《第一章线性空间与线性映射1》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第一章线性空间与线性映射1（21页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第一章 线性空间与线性映射线性空间是研究矩阵理论的重要基础，本章主要讨论线性空间及其子空间的 性质、线性映射与矩阵的关系等。1.1数 域定义1设F是至少包含两个数的数集，如果Va, b g F均有 aa 土 b,ab ,-（b。0） g F，则称 F 是数域。 b例1全体实数构成实数域，记为R。全体复数构成复数域，记为C。全体有 理数构成有理数域，记为Q。例2全体整数不够成数域，因为对除法不封闭。例3设F = a + T2b I a g Q,b g Q，证明F是数域。证明 V以,P g F，则3a ,b，- ,b gQ，使得a = a +t2b,。= a +侦2b，易证11221122a 土
2、p ,ap例4证明任何数域F都包含有理数域。证明因为F中至少包含两个不同元素，所以3a g F,a。0，由运算的封闭性a矢口 - = 1 g F，1 +1 = 2, 1 + 2 = 3 g F, 1 -2 = 1,1 3 = 2 g F，所以 F 包含 a尤aij i=1 j=1了全体整数，又由除法封闭性知.F包含有理数域。.=E aijj=1 i=11.2 线性空间在线性代数中Rn是n维实向量空间，在本节中将此概念推广到一般向量空 间。定义1设V是一个非空集合，F是一个数域。在集合V的元素之间定义一种称之为加法的运算，且V关于加法封闭，即Vx, y g V,有唯一的x + y g V。在F与
3、V之间定义一种运算称之为数乘，即V F,X e V有唯一确定的o = XX e V与之 对应，如果以上两种运算满足以下八条运算规则，则称V为数域F上的线性空间， V中元素也称为V中的向量，也记V= V(F)。1. X + y = y + xVx, y e V2. (x + y) + z = x + (y + z)Vx, y, z e V3. 30 e V使x + 0 = x, Vx e V，称0为零元素，也记为0。4. Vx e V,3y e V，使x + y =0 (记 y = x)5.(人+ p) x = X x +p xVX, pe FVx e V6. X ( x + y) = Xx +
4、 XyVX e FVx, ye V7. X(px) = (Xp)xVX, pe FVx e V8. 1x = x Vx e V例1设F为数域，则Fn = a a a t | a ,a , ,a e F按通常的n维向量加 1 2 n 12 n法与数乘，不难证明Fn为F上的向量空间。例2记 E 为数域F上的m X n矩阵的全体，按通常的矩阵加法与数乘构成F上的向量空间，其中0 = O。例3 Ca,b为区间a,b上一切一元连续实函数，按通常的实函数加法和数 乘，构成了实数域R上的线性空间，其中0 = 0。例4 Px孔为不超过n 1次的实多项式及零多项式的全体，是实数域R上线 性空间。例5复数域C是实
5、数域R上的线性空间，而R却不是C上的线性空间.以下为线性空间的简单性质。性质1线性空间V(F)中零元素唯一。证明 设有零元素0 ,0 e V(F)，则0 =0 +0 =0。121122性质2 Vx e V(F),3y e V(F)使得x + y =0，则y唯一，称为X的负元素。证明 设 x + y.=0, x + y2 =0，则y = y +9 = y + (x + y )1112=(LW + y2 =9+ y2 = y2性质 3 0x = 9,(一人)x = 一人x,人9 =9证明 0x = (0 + 0)x = 0x + 0x，所以 0x = 9 。因为人x + (一人)x =人+ (人)
6、x = 0x = 9，所以(一人)x = 一人x。因为Xx + X9=X(x+9) = Xx，所以人9 =9。性质 4 若 Xx = 9 其中 X g F, x g V (F)，贝U X = 0 或 x = 9。证明 若X = 0命题显然成立，不妨设日0，则11八 八x = (X x) = 9=9 XX定义2设W u V(F)，若W在数域F上也是线性空间，则称W(F)为V(F)的子空间(按原来的两种运算)。若W是线性空间V的非空子集，则在线性空间定义的八个条件中除3,4条外，W显然满足其余条件。而如果封闭性满足了，3,4条就成立了。这是因为Vx, y g W, x + y g W, Xx g
7、W(VX g F)，则0x =9 g W, 一x = (-1)xg W，因此有下面的定理。定理1设V(F)是线性空间，W为V的非空子集，按原来的两种运算W是线性空间。W按原来两种运算封闭。例6数域F上的阶对称阵的全体构成了 Fg的一个子空间。定义3设气,a2,.,气是数域F上的线性空间V中的向量，则不难证明a ,a，,a的线性组合的全体构成了 V的一个子空间，记为L(a ,a，,a )或12?12tspana ,a , ,a ，称为a ,a，,a生成或张成子空间。12t12t零向量集合及V本身都是的V子空间，称为平凡子空间。若W是V的子空间， 且不是平凡子空间，则称W是V的真子空间。1.3 线
