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1、半径为R的光滑球固定在水平桌面上，有一质量为M的圆环状均匀弹性绳圈，原长为兀R，且弹性绳圈的劲度系 数为k，将弹性绳圈从球的正上方轻放到球上，使弹性绳圈水平停留在平衡位置上，如图35所示，若平衡时弹性 绳圈长为UkR，求弹性绳圈的劲度系数k .解析：由于整个弹性绳圈的大小不能忽略不计，弹性绳圈不能看成质点，所以应将弹性绳圈分割成许多小段，其中每 一小段Am两端受的拉力就是弹性绳圈内部的弹力F .在弹性绳圈上任取一小段质量为Am作为研究对象，进行受力分析.但是Am受的力不在同一平面内，可以从一个合适的角度观察.选取一个合适的平面 进行受力分析，这样可以看清楚各个力之间的关系.从正面和上面观察，分
2、别画出正视图 的俯视图，如图3 5甲和2 3 5乙.先看俯视图3 5 一甲，设在弹性绳圈的平面上，Am所对的圆心角A aAA0,是A0，则母一,小段的质量Am M，Am在该平面上受2kk - A0A0拉力F的作用，合力为T = 2F cos(一-一) = 2F sin乙厂.八八A0八因为当。很小时，sin 00所以T = 2 F = FA0 .2再看正视图35 乙，Am受重力Amg，支持力N，e .，v-2kR2。二力的合力与T平衡.即T = Amg - tan0 ,现在弹性绳圈的半径为r = R ,2k2图3-5 一甲r所以 sin0 =因此T = Amg =o45-0A0橇=服，解得弹，性
3、绳圈的张力为:F = Mg2兀.设弹性绳圈的伸长量为x，则x =巨职一兀R = (V2 - 1)kR ,所以绳圈的劲度系数为:_Mg2（巨-1）兀 2 R（克 +1） Mg2k 2 R例6： 一质量为M、半径为r的均匀分布的圆环，几何轴与水平面垂直，若它能经受的最大张力为T，求此圆环可以 绕几何轴旋转的最大角速度.解析：因为向心力F = mm2，当一定时，r越大，向心力越大，所以要想求最大张力T所对应的角速度，r应 取最大值.如图3 6所示，在圆环上取一小段AL，对应的圆心角/ A0 ,、其质量可表示为Am = M，受圆环对它的2兀为A0，张力为A0T，则同上例分析可得2Tsin；- = Am
4、ro2 .因为A0很小，所以2A0A0A0 sin二;一，即2T ,二= Mr 2，解得最大角速度3 =2222k例10：粗细均匀质量分布也均匀的半径为分别为R和r的两圆环相切.若在切点放一质 点m，恰使两边圆环对m的万有引力的合力为零，则大小圆环的线密度必须满足什么. A0条件？解析：若要直接求整个圆对质点m的万有引力比较难，当若要用到圆的对称性及要求所受合力为零的条件，考虑大、 小圆环上关于切点对称的微元与质量m的相互作用，然后推及整个圆环即可求解.如图3-10所示，过切点作直线交大小圆分别于R Q两点，并设与水平线夹角为a,当a有微小增量时，则大小圆环上对应微小线元AL = R - 2A
5、a , AL = r - 2Acc . 12其对应的质量分别为Am = p M = p R- 2Aoc, Am = p AZ = p r 2Aa .由于Aa很小，11112222故秫、Am与m的距离可以认为分别是r =2Rcosa , r = 2rcosa .112Gp R - 2Aam所以Am .2与山的万有引力分别为. GmAm Gp 7? -2Aocm GmArnAF = -4, AF =.i尸 2(2Rcosa)2 2 r2 (2fcosoc)212由于a具有任意性，若AF与AF的合力为零, 12Gp R 2Aotm Gp r 2Aocm 则两圆环对m的引力的合力也为零，即1 = 3(
6、2Rcosa)2 (2rcosoc)2RER解得大小圆环的线密度之比为： 匕=一.(类比：电场强度i =一)prE r22例2:如图3-2所示，一个半径为R的四分之一光滑球面放在水平桌面上，球面上放置一光滑均匀铁链，其 A端固定在球面的顶点，8端恰与桌面不接触，铁链单位长度的质量为p .试求铁链A端受的拉力T.解析：以铁链为研究对象，由由于整条铁链的长度不能忽略不计，所以整条铁链不能看成质点,要分析铁链的受力情况，须考虑将铁链分割，使每一小段铁链可以看成质点，分析每一小段 铁边的受力，根据物体的平衡条件得出整条铁链的受力情况.在铁链上任取长为AL的一小段(微元)为研究对象, 其受力分析如图3 2一甲所示.由于该元处于静止状态，所以受力平衡，在切 线方向上应满足：T +AT = AGcose +T AT = AGcosO = pALgcosO图 320000由于每段铁链沿切线向上的拉力比沿切线向下的拉力大AT ,所以整个铁链对A端的拉力是各段上的和, e 寸 寸e即 TpALg cos0 = pg乙ALcosO ,0观察AL cos 9的意义，见图32一乙，由于M很小，所以 快,L OC , ZOCE = QALcosQ表示 里在竖直方顿上的投影 所以 ALcosO = R，可得铁链A端受的拉力T =ALcosO = pgR.
