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1、-一元二次方程应用题经典题型汇总同学们知道，学习了一元二次方程的解法以后，就会经常遇到解决与一元二次方程有关的生活中的应用问题，即列一元二次方程解应用题，不少同学遇到这类问题总是左右为难，难以下笔，事实上，同学们只要能认真地阅读题目，分析题意，并能学会分解题目，各个击破，从而找到的条件和未知问题，必要时可以通过画图、列表等方法来帮助我们理顺与未知之间的关系，找到一个或几个相等的式子，从而列出方程求解，同时还要及时地检验答案的正确性并作答.现就列一元二次方程解应用题中遇到的常见的十大典型题目，举例说明.一、增长率问题例1恒利商厦九月份的销售额为200万元，十月份的销售额下降了20%，商厦从十一月
2、份起加强管理，改善经营，使销售额稳步上升，十二月份的销售额到达了193.6万元，求这两个月的平均增长率.解设这两个月的平均增长率是*.，则根据题意，得200(120%)(1+*)2193.6，即(1+*)21.21，解这个方程，得*10.1，*22.1舍去.答这两个月的平均增长率是10%.说明这是一道正增长率问题，对于正的增长率问题，在弄清楚增长的次数和问题中每一个数据的意义，即可利用公式m(1+*)2n求解，其中mn.对于负的增长率问题，假设经过两次相等下降后，则有公式m(1*)2n即可求解，其中mn.二、商品定价例2益群精品店以每件21元的价格购进一批商品，该商品可以自行定价，假设每件商品
3、售价a元，则可卖出35010a件，但物价局限定每件商品的利润不得超过20%，商店方案要盈利400元，需要进货多少件.每件商品应定价多少.解根据题意，得(a21)(35010a)400，整理，得a256a+7750，解这个方程，得a125，a231.因为21(1+20%)25.2，所以a2=31不合题意，舍去.所以35010a3501025100件.答需要进货100件，每件商品应定价25元.说明商品的定价问题是商品交易中的重要问题，也是各种考试的热点.三、储蓄问题例3王红梅同学将1000元压岁钱第一次按一年定期含蓄存入少儿银行，到期后将本金和利息取出，并将其中的500元捐给希望工程，剩余的又全部
4、按一年定期存入，这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的90%，这样到期后，可得本金和利息共530元，求第一次存款时的年利率.假设不计利息税解设第一次存款时的年利率为*.则根据题意，得1000(1+*)500(1+0.9*)530.整理，得90*2+145*30.解这个方程，得*10.02042.04%，*21.63.由于存款利率不能为负数，所以将*21.63舍去.答第一次存款的年利率约是2.04%.说明这里是按教育储蓄求解的，应注意不计利息税.四、趣味问题例4一个醉汉拿着一根竹竿进城，横着怎么也拿不进去，量竹竿长比城门宽4米，旁边一个醉汉嘲笑他，你没看城门高吗，竖着拿就可以进去啦，结果竖
5、着比城门高2米，二人没方法，只好请教聪明人，聪明人教他们二人沿着门的对角斜着拿，二人一试，不多不少刚好进城，你知道竹竿有多长吗.解设渠道的深度为*m，则渠底宽为(*+0.1)m，上口宽为(*+0.1+1.4)m.则根据题意，得(*+0.1+*+1.4+0.1)*1.8，整理，得*2+0.8*1.80.解这个方程，得*11.8舍去，*21.所以*+1.4+0.11+1.4+0.12.5.答渠道的上口宽2.5m，渠深1m.说明求解此题开场时好象无从下笔，但只要能仔细地阅读和口味，就能从中找到等量关系，列出方程求解.五、古诗问题例5读诗词解题：通过列方程式，算出周瑜去世时的年龄.大江东去浪淘尽，千古
6、风流数人物；而立之年督东吴，早逝英年两位数；十位恰小个位三，个位平方与寿符；哪位学子算得快，多少年华属周瑜.解设周瑜逝世时的年龄的个位数字为*，则十位数字为*3.则根据题意，得*210(*3)+*，即*2-11*+300，解这个方程，得*5或*6.当*5时，周瑜的年龄25岁，非而立之年，不合题意，舍去；当*6时，周瑜年龄为36岁，完全符合题意.答周瑜去世的年龄为36岁.说明此题虽然是一道古诗问题，但它涉及到数字和年龄问题，通过求解同学们应从中认真口味.六、象棋比赛例6象棋比赛中，每个选手都与其他选手恰好比赛一局，每局赢者记2分，输者记0分.如果平局，两个选手各记1分，领司有四个同学统计了中全部
7、选 手的得分总数，分别是1979，1980，1984，1985.经核实，有一位同学统计无误.试计算这次比赛共有多少个选手参加.解设共有n个选手参加比赛，每个选手都要与(n1)个选手比赛一局，共计n(n1)局，但两个选手的对局从每个选手的角度各自统计了一次，因此实际比赛总局数应为n(n1)局.由于每局共计2分，所以全部选手得分总共为n(n1)分.显然(n1)与n为相邻的自然数，容易验证，相邻两自然数乘积的末位数字只能是0，2，6，故总分不可能是1979，1984，1985，因此总分只能是1980，于是由n(n1)1980，得n2n19800，解得n145，n244舍去.答参加比赛的选手共有45人
