实数的连续性公理证明确界存在定理定理一 实数基本定理（戴德金实数连续性定理）实数系R按戴德金连续性准这是连续的， 即对R的任意分划A|B，都存在唯一的实数r,它大于或等于下类A的每一实数小于或等 于上类 B 中的每一个实数定理二 单调有界有极限 单调上升（下降）有上（下）界的数列必有极限存在定理三 确界定理 在实数系 R 内，非空的有上（下）界的数集必有上（下）确界存在定理四 区间套定理设是一个区间套，则必有唯一的实数r,使得r包含在所有的区间套 里，即 定理五Borel有限覆盖定理实数闭区间的任一个覆盖E,必存在有限的子覆盖定理六 Bolzano-Weierstrass 紧致性定理 有界数列必有收敛子数列定理七 Cauchy 收敛原理 在实数系中，数列 有极限存在的充分必要条件是：任给 >0， 存在N,当n>N, m>N时，有定理一 — 三是对实数连续性的描述，定理四 — 定理六是对实数闭区间的紧致性的描述,定理七是对实数完备性的描述上述七个定理都描述了实数的连续性（或称完备性）, 它们都是等价的下面给出其等价性的证明：定理一定理二：设数列单调上升有上界令B是全体上界组成的集合，即B=，而A=R\B,则A|B是实数的一个分划。
事实上，由有上界知B不空又 单调上升，故，即A不空由A=R\B知A、B不漏又,则，使，即A、B不乱故A|B是实数的一个分划根据实数基本定理，存在唯一的 使得对任意 ，任意 ，有 事实上，对，由于，知，使得又单调上升故当n>N时，有 注意到 ，便有 故当 n>N 时有于是 这就证明了 若 单调下降有下界， 则令，则就单调上升有上界，从而有极限设极限为r,则定理二证完定理二定理三：只需证明在实数系R内，非空的有上界的数集必有上确界存在设数集X 非空，且有上界则 ，使得对 ，有 又 R 是全序集， 对 ，与 有且只有一个成立故 ,有 与 有且只有一个成立故r是X的上界与r不是X的上界有且只有一个成立X有上界，实数是X的 上界若不存在实数不是X的上界，则由上知，实数都是X的上界，这显然与X非空矛 盾故，使得不是X的上界，是X的上界用的中点二等分，如果是X的上界，则取；如果不是X的上界，则取继续用二等分，如果是X的上界，则取；如果不是X的上界，则取如此继续下去，便得到两串序列其中都不是X的上界且单调上升有上界（例如），都是X的上界且单调下降有下界（例如 ）并且 （当 时）由 单调上升有上界知有 存在，使得 。
下证 ①事实上 ， 对，，当时有又都不是X上界对每一个，，使得 故对 ， ，使得 ②若，使得 ，则由 知 故，使得又都是X的上界，故对有而，故，这是不可能的故对，有综上①、②即有即X 有上确界存在定理三 定理四：由条件知集合 非空，且有上界（例如 ）故由确 界定理知A有上确界，记为则对，有同理可知集合有下确界，记为 则对 ，有 又 ，由上可知 两边取极限，令 有 又显然 否则由于是A的上确界，则，使得；同理，使得，则有又由区间套的构造可知，对，记k=max（n,m），则有故有，矛盾故，记为r则对，有 下证具有这一性质的点是唯一的用反证法，如果还有另一，使得由于 对一切 n 成立，故 ,令，得，与矛盾故这样的r是唯一的，即存在唯一的实数r,使得r 包含在所有的区间里，即 定理四定理五：用反证法设E是区间的一个覆盖，但 没有E的有限子覆盖 记，二等分，则必有一区间没有E的有限子覆盖（否则把两区间的E的有限子覆盖的元素合起来构成一新的集合E',则E'是的E的有限子覆盖，即有 E的有限子覆盖与反证假设矛盾），记其为二等分，则必有一区间没有E 的有限子覆盖，记为 如此继续下去，得到一组实数的闭区间序列，满足 （i） ；（ii） 。
故 构成一个区间套，且每个 都没有E的有限子覆盖则由区间套定理有存在唯一的实数r,使得又由覆盖的定义有 ，使得 ，即 又由上区间套定理的证明 可知 ，其中 故 ， 使得 ， ，使得 设 ，则，即有 覆盖 这与 没有 E 的有限子覆盖的构造矛盾，故 必有 E 的有限子覆盖定理五定理六：设数列有界，即实数a,b,且avb，有用反证法，如果 无收敛子数列，则对 ，使得只有有限个 如果不然，即 ，对 ，有 中有无限个 选定 ，再选 ，使 这是办得到的，因为 包含数列的无限多项再取 ，使 如此继续下去，便得到 的一子数列 令 ，则有 又 ， 与反证假设矛盾）又以这样的作为元素组成的集合显然是的一覆盖，记为E则由Borel有限覆盖定理知有E 的有限子覆盖而 E 中的每个元素都只包含 的有限项，有限个有限的数相加仍为有限数，故 只包含 的有限项这与 矛盾，故 必有收敛子数列，即有界数列必有收敛子数列定理六 定理七：必要性：设在实数系中，数列 有极限存在，则 ， ，使得只要 ，有 （记 ）因此只要 ，就有必要性得证充分性：设在实数系中，数列 满足： ， ，当时，有 ，即 是基本列先证 是有界的事实上，取则 ，使得当 时，有 。
取定一 ，则有 取 ， 则有 这就证明了 是有界的再证明 有极限存在由Bolzano-Weierstrass紧致性定理可知有子数列，使得存在，记为a事实上， ，由题设知 ，当 时，有 又 ， ，只要 ，就有 取 ，则只要 ，选取 ，就有 这就证明了 即 有极限存在充分性得证综上，定理七证完定理七 定理一：对任意给定的实数R的分划A|B, A、B非空，可任取点又 分划满足不乱， 用 的中点 二等分 ，如果 ，则取 ；如果 分划满足不漏，对任意实数，或者属于A,或者属于B继续用 二等分 ，如果 ，则取；如果 ，则取 如此继续下去，便得到两串序列 其中 单调上升有上界（例如 ）， 单调下降有 下界（例如 ），并且 （当 时）下面用柯西收敛原理来证明 存在事实上如果不然，则 ， ， ，有 不妨设 ，由 单调上升有 对 上式都成立（ ）， 取 ，并把所得的不等式相加得 其中k为不等式的个数故，当时而由N的取法可知对每一个 k都有相应的N与之对应，即有相应的与之对应故对，，使得即无界，与有界矛盾故存在，记为r下证对 ，有 这等价于证明对 ，有 事实上，，由 知 ，使 而对 ，由知 故 ，使 从而 ，这就证明了 ，即证明了实数基本定理。
综上，这就证明了这七个定理是等价的而从证明过程来看：定理二 定理三的方法 可用于定理二 定理四及定理四 定理三；定理七 定理一的方法可运用于定理七 定 理二，定理二 定理四，定理四 定理一而这并不构成逻辑循环，因为我们已用十进小 数证明了实数基本定理而这其实是用无限不循环小数方法来定义无理数事实上我们还可 以用戴德金分割法、康托基本序列法或魏尔斯特拉斯的单调有界序列法来定义无理数，这都 能构成反映实数本质的实数公理系统。