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1、 .一、 相似三角形判定的基本模型认识（一）A字型、反A字型（斜A字型）（平行） （不平行）（二）8字型、反8字型（蝴蝶型） （平行） （不平行）（三）母子型（四）一线三等角型：三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景（五）一线三直角型：（六） 双垂型： / 相似三角形判定的变化模型旋转型：由A字型旋转得到。8字型拓展共 享 性一线三等角的变形 一线三直角的1如图，梯形ABCD中，ADBC，对角线AC、BD交于点O，BECD交CA延长线于E求证：OC2=OAOE2如图，在ABC中，AB=AC=10，BC=16，点D是边BC上（不与B，C重合）一动点，ADE=B=，DE交
2、AC于点E以下结论：AD2=AEAB；3.6AE10；当AD=2时，ABDDCE；DCE为直角三角形时，BD为8或12.5其中正确的结论是（把你认为正确结论的序号都填上）3已知：如图，ABC中，点E在中线AD上，DEB=ABC求证：（1）DB2=DEDA；（2）DCE=DAC4已知：如图，等腰ABC中，AB=AC，ADBC于D，CGAB，BG分别交AD、AC于E、F求证：BE2=EFEG5如图，已知AD为ABC的角平分线，EF为AD的垂直平分线求证：FD2=FBFC6已知：如图，在RtABC中，C=90，BC=2，AC=4，P是斜边AB上的一个动点，PDAB，交边AC于点D（点D与点A、C都不
3、重合），E是射线DC上一点，且EPD=A设A、P两点的距离为x，BEP的面积为y（1）求证：AE=2PE；（2）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（3）当BEP与ABC相似时，求BEP的面积7如图，在ABC中，A=60，BD、CE分别是AC与AB边上的高，求证：BC=2DE8如图，已知ABC是等边三角形，点D、B、C、E在同一条直线上，且DAE=120（1）图中有哪几对三角形相似？请证明其中的一对三角形相似；（2）若DB=2，CE=6，求BC的长9（已知：如图，在RtABC中，AB=AC，DAE=45求证：（1）ABEDCA；（2）BC2=2BECD10如图，在等边ABC中，边长为6，
4、D是BC边上的动点，EDF=60（1）求证：BDECFD；（2）当BD=1，CF=3时，求BE的长11（1）在ABC中，AB=AC=5，BC=8，点P、Q分别在射线CB、AC上（点P不与点C、点B重合），且保持APQ=ABC若点P在线段CB上（如图），且BP=6，求线段CQ的长；若BP=x，CQ=y，求y与x之间的函数关系式，并写出函数的定义域；（2）正方形ABCD的边长为5（如图），点P、Q分别在直线CB、DC上（点P不与点C、点B重合），且保持APQ=90度当CQ=1时，写出线段BP的长（不需要计算过程，请直接写出结果）13已知梯形ABCD中，ADBC，且ADBC，AD=5，AB=DC=2
5、（1）如图，P为AD上的一点，满足BPC=A，求AP的长；（2）如果点P在AD边上移动（点P与点A、D不重合），且满足BPE=A，PE交直线BC于点E，同时交直线DC于点Q当点Q在线段DC的延长线上时，设AP=x，CQ=y，求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值围；当CE=1时，写出AP的长（不必写解答过程）14如图，在梯形ABCD中，ADBC，AB=CD=BC=6，AD=3点M为边BC的中点，以M为顶点作EMF=B，射线ME交腰AB于点E，射线MF交腰CD于点F，连接EF（1）求证：MEFBEM；（2）若BEM是以BM为腰的等腰三角形，求EF的长；（3）若EFCD，求BE的长15已知在
6、梯形ABCD中，ADBC，ADBC，且BC=6，AB=DC=4，点E是AB的中点（1）如图，P为BC上的一点，且BP=2求证：BEPCPD；（2）如果点P在BC边上移动（点P与点B、C不重合），且满足EPF=C，PF交直线CD于点F，同时交直线AD于点M，那么当点F在线段CD的延长线上时，设BP=x，DF=y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；当时，求BP的长16如下图，已知边长为3的等边ABC，点F在边BC上，CF=1，点E是射线BA上一动点，以线段EF为边向右侧作等边EFG，直线EG，FG交直线AC于点M，N，（1）写出图中与BEF相似的三角形；（2）证明其中一对三角形相似；（3
