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1、一、立体几何知识点归纳第一章空间几何体（一）空间几何体的结构特征（1）多面体一一由若干个平面多边形围成的几何体.围成多面体的各个多边形叫叫做多面体的面，相邻两个面的公共边叫做多面体的棱，棱 与棱的公共点叫做顶点。旋转体一一把一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转形成的封闭几何体。其中，这条定直线称为旋转体的轴。（2）柱，锥，台，球的结构特征1. 棱柱1.1棱柱一一有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。1.2相关棱柱几何体系列（棱柱、斜棱柱、直棱柱、正棱柱）关系：的斜棱柱底面F侧棱.-A B棱柱棱垂直于底面 直棱柱V底面
2、是正多形 正棱柱、其他棱柱长方体底面为正方形胃正四棱柱侧棱与底面边长相等正方体四棱柱底面为平行四边形|平行六面体|侧棱垂直于底面1.3棱柱的性质：侧棱都相等，侧面是平行四边形;直平行六面体底面为矩形 两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形； 过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形； 直棱柱的侧棱长与高相等，侧面与对角面是矩形。1.4长方体的性质： 长方体一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱的平方和；【如图】AC12 = AB2 + AD2 + AA （了解）长方体的一条对角线AC与过顶点A的三条1棱所成的角分别是a，。，y ， 那么cos2 a + cos2 P + cos2 y = 1，
3、sin2 a + sin2 P + sin2 y = 2 ； 门解）长方体的一条对角线AC1与过顶点A的相邻三个面所成的角分别是a，P，y，则 cos2 a + cos2 P + cos2 y = 2，sin2 a + sin2 P + sin2 y = 1.1.5侧面展开图：正n棱柱的侧面展开图是由n个全等矩形组成的以底面周长和侧棱长为邻 边的矩形.1.6面积、体积公式：s直棱柱侧=c.h + 2S , V = S -h （其中c为底面周长，h 直棱柱全底，棱柱 底为棱柱的高）2. 圆柱母线轴轴截面侧面底面B2.1圆柱一一以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其 余各边旋转而形成的曲面所围成的几何
4、体叫圆柱.2.2圆柱的性质：上、下底及平行于底面的截面都是 等圆；过轴的截面（轴截面）是全等的矩形.2.3侧面展开图：圆柱的侧面展开图是以底面周长和 母线长为邻边的矩形.2.4面积、体积公式:S圆柱侧=2”们S圆柱全=2兀rh + 2兀r2, V圆柱=S底h=2h（其中r为底面半径，h为圆柱高）3. 棱锥AB3.1棱锥一一有一个面是多边形，其余各 面是有一个公共顶点的三角形，由这些 面所围成的几何体叫做棱锥。正棱锥一一如果有一个棱锥的底面 是正多边形，并且顶点在底面的射影是 底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥。3.2棱锥的性质： 平行于底面的截面是与底面相似的正 多边形，相似比等于顶点到截面的距
5、离与顶点到底面的距离之比; 正棱锥各侧棱相等，各侧面是全等的等腰三角形; 正棱锥中六个元素，即侧棱、高、斜高、侧棱在底面内的射影、斜高在底面的射影、底面 边长一半，构成四个直角三角形。）（如上图：30BqSOHqSBHqOBH为直角三角形） 3.3侧面展开图：正n棱锥的侧面展开图是有n个全等的等腰三角形组成的。3.4面积、体积公式：S正棱锥侧=2次，S正棱锥全=2 ch + S底，V棱锥日5底-h.（其中c为底面周长，h侧面斜高，h棱锥的高）4. 圆锥4.1圆锥一一以直角三角形的一直角边所在的直线为旋转 轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆锥。4.2圆锥的性质： 平行于底面的截面都是
6、圆，截面直径与底面直径之比等于 顶点到截面的距离与顶点到底面的距离之比； 轴截面是等腰三角形；如右图：SAB如右图：l2 = h2 + r2.4.3圆锥的侧面展开图：圆锥的侧面展开图是以顶点为圆心，以母线长为半径的扇形。4.4面积、体积公式:S圆锥侧兀rl，S圆锥全=E（r + I），V圆锥=3兀尸2h （其中r为底面半径，h为圆锥的高，l为母线长）5.棱台5.1棱台用一个平行于底面的平面去截棱 锥，我们把截面与底面之间的部分称为棱台.5.2正棱台的性质： 各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰梯形； 正棱台的两个底面以及平行于底面的截面是正多边形； 如右图：四边形O、MNO,O、B、BO都是直角梯
7、 形棱台经常补成棱锥研究.如右图：3O、M与aSON ,S、O、B、与妄0 B相似，注意考虑相似比.5.3棱台的表面积、体积公式：S =S +S +S侧，V =1（S + v* + S、）h，（其中S,S、是全 上底 下底 侧 棱台 3上，下底面面积，h为棱台的高）6.圆台6.1圆台一一用平行于圆锥底面的平面去截圆锥， 底面与截面之间的部分叫做圆台.6.2圆台的性质： 圆台的上下底面，与底面平行的截面都是圆； 圆台的轴截面是等腰梯形； 圆台经常补成圆锥来研究。如右图： aSOvA与SOB相似，注意相似比的应用.6.3圆台的侧面展开图是一个扇环；轴獭湎Oh下底面-土 上底面D侧面6.4圆台的表面
