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1、北师大版数学精品教学资料6余弦函数的图像与性质6.1余弦函数的图像6.2余弦函数的性质1会利用诱导公式，通过图像平移得到余弦函数的图像2.会用五点法画出余弦函数在0,2上的图像(重点)3掌握余弦函数的性质及应用(重点、难点)基础初探教材整理余弦函数的图像与性质阅读教材P31P33“思考交流”以上部分，完成下列问题1利用图像变换作余弦函数的图像余弦函数ycos x的图像可以通过将正弦曲线ysin x向左平移个单位长度得到如图161是余弦函数ycos x(xR)的图像，叫作余弦曲线图1612利用五点法作余弦函数的图像画余弦曲线，通常也使用“五点法”，即在函数ycos x(x0,2)的图像上有五个关
2、键点，为(0,1)，(，1)，(2，1)，可利用此五点画出余弦函数ycos x，xR的简图(如图162)图1623余弦函数的性质图像定义域R值域1,1最大值，最小值当x2k(kZ)时，ymax1；当x2k(kZ)时，ymin1周期性周期函数，T2单调性在2k，2k(kZ)上是增加的；在2k，2k(kZ)上是减少的奇偶性偶函数，图像关于y轴对称判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)余弦函数ycos x的定义域为R.()(2)余弦函数ycos x的图像可由ysin x的图像向右平移个单位得到()(3)在同一坐标系内，余弦函数ycos x与ysin x的图像形状完全相同，只是位置不同()(4)正弦
3、函数与余弦函数有相同的周期，最大值、最小值及相同的单调区间()【解析】(1)(3)正确；余弦函数ycos xsin，即可看作是ysin x向左平移个单位得到的，因而(2)错；正、余弦函数有相同的周期(都是2)，相同的最大值(都是1)，相同的最小值(都是1)，也都有单调区间，但单调区间不同，因而(4)错【答案】(1)(2)(3)(4)质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_解惑：_疑问2：_解惑：_疑问3：_解惑：_小组合作型五点法作图用“五点法”作函数y1cos x(0x2)的简图【精彩点拨】利用“五点法”：列表描点连线【自主解答】列表：x02cos x101
4、011cos x01210描点并用光滑的曲线连接起来，如图作函数yacos xb的图像的步骤1列表：由x0，2时，cos x1,0，1，0,1，求出y值2描点：在同一坐标系中描五个关键点3连线：用平滑曲线再练一题1作出函数y1cos x在2，2上的图像【解】列表：x02ycos x10101y1cos x11作出y1cos x在x0,2上的图像由于该函数为偶函数，作关于y轴对称的图像，从而得出y1cos x在x2，2上的图像如图所示：与余弦函数有关的定义域问题求下列函数的定义域(1)f(x)；(2)f(x)log2(12cos x).【精彩点拨】写出使得函数有意义时所满足的条件，结合三角函数的
5、定义域，求若干个不等式的交集即可【自主解答】(1)要使y有意义，则必须满足2cos x10，即cos x.结合余弦函数的图像得y的定义域为.(2)要使函数有意义，则即cos x的解集为，x29的解集为x|3x3，取交集得.原函数的定义域为.1求三角函数的定义域时，一般要解三角不等式，其主要方法是借助于三角函数的图像，关键有两点：(1)选取一个合适的周期；(2)确定边界值2当函数由几部分构成时，应取使每一部分有意义的x取值范围的公共范围，即取它们的交集3当三角不等式与代数不等式在一起时，在取交集时，应注意对三角不等式解集中的k进行讨论再练一题2求下列函数的定义域(1)y；(2)ylog(2cos
6、 x)【解】(1)要使函数有意义，则有cos x0，cos x，可得2kx2k，kZ.故所求函数的定义域为.(2)要使函数有意义，则有2cos x0，cos x，故所求定义域为.余弦函数的单调性及应用(1)函数y12cos x的单调增区间是_；(2)比较大小cos_cos.【精彩点拨】(1)y12cos x的单调性与ycos x的单调性相同，与ycos x的单调性相反(2)利用诱导公式将所给角转化到同一单调区间上比较【自主解答】(1)由于ycos x的单调减区间为2k，2k(kZ)，所以函数y12cos x的增区间为2k，2k(kZ)(2)由于coscoscos，coscoscoscos，yc
7、os x在0，上是减少的由cos，即coscos.【答案】(1)2k，2k(2)0时，其单调性同ycos x的单调性一致；(2)当a0时，其单调性同ycos x的单调性恰好相反2比较cos 与cos 的大小时，可利用诱导公式化为0，内的余弦函数值来进行再练一题3(1)比较大小：cos与cos；(2)求函数ylog(cos 2x)的增区间【解】(1)coscoscoscos，coscoscoscos.0，且ycos x在0，上递减，coscos，即cos0且ycos 2x递减x只须满足：2k2x2k，kZ，kx60，却有cos 60cos 390.探究2求与余弦函数相关的最值问题时应注意什么？【
8、提示】首先看函数的定义域，一定注意在定义域内求最值探究3对于yAcos2xBcos xC型的函数如何求最值？【提示】利用换元法转化为在固定区间上的二次函数求最值求下列函数的最值(1)ycos2xcos x；(2)y3cos2x4cos x1，x.【精彩点拨】本题中的函数可以看作是关于cos x的二次函数，可以化归为利用二次函数求最值的方法求解【自主解答】(1)y2.1cos x1，当cos x时，ymax.当cos x1时，ymin2.函数ycos2xcos x的最大值为，最小值为2.(2)y3cos2x4cos x132.x，cos x，从而当cos x，即x时，ymax；当cos x，即x
9、时，ymin.函数在区间上的最大值为，最小值为.求值域或最大值、最小值问题，一般依据为：(1)sin x，cos x的有界性；(2)sin x，cos x的单调性；(3)化为sin xf(x)或cos xf(x)，利用|f(x)|1来确定；(4)通过换元转化为二次函数再练一题4已知函数ycos2xacos xa的最大值为1，求a的值. 【导学号：66470018】【解】ycos2 xacos xa2.1cos x1，于是当1，即a2(舍去)；当11，即2a2时，当cos x时，ymax.由1，得a1或a1(舍去)；当1，即a2时，当cos x1时，ymax.由1，得a5.综上可知，a1或a5.
10、构建体系1函数y2cos x1的最大值、最小值分别是()A2，2B1，3C1，1 D2，1【解析】1cos x1，22cos x2，32cos x11，最大值为1，最小值为3.【答案】B2函数ysin x和ycos x都是减少的区间是()A(kZ)B.(kZ)C.(kZ)D.(kZ)【解析】结合函数ysin x和ycos x的图像知都减少的区间为(kZ)【答案】C3函数y的定义域是_. 【导学号：66470019】【解析】由题意知1cos x0，即cos x1，结合函数图像知.【答案】4满足2cos x0(xR)的x的集合是_【解析】2cos x0，cos x，结合图像(略)知：2kx2k(kZ)【答案】5画出y13cos x在0,2上的简图，并指出其最值和单调区间【解】列表：x02cos x1010113cos x21412图像如下：由图像可知，函数y13cos x在0,2上的最大值为4，最小值为2，单调增区间为0，减区间为，2我还有这些不足：(1)_(2)_我的课下提升方
