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1、习题三解答1、用高斯消元法解下列方程组。X12X24x2x37 - 82x1x2 3x31(1)4x12x25x34花2x27解:+ (-4)，1+ (-)消去第二、三个方程的X1，得：22音x?3X314x2X325313X2X32225再由+ (-4)消去此方程组的第三个方程的X2，得到三角方程组:X36 , X21 , X!9所以方程组的解为x (9, 1, 6)t 算法要求，不能化简。化简则不是严格意义上的消元法，在算法设计上就 多出了步骤。实际上，由于数值计算时用小数进行的，化简既是不必要的也是不 能实现的。无论是顺序消元法还是选主元素消元法都是这样。 消元法要求采用一般形式，或者说
2、是分量形式，不能用矩阵，以展示消元过 程。要通过练习熟悉消元的过程而不是矩阵变换的技术。矩阵形式错一点就是全错，也不利于检查。一般形式或分量形式：2x1 x2 3x314x-i 2x2 5x34x1 2x27 矩阵形式213%1425X24120X37向量形式x-i 4x2 2X3 5 必须是方程组到方程组的变形。三元方程组的消元过程要有三个方程组， 不能变形出单一的方程。 消元顺序x-X2 L，不能颠倒。按为支援在方程组中的排列顺序消元也是存储算法的要求。实际上，不按顺序消元是不规范的选主元素。 不能化简方程，否则系数矩阵会变化，也不利于算法设计。11x-i 3x2 2x33 （2）23xi
3、 11x2X30Xi2x2 2x3 1 231解：+ （仝），+ （-丄）消去第二、三个方程的X1，得：111111x1 3x22X33523569X2X3111111252414x2X311111125再由+ C W）消去此方程组的第三个方程的X2，得到三角方程组:1111x1 3x22x33523569X2X31111111932235252回代，得：X322310641193 ，X2193 ，X1193 ，所以方程组的解为（蛊106193223 )t193)2、将矩阵10 2 00 111 A2 0 1 10 0 11作LU分解 解：设121U11U12U13U14111I211U22U
4、23U24LUA2114l321U31U3211l41l42l431U44根据矩阵乘法，先求U的第一行，由aijUij，得U111,U120, U132, U14。再求L的第一列，由矩阵乘法，因为如l iiUii，所以 Iji也，而UnU111，所再求U 的勺第二行,得l21U121U22 1，则U221l21U121 1,l21U131U23 U331，则U231l21U131 21,l21U141U24 U34 u441，则U241l21U141 1,再求L 的勺第二列,得l31U12l32U221 ,则32l31U12 241U12l42U22l430 ，则42丨41U12 再求U 的勺
5、第三行,得l31U13l 32U231 u31，则U331l31U13l32U231 22 15l31U14l32U241 U34 u441,则U341l31U14l32U；241 2 11再求L 的勺第三列,得l41U13l42U23l431U331 1，则l43(1 2 1)155再求U 的勺第四行,得l41U14l42U24l431U341U441，则U441l41U14l42U24l43U341 以 hi aji，所以 I21, I312,141 o所以，矩阵A的LU分解为:(1)10 0 010 2 00 10 00 1110，U指出：用分数而表示元素，不能化成近似小数也不化成小数表
6、示3、用LU分解紧凑格式分解法解方程组。5 791016 8109x217 1087x315765x,110005762100055L 71,U100052103100解一，用一般格式求解： 将系数矩阵作LU分解得:594550101710Ly=b方程组为10006100y115y2171101y35213y41015解之得y1y2y3y41512210同样地，解方程组Ux=y得x120X212X35x43解二，用LU紧凑格式分解法求解: 对增广矩阵三角分解：5 79579 1016-810681091571087171085765151 765791015624316555355715171
7、75222531 0 -5115原方程组化成同解的上三角方程组为:5x,7x2:9x310X41241xx33x4555-1715x3X42213X1010回代得x (20, 12, 5,3)t。指出：10157910191624315555717187152511065179101243155515171222313051010紧凑格式是直接应用公式进行计算，计算结果保存在A的相应元素位置。从算法的角度，紧凑格式实际体现在数据的存储方法上。由于紧凑格式计算时不再需要 A的前面的元素，因此可以进行。4、用列主元的三角分解法解线性方程组。X 2x2 2x3 13x,x2 4x372x-i 3x2
8、 2x30解一，列选主元素消元法：先选第一列主元为a2i 3，将第一个方程与第二个方程交换，消去 Xi得:524X2X3一33371414X2X3333X24X3 73x1x24X3771414X2X3333126X3331回代求得方程组的解X32，X21，X12再选第二列主元为日323，交换第所以方程组的解为三两个方程，消去X2得二角形方程组:1 TX (2,1-)。212213247(A,b)3247 UuuuuuU122123202320324712 2 1332 4732232027GUluulS3331152 21337同解的三角形方程组为3%X24X3771414X2X33334X3247324714142714143333331521423733 2 0解二，列主元素三角分解法:1回代求得方程组的解X3-，X21，X!2所以方程组的解为1 TX (2,1,)。
