《幂等矩阵的性质及应用(定稿)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《幂等矩阵的性质及应用(定稿)（36页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、JIU JIANG UNIVERSITY毕 业 论 文 （设 计）题 目幂等矩阵的性质及应用英文题目Properties and Application of Idempotent Matrix 院 系 理学院 专 业 数学与应用数学 姓 名 邱望华 年 级 A0411 指导教师 王侃民 二零零八年 五月3摘 要幂等矩阵在数学领域以及其他许多领域应用都非常广泛，因此对幂等矩阵进行探讨具有很重要的意义。本文主要是对幂等矩阵的一些性质和结论进行归纳总结并对相关性质进行推广。首先对幂等矩阵简单性质进行了归纳总结，接着谈到了实幂等矩阵的等价条件并推广到复矩阵以及高次幂等矩阵，然后研究了幂等变换、幂等矩
2、阵线性组合的幂等性、幂等矩阵线性组合的可逆性、幂等矩阵秩有关的性质。关键词 幂等矩阵，性质，幂等性，线性组合Abstract The idempotent matrix is widely applied in mathematics as well as other many places, so there is very vital significance to carry on the discussion to the idempotent matrix . This paper mainly carries on the induction summary some simple
3、 nature and the important conclusion of idempotent matrix and carries on the promotion to the related nature. Firstly, this article has carried on the induction summary to its simple nature, then talkes about the equivalence condition of the solid idempotent matrix and extends to the equivalence con
4、dition of the plural idempotent matrix and the higher mode idempotent matrix . Then the article studies the idempotent transformation、the idempotency of linear combinations of two idempotent matrices、 the invertibility of linear combinations of two idempotent matrices. Key Words the idempotent, the
5、nature, the idempotence,linear combination 符号表 实数域 实数域n维列向量空间 实数域上的nn阶矩阵 复数域 复数域n维列向量空间 复数域上的nn阶矩阵 矩阵A的转置 矩阵A的伴随 矩阵A的逆 矩阵A的行列式 矩阵A的秩 矩阵A的核空间，即 矩阵A的值域，即 线性空间V的维数 线性变换的逆变换 的值域,即= 的核,即目 录第一章 预备知识11.1 幂等矩阵的概念及刻划11.2 幂等矩阵的一些简单性质3第二章 相关的重要结论72.1 幂等矩阵的等价条件72.2 幂等变换142.3 幂等矩阵线性组合的幂等性172.4 幂等矩阵线性组合的可逆性232.5
6、幂等矩阵的秩方面的有关性质26结 束 语29参考文献30 第一章 预备知识1.1 幂等矩阵的概念及刻划定义1.对n阶方阵,若,则称为幂等矩阵.为了对一般幂等矩阵作出刻划,下面先对二阶幂等矩阵讨论,再推广到一般幂等矩阵.命题1.若是幂等矩阵,则与相似的任意矩阵是幂等矩阵.证明：若相似于(记作),则有同阶可逆矩阵,使=,从而=. 命题2.若是对角分块矩阵，设=，则是幂等矩阵均是幂等矩阵.由于每个n级复数域矩阵都与一个若尔当矩阵相似，据命题1和命题2知，我们只需要讨论若尔当块的幂等性.若是一个2阶复数域矩阵,则的若尔当标准型有两种可能的形式: 第一种: ,但它不是幂等矩阵.否则有= ,有.矛盾. 第