8、.说明类似于此题中的象棋比赛的其它体育比赛或互赠贺年片等问题，都可以仿照些方法求解.七、情景对话例7春秋旅行社为吸引市民组团去湾风景区旅游，推出了如图1对话中收费标准.*单位组织员工去湾风景区旅游，共支付给春秋旅行社旅游费用27000元.请问该单位这次共有多少员工去湾风景区旅游.解设该单位这次共有*名员工去湾风景区旅游.因为1000252500027000，所以员工人数一定超过25人.则根据题意，得100020(*25)*27000.整理，得*275*+13500，解这个方程，得*145，*230.当*45时，100020(*25)600700，故舍去*1；当*230时，100020(*25)
9、900700，符合题意.答：该单位这次共有30名员工去湾风景区旅游.说明求解此题要时刻注意对话框中的数量关系，求得的解还要注意分类讨论，从中找出符合题意的结论.八、等积变形例8将一块长18米，宽15米的矩形荒地修建成一个花园阴影局部所占的面积为原来荒地面积的三分之二.准确到0.1m1设计方案1如图2花园中修两条互相垂直且宽度相等的小路.2设计方案2如图3花园中每个角的扇形都一样.以上两种方案是否都能符合条件假设能，请计算出图2中的小路的宽和图3中扇形的半径；假设不能符合条件，请说明理由.解都能.1设小路宽为*，则18*+16*21815，即*234*+1800，解这个方程，得*，即*6.6.2
10、设扇形半径为r，则3.14r21815，即r257.32，所以r7.6.说明等积变形一般都是涉及的是常见图形的体积，面积公式；其原则是形变积不变；或形变积也变，但重量不变，等等.九、动态几何问题例9如图4所示，在ABC中，C90/SPAN，AC6cm，BC8cm，点P从点A出发沿边AC向点C以1cm/s的速度移动，点Q从C点出发沿CB边向点B以2cm/s的速度移动.1如果P、Q同时出发，几秒钟后，可使PCQ的面积为8平方厘米.2点P、Q在移动过程中，是否存在*一时刻，使得PCQ的面积等于ABC的面积的一半.假设存在，求出运动的时间；假设不存在，说明理由.解因为C90/SPAN，所以AB10cm
11、.1设*s后，可使PCQ的面积为8cm2，所以 AP*cm，PC(6*)cm，CQ2*cm.则根据题意，得(6*)2*8.整理，得*26*+80，解这个方程，得*12，*24.所以P、Q同时出发，2s或4s后可使PCQ的面积为8cm2.2设点P出发*秒后，PCQ的面积等于ABC面积的一半.则根据题意，得(6*)2*68.整理，得*26*+120.由于此方程没有实数根，所以不存在使PCQ的面积等于ABC面积一半的时刻.说明此题虽然是一道动态型应用题，但它又要运用到行程的知识，求解时必须依据路程速度时间.十、梯子问题例10一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的底端距墙角6m.1假设梯子的顶端下滑1
12、m，求梯子的底端水平滑动多少米.2假设梯子的底端水平向外滑动1m，梯子的顶端滑动多少米.3如果梯子顶端向下滑动的距离等于底端向外滑动的距离，则滑动的距离是多少米.解依题意，梯子的顶端距墙角8m.1假设梯子顶端下滑1m，则顶端距地面7m.设梯子底端滑动*m.则根据勾股定理，列方程72+(6+*)2102，整理，得*2+12*150，解这个方程，得*11.14，*213.14舍去，所以梯子顶端下滑1m，底端水平滑动约1.14m.2当梯子底端水平向外滑动1m时，设梯子顶端向下滑动*m.则根据勾股定理，列方程(8*)2+(6+1)2100.整理，得*216*+130.解这个方程，得*10.86，*21
13、5.14舍去.所以假设梯子底端水平向外滑动1m，则顶端下滑约0.86m.3设梯子顶端向下滑动*m时，底端向外也滑动*m.则根据勾股定理，列方程 (8*)2+(6+*)2102，整理，得2*24*0，解这个方程，得*10舍去，*22.所以梯子顶端向下滑动2m时，底端向外也滑动2m.说明求解时应注意无论梯子沿墙如何上下滑动，梯子始终与墙上、地面构成直角三角形.十一、航海问题例11如图5所示，我海军基地位于A处，在其正南方向200海里处有一重要目标B，在B的正向200海里处有一重要目标C，小岛D恰好位于AC的中点，岛上有一补给码头；小岛F位于BC上且恰好处于小岛D的正南方向，一艘军舰从A出发，经B到
14、C匀速巡航一艘补给船同时从D出发，沿南偏西方向匀速直线航行，欲将一批物品送往军舰.1小岛D和小岛F相距多少海里.2军舰的速度是补给船的2倍，军舰在由B到C的途中与补给船相遇于E处，则相遇时补给船航行了多少海里.准确到0.1海里解1F位于D的正南方向，则DFBC.因为ABBC，D为AC的中点，所以DFAB100海里，所以，小岛D与小岛F相距100海里.2设相遇时补给船航行了*海里，则DE*海里，AB+BE2*海里，EFAB+BC(AB+BE)CF(3002*)海里.在RtDEF中，根据勾股定理可得方程*21002+(3002*)2，整理，得3*21200*+1000000.解这个方程，得*1200118.4，*2200+不合题意，舍去.所以，相遇时补给船大约航行了118.4海里.说明求解此题时，一定要认真地分析题意，及时发现题目中的等量关系，并能从图形中寻找直角三角形，以便正确运用勾股定理布列一元二次方程.十二、图表信息例12如图6所示，正方形ABCD的边长为12，划分成1212个小正方形格，将边长为nn为整数，且2n11的黑白两色正方形纸片按图中的方式，黑白相间地摆放，第一nn的纸片正好盖住正方形ABCD左上角的nn个小正方形格，第二纸片盖住第一纸片的局部恰好为(n1)(n1)个小正方形.如此摆放下去，直到纸片盖住正方形A