8、性空间的基与Rn中一样，我们在V(F)中也要讨论线性相关性及向量组的秩和极大无关 组，向量组的等价性，线性空间和线性子空间的基底，维数以及向量在一组基下 的坐标及相关性质。一、线性空间的基定义 1 设 X g V(F), a g F i = 1,2, , m，若x = a x + a x + + a x1 12 2m m则称x可由x ,x , ,x线性表示，或称x为x ,x , ,x的线性组合。12 m12 m定义2设A: xx , ,x , B: y ,y , ,y是线性空间V(F)中的两个向量组，12 m12 s如果A中的任一个向量可由向量组B线性表示，则称向量组A可由向量组B线性 表示。
9、如果向量组A与B可以互相线性表示，则称向量组A与B等价。定义3设x ,x , ,x g V(F)，如果存在一组不全为0的常数a ,a , , a g F12m12m使 a x + + a x =011mm 则称向量组x1, x2,xm线性相关，否则称x1, x2,xm线性无关。定义4设x ,x , ,x是V(F)中的向量组，如果x ,x , ,x中有r个向量线性12 m12 m无关，而所有的r +1个向量(如果有的话)都线性相关，.则称此r个向量为向量组x , x , , x的极大无关组，称r为向量组x , x , , x的秩，记为12 m12 mrankxx； ,乂皿。规定只含零向量的向量组
10、秩为零。与时类似，在线性空间V(F)中下列命题成立：命题1设m 2，则V(F)中向量组x ,x , ,x线性相关o其中有某个向量12 m可由其余的向量线性表示。.命题2若V(F)中向量组的某一子向量组线性相关，则该向量组线性相关。命题3若V(F)中向量组x1，%, ,xm线性无关，则其任意非空子向量组也线 性无关。.命题4设x g V(F)，则x线性无关o x赢。命题5设x , x , , x , y g V(F)，若x , x , , x线性无关，x , x , , x , y线性12 m12 m12 m相关，则y可由x1,x； ,x唯一线性表示。定义5线性空间V中的向量x ,x , ,x称
11、为V的基向量组或基(底)，如果12 n有1. x , x , , x线性无关;12 n2. V(F)中任一向量可由x ,x , ,x线性表示。12 n称n为V的维数，记dimV = n。.如果对Vn均可在V (F)中找到n个线性无关的向量，则称V (F)为无限维的向 量空间(例如实数域上全体多项式的集合)。只含零向量的线性空间维数规定为 0。命题6若x ,x , ,x为线性空间V(F)的基，则Vx e V(F)，x可由x ,x , ,x12 n12 n唯一线性表示。.命题7若x ,x ,x为线性空间V(F)的基，则V(F) = Lx ,x , ,x 。定义6设xx2,12 n12n,x为V(F
12、)的基，则Vx e V(F)，有唯一的表达式 nx =完 a x = x , xi=1aia2a 1a,a或2为x在基x ,x , ,x下的坐标。n :12 n注：基不唯一，例如在R n中0,。2=!e=1，e；都是R的基。称为R n和C n的自然基底。1P X = f (X )1 f (X) =a + a x + + a Xn-i, a , a , , a g R，n0 in-i0 in-i,Xn-i为PX的基。注：n次多项式的全体不构成线性空间，因为不封闭。1, X, X 2,二、基与基的关系，向量在两组基下的坐标关系定义7设V(F)的两组基为 , , ,和i 2 n,：，令i2 n： =
13、 a ta +i ii i i2 2+ a ni n： = a + a +n in !, . 2n 2 ：,：, ,： =【 , , , i2 n i2 naiiaina 一L - n1a nn：, ：, , ： =, 2,aiiaina .L nia nn为由基2,命题8基底过渡矩阵A-可逆。证明因为：,：,i2,到：,；, ,的过渡矩阵。点线性无关，所以 n,:XiX2只有零解，即i， 2,Ax = 0只有零解。又因为81,8 , ,8线性无关，所以Ax 0，即Ax 0只有零解，所以A2n可逆。A-1为由基8, 8,12,8到8 ,8 , ,8的过渡矩阵，这是因为 n 12 n8,8,8 A-1 8 ,8 , ,8 12 n12 n定理1设8i，82,和8,8, , 8是V的两组基，且A为由8 , 8 , , 8到12 n12,8的过渡矩阵， nV中向量x在基8 , 8 , , 8和8, 8, 8下的坐标分别2 n 12 na 1 af1 a为a与aa，则nn8i，8 2，a 1 a2A#11 a：-LaLann,8 A , n证明8, 8, , 8-12 n-81,8 2,aia2x a8f +11+ a8 nn82,8 2,ana1 a2anaa2=81,82,
