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1、新空间向量与立体几何专题一、选择题1设、是两条不同的直线，、是两个不同的平面，给出下列四个命题：若，则；若，则；若，则；若，则.其中真命题的序号为（ ）A和B和C和D和【答案】A【解析】【分析】逐一分析命题的正误，可得出合适的选项.【详解】对于命题，若，过直线作平面，使得，则，命题正确；对于命题，对于命题，若，则，命题正确；对于命题，若，则与相交、平行或异面，命题错误；对于命题，若，则或，命题错误.故选：A.【点睛】本题考查有关线面、面面位置关系的判断，考查推理能力，属于中等题.2鲁班锁（也称孔明锁、难人木、六子联方）起源于古代中国建筑的榫卯结构.这种三维的拼插器具内部的凹凸部分（即榫卯结构）
2、啮合，十分巧妙.鲁班锁类玩具比较多，形状和内部的构造各不相同，一般都是易拆难装.如图1，这是一种常见的鲁班锁玩具，图2是该鲁班锁玩具的直观图，每条棱的长均为2，则该鲁班锁的表面积为（ ）ABCD【答案】A【解析】【分析】该鲁班锁玩具可以看成是一个正方体截去了8个正三棱锥所余下来的几何体，然后按照表面积公式计算即可.【详解】由题图可知，该鲁班锁玩具可以看成是一个棱长为的正方体截去了8个正三棱锥所余下来的几何体，且被截去的正三棱锥的底面边长为2，侧棱长为，则该几何体的表面积为.故选：A.【点睛】本题考查数学文化与简单几何体的表面积，考查空间想象能力和运算求解能力.3已知正方体中，分别为，的中点，则
3、异面直线与所成角的大小为（ ）ABCD【答案】D【解析】【分析】根据题意画出图形，可将异面直线转化共面的相交直线，再进行求解【详解】如图：作的中点，连接，由题设可知，则异面直线与所成角为或其补角，设正方体的边长为4，由几何关系可得， ，得，即故选D【点睛】本题考查异面直线的求法，属于基础题4已知平面=l，m是内不同于l的直线，那么下列命题中错误的是（ ）A若m，则mlB若ml，则mC若m，则mlD若ml，则m【答案】D【解析】【分析】A由线面平行的性质定理判断.B根据两个平面相交，一个面中平行于它们交线的直线必平行于另一个平面判断.C根据线面垂直的定义判断.D根据线面垂直的判定定理判断.【详解
4、】A选项是正确命题，由线面平行的性质定理知，可以证出线线平行；B选项是正确命题，因为两个平面相交，一个面中平行于它们交线的直线必平行于另一个平面；C选项是正确命题，因为一个线垂直于一个面，则必垂直于这个面中的直线；D选项是错误命题，因为一条直线垂直于一个平面中的一条直线，不能推出它垂直于这个平面；故选：D.【点睛】本题主要考查线线关系和面面关系，还考查了推理论证的能力，属于中档题.5设为平面，为两条不同的直线，则下列叙述正确的是( )A若，则B若，则C若，则D若，则【答案】B【解析】【分析】利用空间线线、线面、面面间的关系对每一个选项逐一分析判断得解【详解】若，则与相交、平行或异面，故错误；若
5、，则由直线与平面垂直的判定定理知，故正确；若，则或，故错误；若，则，或，或与相交，故错误故选：【点睛】本题考查命题的真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养6已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为（ ）ABCD【答案】C【解析】【分析】该几何体是一个三棱锥，且同一个顶点处的三条棱两两垂直并且相等，把这个三棱锥放到正方体中，即可求出其外接球的表面积.【详解】由三视图可知，该几何体是一个三棱锥，且同一个顶点处的三条棱两两垂直并且相等，如图所示 该几何体是棱长为1的正方体中的三棱锥.所以该三棱锥的外接球即为此正方体的外接球，球的直径为正方体体对角线的长.即.
