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1、 1.4 数列的子列定义1：设为数列，为正整数集的无限子集，且，则数列 ，称为数列的一个子列，简记为。在数列中，保持原来次序自左往右任意选取无穷多个项所得的数列称为的子列，记为，其中表示在原数列中的项数，表示它在子列中的项数定义2： 数列本身以及去掉有限项后得到的子列，称为的平凡子列；不是平凡子列的子列，称为非平凡子列。性质：一个数列与它的任一平凡子列同为收敛或发散；且在收敛时有相同的极限。对数列的子列，有如下结果：（1） 对每一个，有（2） 对任意两个正整数，如果，则反之，若，则（3） ，有.（4） 数列收敛的充要条件是 和 收敛到同一极限.证明: 必要性. 设,则任给,找得到正整数N,当时
2、,有. 此时对2N, 当2n2N时也有, 亦即. 同理可证.充分性. 设, 则对任给, 找得到正整数N,当nN时,有 同时可找到正整数M, 当nM时,有 从而取N0 =max2N, 2M+1, 当nN0时, n为偶数, 则满足; n为奇数, 则满足,即当nN时,有, 亦即 .（5）若，和都收敛，且有相同的极限，则收敛。或者说：数列收敛的充要条件是 ，和收敛到同一极限.证明: 设，则由数列极限的定义，知，；同样也有，；，。取，当时，对任意的自然数 n ，若，则必有，从而；同样若，则必有，从而也有；若，则必有，从而。所以，即收敛。（6）数列收敛的充要条件：的任何子列都收敛于同一极限.证明:必要性.
3、 设是的任一子列.,使得当时有. 由于,故当时更有,从而也有, 这就证明了.充分性. 考虑的子列 .按假设它们都收敛.由于既是,又是的子列,故由刚才证明的必要性有.又既是又是的子列, 同样可得. 故. 由上面的（4）点可知收敛.下面举几个子列的例子。例1 : 证明以下数列发散（1） ; （2）证明: 设，则，而，因此 发散。（2）证明: 的偶数项组成的数列，发散，所以 发散。例2: 判断以下结论是否成立: 若和都收敛，则收敛。解: 结论不一定成立。例如，设，则， 都收敛，但发散。注: 若和都收敛，且极限相等（即），则收敛。例4: 若单调数列含有一个收敛子列，则收敛。证明：不妨设是单调增加数列，是其收敛子列。于是有界，即存在，使得。（这里用了结论：数列收敛，则必有界）。对单调增加数列中的任一项必有 ，即单调增加有上界，从而收敛。（这里用了结论：单调有界数列必收敛）。例5（致密性定理）: 任何有界数列必有收敛的子数列。证明: 设是一个有界数列，且设即是一个单调下降的数列，又有界，则存在正数M，, 从而。则 是单调有界数列。由单调有界收敛原理知，收敛。
