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1、 1 1第十一章计数原理第1讲排列与组合考纲展示命题探究1分类加法计数原理的概念完成一件事可以有n类方案，各类方案相互独立，在第一类方案中有m1种不同方法，在第二类方案中有m2种不同方法在第n类方案中有mn种不同方法那么，完成这件事共有Nm1m2mn种方法2分步乘法计数原理的概念完成一件事需要经过n个步骤，缺一不可，做第一步有m1种方法，做第二步有m2种方法做第n步有mn种方法那么，完成这件事共有Nm1m2mn种方法3两个计数原理的联系与区别原理分类加法计数原理分步乘法计数原理联系两个计数原理都是对完成一件事的方法种数而言区别一每类办法都能独立完成这件事，它是独立的、一次的，且每次得到的是最后
2、结果，只需一种方法就可完成这件事每一步得到的只是中间结果，任何一步都不能独立完成这件事，缺少任何一步也不可，只有各步骤都完成了才能完成这件事区别二各类办法之间是互斥的、并列的、独立的各步之间是相互依存的，并且既不能重复也不能遗漏注意点两个原理应用的不同方法(1)应用分类计数原理时，将各类办法中的方法数相加即得完成事情的方法总数(2)应用乘法计数原理时，将各步骤中的方法数相乘即得完成事情的方法总数.1思维辨析(1)在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同()(2)在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法都能直接完成这件事()(3)在分步乘法计数原理中，各种方法中完成某个步骤的方法是各
3、不相同的()(4)在分步乘法计数原理中，事件是分两步完成的，其中任何一个单独的步骤都能完成这件事()答案(1)(2)(3)(4)2某商场共有7个大门，东、南、西侧各2个，北侧1个，1人到该商场购物，则他进出门的走法有()A8种 B7种C24种 D49种答案D解析完成“进出门”这件事，需分两步，第一步，进商场门，有7种走法；第二步，购物后出门，也有7种走法，根据分步乘法计数原理可得进出门的走法有7749(种)3如图所示，用五种不同的颜色分别给A，B，C，D四个区域涂色，相邻区域必须涂不同颜色，若允许同一种颜色多次使用，则不同的涂色方法共有_种答案180解析按区域分四步：第一步，A区域有5种颜色可
4、选；第二步，B区域有4种颜色可选；第三步，C区域有3种颜色可选；第四步，D区域也有3种颜色可选由分步乘法计数原理，共有5433180种不同的涂色方法考法综述把握两个原理的区别与联系，正确进行分类与分步，往往与排列组合相结合考查命题法应用两个原理解决问题典例用0,1,2,3,4,5,6这7个数字可以组成_个无重复数字的四位偶数(用数字作答)解析要完成的“一件事”为“组成无重复数字的四位偶数”，所以首位数字不能为0，末位数字必须是偶数，且组成的四位数中的四个数字不重复，因此应先分类，再分步第1类，当首位数字为奇数，即取1,3,5中的任意一个时，末位数字可取0,2,4,6中的任意一个，百位数字不能取
5、与这两个数字重复的数字，十位数字不能取与这三个数字重复的数字根据分步乘法计数原理，有3454240种取法第2类，当首位数字为偶数，即取2,4,6中的任意一个时，末位数字可以取除首位数字的任意一个偶数数字，百位数字不能取与这两个数字重复的数字，十位数字不能取与这三个数字重复的数字根据分步乘法计数原理，有3354180种取法根据分类加法计数原理，共可以组成240180420个无重复数字的四位偶数答案420【解题法】两个原理的使用策略在解决实际问题过程中，经常综合应用这两个计数原理即分类时，每一类方法可能要运用分步完成；而分步时，每步的方法数可能会采取分类的思想去求解对本类问题应该按照问题的特点去决
6、定先分类后分步，还是先分步后分类分类的关键在于做到“不重不漏”，标准统一；分步的关键在于要正确设计分步的程序，即合理分类，正确分步1从1,3,5,7,9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a，b，共可得到lg alg b的不同值的个数是()A9 B10C18 D20答案C解析从1,3,5,7,9中任取两个数可组成lg alg b有A20种结果，而lg alg blg ，其中基本事件(1,3)(3,9)和(3,1)(9,3)使lg 的值相等，则不同值的个数为20218(个)，故选C.2.满足a，b1,0,1,2，且关于x的方程ax22xb0有实数解的有序数对(a，b)的个数为()A14 B1
7、3C12 D10答案B解析当a0时，方程变为2xb0，则b为1,0,1,2都有解；当a0时，需满足224ab0，即ab1.当a1时，b可取1,0,1,2.当a1时，b可取1,0,1.当a2时，b可取1,0，故满足条件的有序数对(a，b)的个数为443213.3将1,2,3，9这9个数字填在如图的9个空格中，要求每一行从左到右，每一列从上到下分别依次增大当3,4固定在图中的位置时，填写空格的方法为()A6种 B12种C18种 D24种答案A解析因为每一行从左到右，每一列从上到下分别依次增大，1,2,9只有一种填法，5只能填在右上角或左下角，5填好后与之相邻的空格可填6,7,8任一个，余下两个数字
