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1、精选优质文档-倾情为你奉上 平面向量公式1、向量的加法 向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则.AB+BC=AC.a+b=(x+x,y+y).a+0=0+a=a.向量加法的运算律:交换律:a+b=b+a; 结合律:(a+b)+c=a+(b+c).2、向量的减法 如果a、b是互为相反的向量,那么a=-b,b=-a,a+b=0.0的反向量为0 AB-AC=CB.即“共同起点,指向被减” a=(x,y) b=(x,y) 则 a-b=(x-x,y-y).4、数乘向量 实数和向量a的乘积是一个向量,记作a,且a=a.当0时,a与a同方向; 当0时,a与a反方向; 当=0时,a=0,方向任意.当a=0时
2、,对于任意实数,都有a=0.注:按定义知,如果a=0,那么=0或a=0.实数叫做向量a的系数,乘数向量a的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩.当1时,表示向量a的有向线段在原方向(0)或反方向(0)上伸长为原来的倍; 当1时,表示向量a的有向线段在原方向(0)或反方向(0)上缩短为原来的倍.数与向量的乘法满足下面的运算律 结合律:(a)b=(ab)=(ab).向量对于数的分配律(第一分配律):(+)a=a+a.数对于向量的分配律(第二分配律):(a+b)=a+b.数乘向量的消去律: 如果实数0且a=b,那么a=b. 如果a0且a=a,那么=.3、向量的的数量积 定义:已知两个非零向量
3、a,b.作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b的夹角,记作a,b并规定0a,b 定义:两个向量的数量积(内积、点积)是一个数量,记作ab.若a、b不共线,则ab=|a|b|cosa,b;若a、b共线,则ab=+-ab.向量的数量积的坐标表示:ab=xx+yy.向量的数量积的运算律 ab=ba(交换律); (a)b=(ab)(关于数乘法的结合律); (a+b)c=ac+bc(分配律); 向量的数量积的性质 aa=|a|的平方.ab =ab=0.|ab|a|b|.向量的数量积与实数运算的主要不同点 1、向量的数量积不满足结合律,即:(ab)ca(bc);例如:(ab)2a2b2.2、向
4、量的数量积不满足消去律,即:由 ab=ac (a0),推不出 b=c.3、|ab|a|b| 4、由 |a|=|b| ,推不出 a=b或a=-b.4、向量的向量积 定义:两个向量a和b的向量积(外积、叉积)是一个向量,记作ab.若a、b不共线,则ab的模是:ab=|a|b|sina,b;ab的方向是:垂直于a和b,且a、b和ab按这个次序构成右手系.若a、b共线,则ab=0.向量的向量积性质:ab是以a和b为边的平行四边形面积.aa=0.ab=ab=0.向量的向量积运算律 ab=-ba; (a)b=(ab)=a(b); (a+b)c=ac+bc.注:向量没有除法,“向量AB/向量CD”是没有意义
5、的.向量的三角形不等式 1、a-ba+ba+b; 当且仅当a、b反向时,左边取等号; 当且仅当a、b同向时,右边取等号.2、a-ba-ba+b. 当且仅当a、b同向时,左边取等号; 当且仅当a、b反向时,右边取等号.定比分点 定比分点公式(向量P1P=向量PP2) 设P1、P2是直线上的两点,P是l上不同于P1、P2的任意一点.则存在一个实数 ,使 向量P1P=向量PP2,叫做点P分有向线段P1P2所成的比.若P1(x1,y1),P2(x2,y2),P(x,y),则有 OP=(OP1+OP2)(1+);(定比分点向量公式) x=(x1+x2)/(1+),y=(y1+y2)/(1+).(定比分点
6、坐标公式) 我们把上面的式子叫做有向线段P1P2的定比分点公式 三点共线定理 若OC=OA +OB ,且+=1 ,则A、B、C三点共线 三角形重心判断式 在ABC中,若GA +GB +GC=O,则G为ABC的重心 向量共线的重要条件 若b0,则a/b的重要条件是存在唯一实数,使a=b.a/b的重要条件是 xy-xy=0.零向量0平行于任何向量.向量垂直的充要条件 ab的充要条件是 ab=0.ab的充要条件是 xx+yy=0.零向量0垂直于任何向量.1、线性运算a+b=b+a(a+b)+c=a+(b+c)(a)=()a.(+)a=a+a.(ab)=aba,b共线b=a2、坐标运算,其中a(x1,
7、y1),b(x2,y2)a+b=(x1+x2,y1+y2)a-b=(x1-x2,y1-y2)a=(x1,y1)点A(a,b),点B(c,d),则向量AB=(c-a,b-d)点A(a,b),点B(c,d),则向量BA=(a-c,b-d)3、数量积运算a*b=a*b*cosa*b=b*a(交换律)(*a)*b=*(a*b)=a*(*b)(结合律,注意向量间无结合律)(ab)*c=a*cb*c(分配律)若a*(b-c)=0,则b=c或a垂直于(b-c)(ab)2=a22a*b+b2(a+b)*(a-b)=a2-b2a(x1,y1),b(x2,y2),则a*b=x1x2+y1y2,a2=x2+y2,a=x2+y2a垂直于bx1x2+y1y2=0;一般地,a与b夹角满足如下条件:cos=a*b/a*b=(x1x2+y1y2)/(x12+y12)*(x22+y22)专心-专注-专业