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1、第三章微分中值定理与导数的应用教学目的：1、理解并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理，了解柯西中值定理和泰勒中值定理。2、理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函 数最大值和最小值的求法及其简单应用。3、会用二阶导数判断函数图形的凹凸性，会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐 近线，会描绘函数的图形。4、掌握用洛必达法则求未定式极限的方法。5、知道曲率和曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径。6、知道方程近似解的二分法及切线性。教学重点：1、罗尔定理、拉格朗日中值定理；2、函数的极值，判断函数的单调性和求函数极值的方法；3、函数图形的凹凸性；4、洛必达法则。教学难点：
2、1、罗尔定理、拉格朗日中值定理的应用；2、极值的判断方法；3、图形的凹凸性及函数的图形描绘；4、洛必达法则的灵活运用。3. 1微分中值定理一、教学目的与要求：1. 掌握罗尔定理、拉格朗日定理、柯西中值定理的条件和结论，强调 定理的条件是充分而非必要的；2. 会验证中值定理的正确性，掌握用拉格朗日中值定理证明不等式的 方法(关键是构造辅助函数)；3. 理解三个中值定理之间的关系。二、重点、难点：中值定理的应用三、主 要 夕卜语 词汇： Fermat ， Rolle ， Lagrange ， Cauchy ， Medium value axioms,Lead a reason,shut zone,
3、open zone.四、辅助教学情况：多媒体课件第四版和第五版(修改)五、参考教材(资料)：同济大学高等数学第五版一、罗尔定理费马引理设函数地;)在点x0的某邻域U(x0)内有定义，并且在x0处可导，如果对任意xeU(x0),有 f(x)f(x0),那么 f r(xo)=0.罗尔定理 如果函数y=fx)在闭区间, b上连续，在开区间(a, b)内可导，且有f(a)=f(b),那 么在(a,b)内至少在一点&,使得f仅)=0.简要证明：(1)如果fx)是常函数，则f(x)三0,定理的结论显然成立.(2)如果fx)不是常函数，则fx)在(a, b)内至少有一个最大值点或最小值点，不妨设有一最大值点
4、ge(a, b).于是f (&)=f(g) = lim f (x) f &) 0,-xrg_Tf (g)=f (g) = lim f (x)一f (g) 0 , +xrg+x-g所以 f (x)=0.罗尔定理的几何意义：二、拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理 如果函数fx)在闭区间a，b上连续，在开区间(a，b)内可导，那么在(a，b) 内至少有一点&(a&b)，使得等式f(b)-f(a)=f，(顷 ba)成立.拉格朗日中值定理的几何意义：定理的证明：引进辅函数令 (x)=f(x)f(a) f (?一 f(a) (xa).b 一 a容易验证函数fx)适合罗尔定理的条件:顿a)w(b)=0，顿x)
5、在闭区间a，b上连续在开区间(a，b)内可导， 且f (b) 一 f (a) 中 r(x)=fr(x)-Lb 一 a根据罗尔定理，可知在开区间(a，b)内至少有一点&，使中(&)=0，即F fbfi =0b 一 a由此得f&一f(a) =f (g)，b 一 a即f(b)-f(a)=f (g)(b-a).定理证毕.f(b)-f(a)=f (g)(b-a)叫做拉格朗日中值公式.这个公式对于b0或Ax0)或 x+Ax，x (Ax0)应用拉格朗日中值公式，得f(x+Ax)-f(x)=f(x+OAx) - Ax (001).第2页如果记f(x) y,则上式又可写为Ay=f (x+OAx) - Ax (0
6、01),试与微分dy=f。) A比较:dy =f (x) A是函数增量Ay的近似表达式，而 f (x+OAx) A是函数增量Ay的精确表达式.作为拉格朗日中值定理的应用，我们证明如下定理：定理 如果函数fx)在区间I上的导数恒为零，那么fx)在区间I上是一个常数.证 在区间I上任取两点 x2(x1x2),应用拉格朗日中值定理，就得f(x2)-f(x1)=f ()(x2 - x1) (x10 时， ln(1+x) x.1+x证 设fx)=ln(1+x),显然fx)在区间0,x上满足拉格朗日中值定理的条件，根据定理，就有 f(x)-f(0)=f (&)(x-0), 0&x。由于f(0)=0, f(
7、x) = L,因此上式即为1+xln(1+x)=、.1+&又由0&x,有 ln(1+x) x.1+x三、柯西中值定理设曲线弧C由参数方程(axb)X = F (x) 侦=f (x)表示，其中x为参数.如果曲线C上除端点外处处具有不垂直于横轴的切线，那么在曲线C上必 有一点x=&,使曲线上该点的切线平行于连结曲线端点的弦AB,曲线C上点x=&处的切线的斜 率为dY = f (&)dXF 化)，弦AB的斜率为f (b) - f (a)F (b) - F(a).于是f (b) - f (a) = f()F (b) - F (a) F 化).柯西中值定理 如果函数fx)及F(x)在闭区间a, b上连续