8、积、体积公式：5全=兀r2+兀R2+兀（R+以，1. 1 ,V=（S+tSS、+ S、）h=（兀r2 +krR + KR2）h，（其中 r，R 为上下底面半径，h 为高）圆口 337.球7.1球一一以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆 旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球.或空间中，与定点距离等于定长的点的集合叫做 球面，球面所围成的几何体叫做球体，简称球；7.2球的性质：球心与截面圆心的连线垂直于截面；球心球面半径CBcAO半径）例：（06年福建卷）已知正方体的八个顶则正r = -R2 -d2 （其中，球心到截面的距离为d、球的半径为R、截面的半径为r）7.3球与多面体的组合体：球与正四面体，
9、球与长方体，球与正方体等的内接与外切.注：球的有关问题转化为圆的问题解决.7.4球面积、体积公式：4 S = 4兀R2,V = 一兀R3 （其中r为球的球球 3.,，一. 一 .32点都在球面上，且球的体积为3-兀，3方体的棱长为（二）空间几何体的三视图与直观图1. 投影：区分中心投影与平行投影。平行投影分为正投影和斜投影。2. 三视图一一是观察者从三个不同位置观察同一个空间几何体而画出的图形；正视图一一光线从几何体的前面向后面正投影，得到的投影图；侧视图一一光线从几何体的左面向右面正投影，得到的投影图；正视图一一光线从几何体的上面向下面正投影，得到的投影图；注：（1）俯视图画在正视图的下方，
10、“长度”与正视图相等；侧视图画在正视图的右边，“高 度”与正视图相等，“宽度”与俯视图。（简记为“正、侧一样高，正、俯一样长，俯、侧一样宽”.（2）正视图，侧视图，俯视图都是平面图形，而不是直观图。3. 直观图：3.1直观图一一是观察着站在某一点观察一个空间几何体而画出的图形。直观图通常是在平 行投影下画出的空间图形。3.2斜二测法： stepl：在已知图形中取互相垂直的轴Ox、Oy，（即取xoy = 90 ）； step2：画直观图时，把它画成对应的轴ox,oy，取Zxoy = 45（or135），它们确定的 平面表示水平平面；step3 :在坐标系x o y 中画直观图时，已知图形中平行于
11、数轴的线段保持平行性不变，平行 于x轴（或在x轴上）的线段保持长度不变，平行于y轴（或在y轴上）的线段长度减半。结论：一般地，采用斜二测法作出的直观图面积是原平面图形面积的与倍.4解决两种常见的题型时应注意：（1）由几何体的三视图画直观图时，一般先考虑“俯视图”.（2）由几何体的直观图画三视图时，能看见的轮廓线和棱画成实线，不能看见的轮廓线和棱画成虚线。2、证明题。证明平行关系，垂直关系等方面的问题。(1)基础知识网络：平行与垂直关系可互相转化平行关系垂直关系平面几何知识1. a上以,b上以n a / b2. a上以,a / b n b上以3. a a,a P n a / P4. a/P,a
12、a n a P5. a/P,y a n Y P平面几何知识线线平行线线垂直判定推论判义线面平行线面垂直面面垂直面面平行质判定判匕性质I 、 性质判定推论质面面判定线面平行线面垂直面面垂直面面平行CBF请根据以上知识网络图，写出相关定理的图形语言与符号语言. (2)相关例题：例1(06广州市高一质量抽测)如右图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F为棱AD、AB的中点.(1) 求证：EF平面 CB1D1；(2) 求证：B1D1平面 CAA1C1例2.如图，已知矩形ABCD中，AB=10, BC=6,将矩形沿对角线BD把ABD折起，使A移到A点，且A在平面BCD上的射影O恰好在CD上.(I
13、)求证：BC AD ；(II)求证：平面ABC 平面ABD ；(III)求三棱锥A - BCD的体积(答案:匕 1一BCD = 48）3、计算题。包括空间角（异面直线所成的角，线面角，二面角）和空间几何体的表面积、体 积的计算。（1）对于空间角和空间距离的计算，关键是做好“三步曲”：stepl：找；step2：证；step3： 计算。1.1求异面直线所成的角。e（0。,90。：解题步骤：一找（作）：利用平移法找出异面直线所成的角；（1）可固定一条直线平移另 一条与其相交；（2）可将两条一面直线同时平移至某一特殊位置。常用中位线平移法 二证：证明所找（作）的角就是异面直线所成的角（或其补角。常需
14、要证明线线平行； 三计算：通过解三角形，求出异面直线所成的角；1.2求直线与平面所成的角。e【0,90。：关键找“两足”：垂足与斜足解题步骤：一找：找（作）出斜线与其在平面内的射影的夹角（注意三垂线定理的应用）； 二证：证明所找（作）的角就是直线与平面所成的角（或其补角）（常需证明线面垂直）；三计算：常通过解直角三角形，求出线面角。1.3求二面角的平面角9 e【0,丸解题步骤：一找：根据二面角的平面角的定义，找（作）出二面角的平面角；二证：证明所找（作）的平面角就是二面角的平面角（常用定义法，三垂线法，垂面法）； 三计算：通过解三角形，求出二面角的平面角。（2）对于几何体的表面积、体积的计算，关键是搞清量与量之间关系，熟练应用公式进行计 算。已知三视图，求几何体体积。平面图形直观图面积与原图形面积的互相转化。（3）相关例题：
