《中学代数证明中的反证法》由会员分享，可在线阅读，更多相关《中学代数证明中的反证法（8页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、中学代数证明中的反证法王塔娜 二连浩特市蒙古族学校中学部数学组 摘要 : 本文重点介绍了反证法及反证法在中学数学当中的应用。 关键词 : 反证法 假设 矛盾 结论 反证法是数学中常用的间接证明方法之一。 反证法的逻辑基础是形式逻辑基 本规律中的排中律。当命题由已知不易直接证明时 , 改证它的逆命题的证明方法 叫反证法。通常反证法是从待证命题的结论的反面入手进行正确推理, 推出矛盾 ,从而得出原结论的反面不真 ,由此肯定原结论为真。中学代数中 ,一些起始性命题、否定性命题、唯一性命题、必然性命题、结论以“至多”或“至少” 的形式出现的命题、“无限性”的命题、一些不等式的证明等用反证法来证明可 收
2、到较好的效果。数学研究一般包括两种基本过程 :一是发现过程 ,二是论证过程。发现过程就 是剖析问题、提出猜想的过程。这里的“猜想”就是数学中的假说。论证过程则 是对提炼出来的问题进行求解 , 对获得的猜想 （假说）给出证明的过程。数学的研 究与发展 ,常常是“发现-论证”多次往复的复杂过程。 反证法是一种间接的数学 证明方法。首先要知道什么是证明。1. 数学中的证明1.1 数学证明及其结构 数学证明是指用某些真实的数学概念和判断确定另一个数学判断的真实性的思维过程。 任何证明都是由论题、论据和论证三个部分组成。 论题是指需要证 明其真实性的判断； 论据是指用来证明论题真实性所引用的那些概念和判
3、断； 论 证就是进行一系列的逻辑推理来证明论题真实性的过程。数学证明是根据已知确定了真实性的公里、定理、定义、公式、性质等数学 命题来论证某一数学命题的真实性的推理过程。 数学证明过程往往表现为一系列 的推理。它直接关系到学生推理论证能力与逻辑思维能力的培养。1.2 数学中常用的证明方法 数学中常用的证明方法有直接证法、间接证法、数学归纳法、分析与综合法等。（ 1） 直接证法 以已知条件和已知的公理、定理、公式、性质等作为论据，利用逻辑推理法 则直接推演出论题结论真实性的证明方法叫做直接证法。（ 2） 间接证法在数学证明中， 有些命题是不容易直接证明的， 我们转而证明它的否定命题 不真实，或在
4、特定条件之下证明它的逆命题真实， 从而间接地证明了原命题真实 的证明方法，叫做间接证法。间接证法有反证法和同一法两种。（ 3） 数学归纳法在数学中关于自然数n的命题P（n）的证明，往往采用数学归纳法。一般是先 用不完全归纳法从特殊的判断推广到一般判断， 然后依据归纳公理来证明这一般 判断。因此， 它是根据归纳公理综合运用归纳、 演绎推理的一种特殊的数学证明 方法。(4)分析法与综合法对于一个命题的证明，不论是用演绎证法还是归纳证法，都有一个如何思维 的方法问题。因此，按录求论证的思路来分，证明可分为分析法和综合法两种。如果从题设的已知条件出发，运用一系列有关已确定的命题作为推理的依 据，逐步推
5、演而得到要证明的结论，这种证明方法叫综合法。反之，如果推理方 向中由题断到题设，论证中步步寻求使其成立的充分条件或已经成立的事实，命题便获证，这种证明方法叫做分析法。这四种证明方法在某些情况下可以互相应用。 例如在直接证法当中可以用数 学归纳法、分析法与综合法；在数学归纳法当中可以用直接证法、 间接证法或分 析法与综合法。2. 反证法的概念假设命题判断的反面成立，在已知条件和“否定命题判断”这个新条件下， 通过逻辑推理，得出与公理、定理、题设、临时假定相矛盾的结论或自相矛盾， 从而断定命题判断的反面不成立，即证明了命题的结论一定是正确的，这种证明 方法就叫做反证法。用框图表示如下:题断反面与临