8、按从小到大只有一种方法共有236种结果，故选A.1排列(1)排列与排列数：一般地，从n个不同元素中取出m(mn)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列，所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号A表示(2)排列数公式：An(n1)(n2)(nm1)(n，mN*，且mn)n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列这时公式中mn，即有An！n(n1)(n2)21.规定：0！1.2组合(1)组合与组合数：一般地，从n个不同元素中取出m(mn)个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合，所有不同组合的个数，叫做
9、从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号C表示(2)组合数公式：C(m，nN*，且mn)规定：C1.(3)组合数的性质CC；CCC(mn，m，nN*)注意点排列与排列数的区别“排列”与“排列数”是两个不同的概念，一个排列是指“从n个不同元素中取出m个元素，按一定顺序排成一列”，而排列数是指这种排列的个数.1思维辨析(1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列()(2)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同()(3)若组合式CC，则xm成立()(4)组合数公式的阶乘形式主要用于计算具体的组合数()(5)排列定义规定给出的n个元素各不相同，并且只研究被取出的元素也各不相同的情况也就是说，如果
10、某个元素已被取出，则这个元素就不再取了()答案(1)(2)(3)(4)(5)28个色彩不同的球已平均分装在4个箱子中，现从不同的箱子中取出2个彩球，则不同的取法共有()A6种 B12种C24种 D28种答案C解析从8个球中任取2个有C28种取法，2球位于同一箱子中有C4种取法，2球位于不同箱子的取法有28424种3两男两女共4个学生站成一排照相，两个女生必须相邻的站法有_种(用数字作答)答案12解析根据题意，分两步进行，先将2名女生排在一起看成一个元素，考虑其顺序有A种情况，再与2名男生全排列有A种情况，则不同的排列方法有AA12种考法综述高考中的排列问题一般是有限制条件的排列问题常见策略针对
11、问题，常与两个原理综合运用解决问题，而对组合的要求是基础和全面，往往排列与组合综合考查，多出现于概率题中命题法1排列问题典例1有5个同学排队，问：(1)甲、乙2个同学必须相邻的排法有多少种？(2)甲、乙、丙3个同学互不相邻的排法有多少种？(3)乙不能站在甲前面，丙不能站在乙前面的排法有多少种？(4)甲不站在中间位置，乙不站在两端的排法有多少种？解(1)(捆绑法)先排甲、乙，有A种排法，再与其他3名同学排列，共有AA48(种)不同排法(2)(插空法)先排其余的2名同学，有A种排法，出现3个空，将甲、乙、丙插空，所以共有AA12(种)排法(3)这是顺序一定问题，由于乙不能站在甲前面，丙不能站在乙前
12、面，故3人只能按甲、乙、丙这一种顺序排列解法一：5人的全排列共有A种排法，甲、乙、丙3人全排列有A种，而3人按甲、乙、丙顺序排列是全排列中的一种，所以共有20(种)排法；解法二(插空法)：先排甲、乙、丙3人，只有一种排法，然后插入1人到甲、乙、丙中，有4种插法，再插入1人，有5种插法，故共有4520(种)排法(4)(间接法)5个人的全排列有A种，其中甲站在中间时有A种排法，乙站在两端时有2A种排法，甲站在中间同时乙站在两端时有2A种排法，所以一共有AA2A2A60(种)排法【解题法】解决排列问题的方法与策略(1)方法直接法把符合条件的排列数直接列式计算捆绑法相邻问题捆绑处理，即可以把相邻元素看
13、作一个整体参与其他元素排列，同时注意捆绑元素的内部排列插空法不相邻问题插空处理，即先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空中消序法定序问题消序(除法)处理的方法，可先不考虑顺序限制，排列后再除以定序元素的全排列(2)策略特殊元素(或位置)优先安排的方法，即先排特殊元素或特殊位置分排问题直排法处理“小集团”排列问题中先集中后局部的处理方法命题法2组合问题典例2某市工商局对35种商品进行抽样检查，已知其中有15种假货现从35种商品中选取3种(1)其中某一种假货必须在内，不同的取法有多少种？(2)其中某一种假货不能在内，不同的取法有多少种？(3)恰有2种假货在内，不同的取法有多少种？(4)至少有2种假货在内，不同的取法有多少种？(5)至多有2种假货在内，不同的取法有多少种
