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1、简单的线性规划一. 考纲要求： 了解用二元一次不等式表示平面区域及简单的线性规划二. 重点、难点：1. 用二元一次不等式表示平面区域2. 准确理解：(线性)约束条件，(线性)目标函数，可行解，可行域，最优解 三近年考点分析：简单线性规划考法相对稳定，主要是以填选题为主，08 年开始在大题中有所体现 其考查方式主要集中在以下几个方面：根据约束条件：求最值二元整式的最值斜率的最值求面积； 求值域；1例1已知x,y满足约束条件0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By +C=0某一侧所有点组成的平面区域,我们把直线画成虚线以表示区域不包括边界直 线。注意：在坐标系中画不等式Ax+By+C三0所表示的平面
2、区域时画成实线。(4)区域判断方法是：特殊点法。2. 线性规划：(1) 约束条件、线性约束条件：变量x、y满足的一组条件叫做对变量x、y的约 束条件，若约束条件都是关于x、y的一次不等式，则约束条件又称为线性的约束条件。(2) 目标函数、线性目标函数：欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解 析式，叫做目标函数。若解析式是x、y的一次解析式，则目标函数又称线性目标函数。(3) 线性规划：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统 称为线性规划问题。(4) 可行域：满足线性约束条件的解(x、y)叫做可行解，由所有可行解组成的 集合叫做可行域。(5) 最优解：分别使目标函数取得最大
3、值和最小值的解，叫做这个问题的最优解。3. 解线性规划应用问题的一般方法和步骤：(1) 理清题意,设好变兀并列出不等式组和目标函数、约束条件。(2) 准确作图，准确计算。五考点演练：(1) 求 x 2y 的最值；11解：设Z=x2y，则y=2x q z，易知直线过点(1, 1)时Z有最大值T,过点1， 3)时 Z 有最小值-5.引申：求lx + 2y 4的最大值(答案：3)(2)求 x2+y2 的最值；max=10,minx=2图 1解： Z= x2+y2 表示区域 内的点到点 O( 0， 0)的距离的平方，显然Z =(1-0)2+(3-0)2=10, Z =(10)2+(10)2=2.max
4、min引申：求(x+1)2+(y-2)2-3的最小值；(答案：1)求点(2，-1)到平面区域的最小距离。(答案：壬5)y(3) 求丄的取值范围；x解：Z=-表示过原点和区域内的点的直线的斜率的范围。ZW 1,3xx + 2 y + 3引申：求的取值范围。x + 1x +1 + 2( y +1) y +1(提示：Z= 2 +1，则 Z 3，5)x +1x + 14) 求平面区域的面积；1 解：s=2(3 1=1引申1 :已知函数f (x)的定义域为2,+8)，且/(4) = /(一2) = 1，f(x)为(x)的导函数，函数y =广(x)的图象如图2所示.x 0则平面区域 所围成的面积是()丿(
5、2x + y) 0x + 3 y3 x + y面积相等的两部分，则k的值是(73引申2: (09安徽)若不等式组 1时，求函数f(x,y)=y-ax的最值；解:当-1vaWl 时，过点(1, 3)时 f =3-a，过点(1, 1)时 f =l-a maxmin当 a1 时， 过点(1， 3)时 f =3-a， 过点(2， 2)时 f =2-2amaxmin(7) .若在区域内有无数个点(x,y)可使Z=x+my取得最大值，则m=解:据题意，目标函数所表示的直线应与区域的边界重合，故m=1.(8) 若点(a，b)在以上平面区域内，则点(2a-b,a+3b)到原点的最小距离是。解：点（a, b）
6、e D ,.a 1 a + b ax = 2a - bn vy = a + 3b3x + ya =7b =7I3x+7y7v y - 4x 0从而转化为常规解法。2x + 3 y 28例 2：线形规划思想的运用 在一个居民小区内设计一个边长为5米的菱形喷水池，规划者要求：菱形的 一条对角线长不大于6米，另一条对角线长不小于6米。试问该菱形喷水池的两 条对角线的长度之和的最大值为多少米？解:设两对角线的长度分别为a,b，则a,b应满足约束条件：0 a 625例3：（2007年湖南卷理14题）设集合 A = ；C,y）y 2|x- 2|I,B = tx,yy -|x| + b|An B 鼻0 ,则