6、时假设违背前此定理或与前此定理不容本题题设矛盾的结果：或与本题题设冲突二 An B 二 前此公理或与公理抵触前此定义或自相矛盾注：通过逻辑推理，得到上面5种结果中的任意一个结果都证明原命题的结 论是正确的。例1函数f(x)在0,1上有意义，且f(0) 十),如果对于不同的x“X2 0,1 都有 | f (xj - f (x2) | ：| 治 - x2 |,求证：| f (x2 f (x1 ) P：丄.2证明：假定至少存在一组不同的XX2 0,1使得1I f(X2)- f (xj |.(不妨设 X1 :： X2 )2由已知条件得I f(X2)- f (xJFI f(X2)- f (X1)f(0)
7、 - f(1)卜：| f (X2) f(1)| I f (0)- f(X1)|：| X2 -1| 0 - X1 I = 1 - X2 X1 = 1 - I X2 - X1 I ： 1 T f(X2 ) - f ( X1 ) I1即 2 I f(X2)- f (xj 卜：1，I f(X2)- f (xj 卜：2这与假设矛盾，假设不成立，因此原命题成立。3. 反证法的逻辑基础反证法的逻辑基础是形式逻辑基本规律中的排中律.3.1 排中律排中律是在同一思维过程中，两个矛盾的思想必有一个是真的。排中律常用公式A A来表示，意即A真或A真。其中A和A表示两个互相 矛盾的概念或判断。排中律要求人们思维有明确
8、性，避免模柃两可。它是同一律和矛盾律的补充 和发挥，进一步指明正确的思维不仅要求确定， 不互相矛盾而且应该明确地表示 肯定还是否定，不能模柃两可，不能含糊不清。排中律和矛盾律都不允许有逻辑 矛盾，违反了排中律，同时也违反了矛盾律，所以两者是互相联系的。它们的区 别在于：矛盾律指出两个互相矛盾的判断，不能同真，必有一假；排中律则指出 两个矛盾判断，不能同假，必有一真。排中律是反证法的逻辑基础。当直接证明某一判断的正确性有困难时， 根据 排中律，只要证明这一判断的矛盾判断是假就可以了。例如，要证明 .2不是有 理数有困难时，只要证明、2是有理数为假就可以了。反证法所改证的等价命题的条件包含原命题结
9、论的否定（或反面） 。若命题 的结论的反面只有一种情况，这种反证法称为归谬法；若命题结论的反面多于一 种情况，这种反证法称为穷举法。下面分别研究这两种反证法的逻辑依据。归谬法的逻辑依据定理1设p,q,r为任意给定的命题，则下面命题彼此等价：若p,则q（即p q）;若非q,则非p（即q p）;（3）若p=且非q,则q（即p q- q）；若p且非q,则p（即p q- p）；（5）若p且非q,则r且非r（即p q r r）.证明:（1）二:(qp) =(q) p =q p = p q =(pq)(1) 3): (p qq)=(p q) q=(B G)q=p q = p、q(1) =(4):(p三(p
10、 q) p 三(p q) p三 p q 三 p；q (1(5):(p q 一； r r)三(p q) (r F)三(p q) 0 三 p q 三 p； q根据定理1,可知要证明原命题（1）成立，可改证与它等价的命题（2）、（3）、（4）、（5）之一。在证明中，都要假定原命题结论 q的反面q成立，然后进行一系 列逻辑推理，并导出与已知的公理、定理或题设条件矛盾的结果（或推出自相矛盾的结果），而这些矛盾既然不是推演手续所致，就归结与结论的反面不可能成 立，故肯定欲证的结论成立。例2求证2是无理数。证明： 设2是有理数，不妨设. 2=9（P、q为互质的自然数），则有p.2p=q=q2=2p2,故2必