7、二种: ,由 ,有,从而有或1,或1.于是该情况有四种可能的形式:, , , 据命题1,于是得到: 定理1. 是二阶幂等矩阵,则是零矩阵或单位矩阵或形如. 证明: 由以上讨论知相似于(1)式中的四个矩阵之一 若 ,显然有 = 若 ,显然有 = 若 ,则有可逆矩阵= ，使=则有 .即 . 对剩余的一种与此有同样的结果. 设 ，由 ，有这是不可能的.于是有:命题3.当时,阶若尔当块不具有幂等性.即.因此,若是幂等矩阵，则的若尔当标准型如下：据命题1即有 .于是 或1.于是我们得到如下定理:定理2. 是阶幂等矩阵，当且仅当存在阶可逆矩阵，使得.其中是主对角线上元素为0或1的对角矩阵. 1.2 幂等矩
8、阵的一些简单性质性质1.方阵零矩阵和单位矩阵是幂等矩阵.性质2.方阵是幂等矩阵，且可逆，则.因为,则. 据此易知:可逆幂等矩阵的逆矩阵是幂等矩阵.即(如果存在的话)是幂等矩阵.因为.性质3.若是实幂等矩阵，则都是幂等矩阵.证明: 对,.对,有.对,先证明对任意两个幂等矩阵,有关系式 .由公式有: = =于是，. 性质4.若是复数域上的幂等矩阵,则也是幂等矩阵.证明:. . 性质5.若是幂等矩阵,则的特征值只能是1或0.即知幂等矩阵是半正定矩阵.证明:由 知 (). 由此易知:幂等矩阵是半正定矩阵. 性质6.若是幂等矩阵,设是的最小多项式,则=从而可对角化,且其若尔当标准型为 .其中是阶单位矩阵
9、, 是的秩. 证明:由于矩阵的最小多项式是该矩阵特征多项式的因式,据性质5知 =.又最小多项式是互素的一次因式的乘积,故可对角化. 性质7.若是幂等矩阵，则，其中.证明：由 有，立即知的阶列向量都是的解故有又对,有 由的任意性知 . 于是有 . 同样地,有结论 .性质8.若是幂等矩阵,对任意实数,则是可逆矩阵.证明:由有.又由 有故可逆,且. 性质9.任一秩为的幂等矩阵可分解成,其中是秩为的矩阵,且 .(其中是阶单位矩阵)证明:由性质6知,存在阶可逆矩阵使.则.记.显然满足要求. 性质10.任一幂等矩阵可写成两个实对称矩阵之积.证明:因为.故结论成立 性质11.若均为阶幂等矩阵,且,则与均为幂
10、等矩阵.证明:据题意有：. . 第二章 相关的重要结论本章按节来逐次讨论和探索幂等矩阵的多个等价条件、幂等变换、线性组合的幂等性、线性组合的可逆性、秩方面的有关性质等有关问题.2.1 幂等矩阵的等价条件经过参考多篇文献，并进行归纳和推理可以得出以下定理.定理1:设是的实矩阵,则下列命题是互相等价的: 1)是幂等矩阵. 2)是幂等矩阵. 3)是幂等矩阵. 4)对任意的可逆矩阵,是幂等矩阵. 5)是对合矩阵.(满足的矩阵称为对合矩阵) 6). 7). 8). 9).10). 11).12)以上给出了实幂等矩阵的几个等价条件,经过研究和分析知:对复幂等矩阵也有平行的结论. 定理2:设是的复矩阵,则下
11、列命题是互相等价的: 1)是幂等矩阵. 2)是幂等矩阵. 3)是幂等矩阵. 4)对任意的可逆矩阵,是幂等矩阵. 5)是对合矩阵.(满足的矩阵称为对合矩阵) 6). 7). 8). 9).10). 11).12)证明:1)2) 由知 .反过来,.1)3)必要性: 在1.2节性质3中已经给出了证明.充分性: .1)4)由 知.反过来, .1)5)由,有=.反过来,.1)6)必要性: 在1.2节性质7中已经给出了详细证明.充分性: 对有，故于是有.由的任意性得.1)7)必要性: 由知,有.又,有.于是故有.充分性: 对,有于是有.由的任意性得 .1)8)必要性: 由知 .于是有 即有 亦即 .充分性: 由 易知: (*)又对,有则有.由知即有 .据(*)式知.再由6)得.8)9)必要性: 由.即知:.又对,有,而.故 .又.故有.于是, .充分性: 由 有.即有 .9)10) 必要性: 由上面的证明知由9)有6)和7),再把6)和7)代入到9),立即得到10). 充分性：同理可证. 9)11) 这是显然的.10)12) 这是显然的. 定理3.设是秩为的矩阵.则是幂等矩阵存在阶可逆矩阵,使. 证明:必要性: 在1.2节性质6中已给出了证明.充分性: 由,有. 则. 以上是对二次幂等矩阵进行了一定的讨论.下面来对高次幂等矩阵进行有关的讨论.定理4.设是三
