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1、简单线性规划问题的几种简单解法依不拉音。司马义(吐鲁番市三堡中学，838009)“简单的线性规划问题”属于高中数学新课程必修5，进入了高考试题，并且保持了较 大的考察比例，几乎是每年高考的必考内容，也是高中数学教学的一个难点。简单的线性规划是指目标函数只含两个自变量的线性规划。简单线性规划问题的标准型 为：Ax + By + C 0( 0( 0(0 (V0),则不等式Ax+By+C0 (V0)表示的区域在直 线Ax+By+C=0的上方；若B0( V0),则不等式Ax+By+CVO (0)表示的区域 在直线Ax+By+C=0的下方。(即若B与0的大小方向跟不等式的方向相同，则可行 区域是边界线的
2、上方；若B与0的大小方向与不等式的方向相反，则可信分区域是边 界线的下方)用上面的两种方法画出可行区域是很简单，所以这里不必举例说明。 第二步、在画出的可行区域内求最优解(使目标函数取最大值或最小值的点)，这 个可以用下面的两种办法解决。az(l)y轴上的截距法：若b 0，直线yx +厂所经过可行域上的点使其y轴上bbaz的截距最大(最小)时，便是z取得最大值(最小值)的点；若b 0，直线y = -x + - bb所经过可行域上的点使其y轴上的截距最大(最小)时，是z取得最小值(最小值)的 点(提醒：截距不是距离，截距可以取正负)。x + y 1,例1设x,y满足约束条件 y 0,解：如图1作
3、出可行域，因为y的系数1大于0，目标函数z二2x + y表示直线y = 2x + z在y轴上的截距，当直线过A(1, 0)时，截距值最大z = 2 X 1 + 0 = 2， max当直线过点O (0, 0)时，截距值最小z 二2X 0 + 0二0。miny 1例2若变量x, y满足约束条件x + y 0x - y - 2 0解：如图作出可行域，y的系数-2小于0,过点A(1,-1)时在y轴上的距最小，目标函数z = x- 2y取得最大值，所以z二1 - 2x (-1)二3 ；过点B(-1,1)max时在y轴上的截距最大，目标函数z = x-2y取得最，所以 z =一1 一 2x1 = 一3。m
4、in求z = x - 2 y的最大值和最小值。法向量法：目标函数z = Ax + By的法向量为(A, B)，它垂直于目标函数直线的向量。当目标函数的值线沿目标函数法向量方向 平移时，目标函数值逐步增加，与可行区域最后(最先)相交的点上取最大值(最小值)； 当等值线沿目标函数法向量反方向平行移动时，目标函数值逐步减少，与可行区域最后 (最先)相交的点上取最小值(最大值)。例3.点P(x, y)在以A(2, 1)、B(-1, -6)、C(-3, 2)为顶点的三角形区域(包括边界)内，求z= 4x-3y的最大值与最小值。解：目标函数z= 4x-3y的法向量为(4,-3),目标函数的直线沿法向量的方
5、向平移时,最先与可行域在C点上相交，最后在B点上相交(因为目标函数的等值线从左上角平移过来)。所以目标函数在点C ( -3,2 )上取最小值z = 4x (-3) 4x 2 = 18，在点 B (-1， -6)min上取最大值 z= 4 x (-1) - 4 x (-6) = 14。max图解法虽然直观、形象，它容易使人具体地认识线性规划模型的求解过程，但是， 这里难点至少有二；一是必要考虑y的系数b的正负，否则容易得出反相的结论；二是 要注意直线束的倾斜程度，尤其，要注意与约束条件中的一条或两条只想的倾斜程度的 关系，即斜率大小对直线倾斜程度的影响。其中，当斜率为负值时，是学生最感头疼的，
6、也是学生最易出错的。为此，下面介绍通过向量数量积解决线性规划问题的方法，这种 方法尽量避开以上两个难点，使解法更直观，更简单，更不易出错。2. 向量的数量积法uuuur uuur把z = Ax + By看成平面内的向量0M = （A, B）与ON二（x, y）的数量积，即uuur urnrz = OM gON =uuur urnruuuur uuuruuurOM ON cos = Ax + By。因为OM为定值，所以当且仅当例4.若实数x， y满足 x 4uuuruuur解：设z = x + y是向量OM = (1,1)与ON = (x, y)的数量积。uuuruuuruuur uuur因为O
7、M =J2，所以当且仅当ON cos 取最小值uuur uuur时z取最小值，即当且仅当ON在OM上的射影OP取最小值时,uuur uuur取得最小值。如图，当点N与点B （4, -2）重合时，ON在OMuuur uuur uuruuur uuurON cos 取最大值（最小值）时，z取最大值（最小值），即当且仅当ON在OMuuuur上的射影取最大值（最小值）时，z取最大值（最小值）（注意：在OM正方向上的射影是uuuur正值，在OM负方向上的射影是负值）。这样目标函数z = Ax + By在约束条件下的最大值uuur uuuur（最小值）问题，就转化为研究点O与可行域内的任意一点N所组成的向
8、量ON在OM上 的射影的最大值（最小值）问题。即线性规划最大值（最小值）问题就转化为一向量在另 向量上的射影的最大值（最小值）问题。x + y 2 n 0，求z = x + y的最小值。负方向上的射影OP取最小值，所以最小值为z . =-4-2 = -6。 min3. 顶点法因此，首先求约束目标函数的最优解肯定在可行区域的顶点上（这个命题可以证明） 表示的可行区域顶点的坐标，代入目标函数，然后从计算出来的几个函数值里面选最大（或 最小）的即可。把约束条件中的每两个不等式组成一个方程组，方程组的解是两条边界线的 交点。有些交点肯能不属于可行区域，所以每个交点必须代入约束条件检验不等式是否成立。若
9、不成立排除这个交点(它不属于可行区域)；若成立它是可行区域的顶点。2 x + y 3x + 2 y 0、y 0解：先找出约束条件表示的可行区域的顶点。x=0的解分别y=02x + y 二 3 J2x + y 二 3 J2x + y 二 3 Jx + 2y 二 3 Jx + 2y 二 3x + 2 y 二 3，| x 二 0，| y 二 0，| x 二 0，| y 二 0为 A (1,1), B (0,3), C( -，0)，D(0，-)，E (3,0), F (0,0)。其中 B 和 E 不满足约束条件，所以排除。可行区域是以点A, C, D, F为顶点的四边形。333 3z = 1 +1 = 2， z = + 0 =， z = 0 + = ， z = 0 + 0 = 0A C 22D 2 2F所以，目标函数z = x + y在A (1,1)上取最大值z = 1 +1 = 2，在F (0,0)上取最max小值 z = 0 + 0 = 0。min(提醒：若约束条件包含不等式的个数不超过3，边界线的交点属于可行区域。所以不需检验；若不等式的个数超过 3，必须检验)33
