=-2-(正根舍去).故选D.6.已知x0是函数f(x)=2x+的一个零点,若x1(1,x0),x2(x0,+),则(B)(A)f(x1)0,f(x2)0(B)f(x1)0(C)f(x1)0,f(x2)0,f(x2)0解析:函数y=2x,y=在(1,+)都为单调增函数,所以f(x)=2x+在(1,+)上为单调增函数.因为f(x0)=0,所以x1(1,x0),x2(x0,+)时,f(x1)f(x0)=0,从而答案B正确.7.(2015山东模拟)已
11、知函数f(x)=则下列关于函数y=ff(kx)+1+1(k0)的零点个数的判断正确的是(C)(A)当k0时,有3个零点;当k0时,有4个零点;当k0时,有3个零点(C)无论k为何值,均有3个零点(D)无论k为何值,均有4个零点解析:令ff(kx)+1+1=0得,或解得f(kx)+1=0或f(kx)+1=;由f(kx)+1=0得,或即x=0或kx=;由f(kx)+1=得,或即ekx=1+(无解)或kx=;综上所述,x=0或kx=或kx=;故无论k为何值,均有3个解.故选C.8.(2015怀化二模)定义域为R的函数f(x)=若关于x的函数h(x)=f2(x)+af(x)+有5个不同的零点x1,x2,x3,x4,x5,则+等于(C)(A)15 (B)20 (C)30 (D)35解析:作函数f(x)=的图象如图,则由函