11、为q的因数。于是可设q二2m（m为自然数 ）= 2p2 = 4m2 = p2二2m2，故2又为p的因数，因此p、q有公因数2,这于p、 q为互质的自然数矛盾。所以假设.2是有理数不成立，即.2是无理数。穷举法的逻辑依据定理2设p,q,r为任意命题 且q的反面q有n种互相排斥的情况，匕，-n（ n 2）,即 q Z：1n（此为n个不可兼得的或），则下列命题彼此等价.(1) p q;(2) (p1 一； p) (p 匕一；p)(P 一； p)；(3) (p r F)(p 2 r 门严厂(p , r r);(4) (p 1 ； q) (p 2； q”：(p q).证明：三(2)(pq) =(p qp
12、) =(p(1 匕n) 、p二(P1)(p 2)(pn)、p= (p1)(p 2)(P n) p二(P1)( p2)(Pn) p三(P1) P( P2)P( P-n)P三(Pi P)( P2=P)：: ( Pn 一P).类似地可证(1) =(3) =(4)，从略。根据定理2,可知证明原命题(1)成立，可改证与它等价的命题 、(3)、 之一。例3 试证:当；彳时,(1) 若 x 1,则 log：0;(2) 若 0 x : 1，则 log a 0,即 log：空 0当log ： = 0时，即y = 0 ,有x = a0二1此与已知x - 1相矛盾；当log ： : 0时，即y ： 0，有x = a
13、y二1,此与已知x -1相矛盾；综上所述，有log： -0不成立，故log a 0成立(2) 类似与(1)的证明，从略。4. 反证法的步骤(1) 反设。假设所要证明的结论不成立，而设结论的反面成立；(2) 归谬。由“反设”出发，以通过正确的推理，导出矛盾一一与已知条件、已知的公理、定理、定义、反设及明显的事实矛盾或自相矛盾；(3) 结论。因为推理正确，产生矛盾的原因在于“反设”的谬误，既然结 论的反面不成立，从而肯定了结论成立。例4求证大于1的任何整数一定有质因数。证明：反射：假设至少有一个大于1的证书n没有质因数，即n = 1且不是 质数(因为质数本身是质因数)，则n必为合数。归谬：n必有一
14、个不等于n的真因数n1，故n m 1，这里也必不是质数(否则，n有质因数)；同理，n1也有一个质因数n2，使n1 n2 1，n2也必不 是质数。依次类推，可得n m n2；。这表明，在n与1之间有无限多个 不同的整数，这与一个确定的整数n与1之间只能有有限个不同的整数有矛盾。结论：“假定”是错误的，因此，大于1的任何整数一定有质因数。5. 中学代数中宜用反证法证明的七种命题。5.1起始性命题在数学的各个分支中，最初建立的仅是数量不多的定义和公理，因此，某些 起始的性质或定理的证明难以找到公理、定理可供利用，这些常常采用反证法。 如无理数的证明。例5设N是自然数，且lg N不是整数，求证：lg
15、N是无理数。证明： 假设lg N是有理数(-Tg N是实数，因而可作此反面假定)，则IgN二Pq，(既约分数).N =10 q， Nq =10P =2P 5P，:、L，Z，则 2：q -5 =2P 5P，由质因 数分解的唯一性知：= p = ；-q，二a = B =%，这与a、0为整数，而为既约分数矛盾。故lg N是无理 数。5.2待证命题的解论是否定形式的命题一类命题的结论如具有“不是”、“不能”、“没有”、“无”、 “不可约”等特征，往往用反证法。例6证明：对于任意自然数n ,分数214不可约。14n+3 21n + 4证明：假设可约，则21n 4与14n 3有最大公因数，设为d (d 1)。14n+3.d | 21n4 且 d |14n3，d | (21 n