7、(1) b的取值范围是.(2)若(x, y) g AqB，且x + 2y的最大值为9,则b的值是.9答案：(1) 1 + s)(2)-解析：(1)作出图象可知b的取值范围是1, + 8).(2)若(x,y)gAcB,令t= x + 2y,则在(0, b)处取得最大值，9所以0+2b=9，所以b=.2跟踪练习：.设f(x) = ax2 +bx 且T -f(T)-2, 2 f(1) x 2(2) .已知实数x, y满足 0，则y-3x的最小值为；x 0(3) .实系数方程 x2+(a+1)x+a+b+1=0 的两根分别为一个椭圆和一个双曲线的离b心率，则一的取值范围是；a姊妹题：已知Q,卩是三次函
8、数f(x)=1 x3 + ax2 + 2bx的两个极值点，且b-2ova 1,1 P 2,a g r,b g r,贝y 的取值范围是.a 1(4) 已知点A (2, 1)和B (3, 2 )在直线1: 2x 3y + c = 0的两侧，则实数c的取值范围是，。(5) . (2009湖北)在“家电下乡”活动中，某厂要将100台洗衣机运往邻近的乡镇,现有4 辆甲型货车和 8辆乙型货车可供使用。每辆甲型货车运输费用400元，可装洗 衣机 20 台；每辆乙型货车运输费用300 元，可装洗衣机10 台。若每辆车至多只运一 次，则该厂所花的最少运输费用为()A.2000 元B.2200 元C.2400 元
9、D.2800 元(6) .已知集合 M = (x, y)11 x I + I y 1 1 , N = (x, y)1(y + x)(y x) 0,(7). (08山东卷12)设二元一次不等式组 0,所表示的平面区域为2 x + y -14 0(D)S-10,9M,使函数y=ax(a0, a# 1)的图象过区域M的a的取值范围是()(A) 1,3(B)2-；10 (C)2,9(8).(08陕西卷10)已知实数x,y满足1 y W 2x-1,如口果目标函数z = x y的最小值为-1，则实数m等于()A.7B.5C.4D.3x 0(9). (08安徽15)若A为不等式组 0 表示的平面区域，则当a
10、从一2连续y - x 0,(10) . (08 浙江卷 17)若a 0,b 0，且当 0,时，恒有ax + by 1，则x + y 0且3一x 0,mx+ y 0 o(x, y)| x2 + y2 25 ,x, y) |kx y 2其中x, y e R, 若A 匸 B则m的范围为。(12)已知集合 A=b, y)x2 + y2 = 1/b =则实数k的取值范围。(13)已知A(x ,y ),B(1,1),C(5,2),如果一个线性规划问题的可行域是AABC边 00界及其内部，线性目标函数z二ax + by ,在B处取得最小值3,在C处取得最大值12, 则下列关系一定成立的是()A、ax + b
11、y 3c、ax+ by 12 D、ax + by 30 0 0 0 0 0 0 0(14)设 OM 二 1 2 , ON = (0,1),则满足条件0 OP - OM 1, 0 OP - ON 0(15)设 p: S,(x、y?R),q:x2+y2r2(x、y?R,rO),若非 q 是非 p 的3x0x + 3 y 0a el 2,2表示的平面区域面积是f(a),则f(a)的图象可能是(L y A湖南)(17)(已知D是y Bx 2 y 等式组 x+ 0DJ y3 0，所确定的平面区域则圆x2 + y2二4在区域D内的弧长为(3兀DT(18)(09年山东)设x, y满足约束条件b0)的是最大值为12,25AA 68B-33 x y 6 0, y 023则一+的最小值为(ab11C亍D. 4，若目标函数 z=ax+by(a0，).19 )(I)求 f (x) 的单调区间和极值；.(08年四川文)设函数f (x)二x3 x2 x + 2。(II)若当 x e 1,2, 3 a - f (