6、所以外接球的表面积为.故选：.【点睛】本题考查几何体的三视图，考查学生的空间想象能力，属于基础题.7已知正方体的棱的中点为，与交于点，平面过点且与直线垂直，若，则平面截该正方体所得截面图形的面积为( )ABCD【答案】A【解析】【分析】根据正方体的垂直关系可得平面，进而，可考虑平面是否为所求的平面，只需证明即可确定平面.【详解】如图所示，正方体中，为棱的中点，则，；又平面，且，平面，且，即截该正方体所得截面图形的面积为.故选:.【点睛】本题考查线面垂直的判定，考查三角形面积的计算，熟悉正方体中线面垂直关系是解题的关键，属于中档题.8以下说法正确的有几个（ ）四边形确定一个平面；如果一条直线在平
7、面外，那么这条直线与该平面没有公共点；过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行；A0个B1个C2个D3个【答案】B【解析】【分析】对四个说法逐一分析，由此得出正确的个数.【详解】错误，如空间四边形确定一个三棱锥. 错误，直线可能和平面相交. 正确，根据公理二可判断正确. 错误，在空间中，垂直于同一条直线的两条直线可能相交，也可能异面，也可能平行.综上所述，正确的说法有个，故选B.【点睛】本小题主要考查空间有关命题真假性的判断，属于基础题.9如图，在长方体中，,而对角线上存在一点，使得取得最小值，则此最小值为（ ）ABCD【答案】A【解析】【分
8、析】把面绕旋转至面使其与对角面在同一平面上，连接并求出，就是最小值【详解】把面绕旋转至面使其与对角面在同一平面上，连接就是的最小值，所以故选【点睛】本题考查棱柱的结构特征，考查计算能力，空间想象能力，解决此类问题常通过转化，转化为在同一平面内两点之间的距离问题，是中档题10如图，正方形网格纸中的实线图形是一个多面体的三视图，则该多面体各表面所在平面互相垂直的有（ ）A2对B3对C4对D5对【答案】C【解析】【分析】画出该几何体的直观图，易证平面平面，平面平面，平面平面，平面平面，从而可选出答案【详解】该几何体是一个四棱锥，直观图如下图所示，易知平面平面，作POAD于O，则有PO平面ABCD，P
9、OCD，又ADCD，所以，CD平面PAD，所以平面平面，同理可证：平面平面，由三视图可知：POAOOD，所以，APPD，又APCD，所以，AP平面PCD，所以，平面平面，所以该多面体各表面所在平面互相垂直的有4对【点睛】本题考查了空间几何体的三视图，考查了四棱锥的结构特征，考查了面面垂直的证明，属于中档题11如图，在棱长为2的正方体中，点是的中点，动点在底面内（不包括边界），若平面，则的最小值是（ ）ABCD【答案】B【解析】【分析】在上取中点，在上取中点，连接，根据面面平行的判定定理可知平面平面，从而可得的轨迹是（不含两点）；由垂直关系可知当时，取得最小值；利用面积桥和勾股定理可求得最小值.
10、【详解】如图，在上取中点，在上取中点，连接，且，平面平面，则动点的轨迹是（不含两点）又平面，则当时，取得最小值此时， 本题正确选项：【点睛】本题考查立体几何中动点轨迹及最值的求解问题，关键是能够通过面面平行关系得到动点的轨迹，从而找到最值取得的点.12已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列可以推出的是（ ）ABCD【答案】D【解析】【分析】A，有可能出现，平行这种情况.B，会出现平面，相交但不垂直的情况.C，根据面面平行的性质定理判断.D，根据面面垂直的判定定理判断.【详解】对于A，若，则，故A错误；对于B，会出现平面，相交但不垂直的情况，故B错误；对于C，因为，则，又因为，故C错误；
11、对于D，又由，故D正确.故选：D【点睛】本题考查空间中的平行、垂直关系的判定，还考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.13设，是两个不同的平面，是直线且“”是“”的（ ）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【答案】B【解析】试题分析：，得不到，因为可能相交，只要和的交线平行即可得到；，和没有公共点，即能得到；“”是“”的必要不充分条件故选B考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断.【方法点晴】考查线面平行的定义，线面平行的判定定理，面面平行的定义，面面平行的判定定理，以及充分条件、必要条件，及必要不充分条件的概念，属于基础题；并得不到，根据面面平
12、行的判定定理，只有内的两相交直线都平行于，而，并且，显然能得到，这样即可找出正确选项.14如下图，在正方体中，点分别为棱，的中点，点为上底面的中心，过三点的平面把正方体分为两部分，其中含的部分为，不含的部分为，连接和的任一点，设与平面所成角为，则的最大值为（ ）ABCD【答案】B【解析】【分析】连接EF，可证平行四边形EFGH为截面，由题意可找到与平面所成的角，进而得到sin的最大值.【详解】连接EF，因为EF/面ABCD,所以过EFO的平面与平面ABCD的交线一定是过点O且与EF平行的直线，过点O作GH/BC交CD于点G,交AB于H点，则GH/EF,连接EH，FG,则平行四边形EFGH为截面
13、，则五棱柱为，三棱柱EBH-FCG为，设M点为的任一点，过M点作底面的垂线，垂足为N，连接,则即为与平面所成的角，所以=，因为sin=,要使的正弦最大，必须MN最大，最小，当点M与点H重合时符合题意，故sin的最大值为=,故选B【点睛】本题考查空间中的平行关系与平面公理的应用，考查线面角的求法，属于中档题.15若圆锥的高等于底面直径，则它的底面积与侧面积之比为A12B1C1D2【答案】C【解析】【分析】由已知，求出圆锥的母线长，进而求出圆锥的底面面积和侧面积，可得答案【详解】设圆锥底面半径为r，则高h2r，其母线长lrS侧rlr2，S底r故选C【点睛】本题考查的知识点是旋转体，圆锥的表面积公式，属于基础题16已知正三棱柱的所有棱长都相等，是的中点，则与平面所成角的正弦值为（ ）ABCD【答案】D【解析】【分析】先找出直线AD与平面所成角，然后在中，求出，即可得到本题答案.【详解】如图，取中点，作于，连接，则即为与平面所成角.不妨设棱长为4，则，.故选：D【点睛】本题主要考查直线与平面所成角的求法，找出线面所成角是解决此类题目的关键.17圆锥（其中为顶点，为底面圆心）的侧面积与底面积的比是，则圆锥与它外接球（即顶点在球面上且底面圆周也在球面上）的体积比为（ ）ABCD【答案】A【解析】【分析】根据已知条