7、）设BE=x，MN=y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值围；（4）若AE=1，试求GMN的面积17如下图，已知矩形ABCD中，CD=2，AD=3，点P是AD上的一个动点（与A、D不重合），过点P作PECP交直线AB于点E，设PD=x，AE=y，（1）写出y与x的函数解析式，并指出自变量的取值围；（2）如果PCD的面积是AEP面积的4倍，求CE的长；（3）是否存在点P，使APE沿PE翻折后，点A落在BC上？证明你的结论18如图，在RtABC中，C=90，AB=5，点D是BC的中点，点E是AB边上的动点，DFDE交射线AC于点F（1）求AC和BC的长；（2）当EFBC时，求BE的长；
8、（3）连接EF，当DEF和ABC相似时，求BE的长19如图，在RtABC中，C=90，AC=BC，D是AB边上一点，E是在AC边上的一个动点（与点A、C不重合），DFDE，DF与射线BC相交于点F（1）如图2，如果点D是边AB的中点，求证：DE=DF；（2）如果AD：DB=m，求DE：DF的值；（3）如果AC=BC=6，AD：DB=1：2，设AE=x，BF=y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域；以CE为直径的圆与直线AB是否可相切？若可能，求出此时x的值；若不可能，请说明理由20如图，在ABC中，C=90，AC=6，D是BC边的中点，E为AB边上的一个动点，作DEF=90，EF交射线BC于
9、点F设BE=x，BED的面积为y（1）求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值围；（2）如果以线段BC为直径的圆与以线段AE为直径的圆相切，求线段BE的长；（3）如果以B、E、F为顶点的三角形与BED相似，求BED的面积21如图，在梯形ABCD中，ABCD，AB=2，AD=4，tanC=，ADC=DAB=90，P是腰BC上一个动点（不含点B、C），作PQAP交CD于点Q（图1）（1）求BC的长与梯形ABCD的面积；（2）当PQ=DQ时，求BP的长；（图2）（3）设BP=x，CQ=y，试求y关于x的函数解析式，并写出定义域1.解答：证明：ADBC，=，又BECD，=，=，即OC2=OAOE2
10、. 解答：解：AB=AC，B=C，又ADE=BADE=C，ADEACD，=，AD2=AEAB，故正确，易证得CDEBAD，BC=16，设BD=y，CE=x，=，=，整理得：y216y+64=6410x，即（y8）2=6410x，0x6.4，AE=ACCE=10x，3.6AE10故正确作AGBC于G，AB=AC=10，ADE=B=，cos=，BC=16，AG=6，AD=2，DG=2，CD=8，AB=CD，ABD与DCE全等；故正确；当AED=90时，由可知：ADEACD，ADC=AED，AED=90，ADC=90，即ADBC，AB=AC，BD=CD，ADE=B=且cos=，AB=10，BD=8当
11、CDE=90时，易CDEBAD，CDE=90，BAD=90，B=且cos=AB=10，cosB=，BD=故正确故答案为：3. 解答：证明：（1）在BDE和DAB中DEB=ABC，BDE=ADB，BDEADB，BD2=ADDE（2）AD是中线，CD=BD，CD2=ADDE，又ADC=CDE，DECDCA，DCE=DAC4. 解答：证明：连接CE，如右图所示，AB=AC，ADBC，AD是BAC的角平分线，BE=CE，EBC=ECB，又ABC=ACB，ABCEBC=ACBECB，即ABE=ACE，又CGAB，ABE=CGF，CGF=FCE，又FEC=CEG，CEFGEC，CE：EF=EG：CE，即C
12、E2=EFEG，又CE=BE，BE2=EFEG5. 解答：证明：连接AF，AD是角平分线，BAD=CAD，又EF为AD的垂直平分线，AF=FD，DAF=ADF，DAC+CAF=B+BAD，CAF=B，AFC=AFC，ACFBAF，即=，AF2=CFBF，即FD2=CFBF6. 解答：解：（1）APD=C=90，A=A，ADPABC，=，EPD=A，PED=AEP，EPDEAP=AE=2PE（2）由EPDEAP，得=，PE=2DE，AE=2PE=4DE，作EHAB，垂足为点H，AP=x，PD=x，PDHE，=HE=x又AB=2，y=（2x）x，即y=x2+x定义域是0x另解：由EPDEAP，得=，PE=2DEAE=2PE=4DEAE=x=x，SABE=x2=x，=，即=，y=x2+x定义域是0x（3）由PEHBAC，得=，PE=x=x当BEP与ABC相似时，只有两种情形：BEP=C=90或EBP=C=90（i）当BEP=90时，=，=解得x=y=x5+=（ii）当EBP=90时，同理可得x=，y=7. 解答：证明：BD、CE分别是AC与AB边上的高，BEC=BDC，B、C、D、E四点共圆，AED=ACB，而A=A