8、，在开区间(a, b)内可导，且F (x)第3页在(a,b)内的每一点处均不为零，那么在(a,b)内至少有一点&,使等式f (b) - f (a)=皿F (b) - F (a) F (&).成立.显然，如果取F(x)=x,那么F(b)-F(a)=b-a, F。)=1,因而柯西中值公式就可以写成: f(b)-f(a)=f ()(b-a) (ab),这样就变成了拉格朗日中值公式了.3. 2洛必达法则一、教学目的与要求：1. 理解洛必达法则的使用条件，掌握用洛必达法则求未定式的极限的 方法；2. 了解洛必达法则求极限的注意问题。二、重点、难点：用洛必达法则求极限。三、主要外语词汇：L Hospita
9、l ,Undecided type四、助教学情况：多媒体课件第四版和第五版(修改)五、参考教材(资料)：同济大学高等数学第五版一. 0型和竺型未定式的解法：洛必达法则 08定义：若当X a (或x T8 )时，函数f (x)和F (X)都趋于零(或无穷大)，则极限lim 四)可 x-a F ( x) (x8 )能存在、也可能不存在，通常称为0型和8型未定式.08例如 lim业, (-型)；limlnSinax , (8型).x-0 x 0x-0 In sin bx8lim f存在(或x-a F ( x)(x8 )定理1：设 当x 0时，函数f (x)和F (x)都趋于零;(2)在a点的某去心邻
10、域内,f x)和F，(x)都存在且F，(x)罚；(3)无穷大),则limfx) = iim 也定义：这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定 xa F (x) xa 矿(x)式的值的方法称为洛必达法则 证明：定义辅助函数I f ，x。a ,、(F(x), x。af = 0, x = a，F1(x) T 0, x = a在U(a,6 )内任取一点x ,在以。和x为端点的区间上函数f 1(x)和F1(x)满足柯西中值 定理的条件，则有尘=f-f (a)=心，代在a与x之间)F (x)F (x) - F (a)F &)当x 0时,有& a，所以当lim四义=A，有lim处密=A x (
11、x)W (E)故lim止) = 1血匕(皇=A.证毕x ( x) jF )说明：1.如果lim 仍属于0型，且f (x)和F，(x)满足洛必达法则的条件，可继续使用洛必达x-aF，( x)0法则，即lim =lim = lim 业=a ;xa F (x) x* F (x) xa F (x)2. 当x 8时，该法则仍然成立，有lim丑= lim 竺) ； x8 F (x) x8 F (x)3. 对x - a (或x *)时的未定式巴，也有相应的洛必达法则;84. 洛必达法则是充分条件;5. 如果数列极限也属于未定式的极限问题，需先将其转换为函数极限，然后使用洛必达法则，从而求出数列极限.例 1
12、求 limC ,(0 型)XT0 x 0(tan x)sec2 x .解 原式=lim (xy =lim一1一 = 1x 3 -3 x + 2.例 2 求 lim, (0 型)x1 x 3 一 x 2 一 x + 10解原式=lim 3x2 - 3 = lim-6二 x1 3 x 2 - 2 x -1xi 6 x - 2兀例 3 求 lim 2 -arCtanx , (0 型)10x+8原式=limXT+81 + x 2 = lim1XT+3=1x2例 4 求 limlnSinaX ,（型）.iolnsin bx 解原式=lim 61 cosa .sinbx = lim竺竺=1 xo b co
13、s bx - sin axxt0 cos ax例5求lim tanx，（竺型） 夬 tan 3 xx十 2解原式=lim sec2 x =皿 3sec2 3x xt21 lim cos2 3x =3 夬 cos2 x xT 21 一 6 cos 3x sin 3 x -lim3 x 一 2 cos x sin xxT 2 6 cos 6 x lim= 3x 2 cos 2xx T 2_ sin6x=limx sin 2xxt 2注意：洛必达法则是求未定式的一种有效方法，但与其它求极限方法结合使用，效果更好tan x - x例6求lim xT0 x 2 tan x、 _ , tan x 一 x sec2 x 一 1 1 tan2 x 1解 原式=lim= lim二二 lim=-xto x3xto 3x23 xto x23二. 0, -,00,1, 0型未定式的求法关键：将其它类型未定式化为洛必达法则可解决的类型土型和型.01. 0.型未定式的求法步骤：0n ,或o.旦o-0例 7 求 lim x-2ex.( 0 )型xT+ex解 原式=lim =lim F = lim 2 = +.xT+ x 2 xT+ 2 x xT+2. -型步骤:110 - 0s sn
