《排列组合加乘、排列、组合、捆绑、插空、隔板》由会员分享，可在线阅读，更多相关《排列组合加乘、排列、组合、捆绑、插空、隔板（6页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、计数专题学习目标1.正确理解“标数法计算路径数目；2.正确理解“加法原理、“乘法原理的意义和运用场景；2.正确理解“排列、“组合的意义、区别和计算公式；3.正确掌握“优选法“捆绑法、“插空法、“隔板法这些排列组合解题技巧，理解各种排列组合解题技巧的原理，所解决的问题类型及其解题方法；一.标数法例题：在左以下图中，从A点沿实线走最短路径到B点，共有多少条不同路线？分析与解：题目要求从左下向右上走，所以走到任一点，例如右上图中的D点，不是经过左边的E点，就是经过下边的F点。如果到E点有a种走法此处a6，到F点有b种走法此处b4，根据加法原理，到D点就有ab种走法此处为64=10。我们可以从左下角A
2、点开场，按加法原理，依次向上、向右填上到各点的走法数见右上图，最后得到共有35条不同路线。二. 加乘原理加法原理：分情况、分类计数；乘法原理：分步骤完成，各步骤单独计数，再连乘；加乘混合：加法、乘法混合使用；1一个步骤有多种情况时，在计算本步骤时用加法，再总体用乘法计算出所有情况；2总体分几种情况，分别计算各种情况时分步骤用乘法，再将各种情况汇总用加法加法原理与乘法原理的区别：乘法原理和加法原理是两个重要而常用的计数法则，在应用时一定要注意它们的区别。乘法原理是把一件事分几步完成，这几步缺一不可，所以完成任务的不同方法数等于各步方法数的乘积；加法原理是把完成一件事的方法分成几类，每一类中的任何
3、一种方法都能完成任务一步完成任务，所以完成任务的不同方法数等于各类方法数之和。ABC例题：由A村去B村有2条路可走，由B村去C村有4条路可走，问从A村经B村去C村，共有多少种不同的走法？三.排列组合排列：有顺序要求交换顺序，就产生新的计数乘法原理；A52=54从个不同的元素中取出()个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列1两个排列一样，指的是两个排列的元素完全一样，并且元素的排列顺序也一样2如果两个排列中，元素不完全一样，它们是不同的排列；3如果两个排列中，虽然元素完全一样，但元素的排列顺序不同，它们也是不同的排列计算：乘法原理：从个不同元素中取出个元素的排列数
4、是，即，这里，且等号右边从开场，共有个因数相乘。组合：无顺序要求交换顺序，不产生新的计数除法原理；C52=5421从个不同元素中取出个()元素组成一组不计较组各元素的次序，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合1从排列和组合的定义可以知道，排列与元素的顺序有关，而组合与顺序无关2如果两个组合中，元素不完全一样，它们是不同的组合；3如果两个组合中的元素完全一样，则不管元素的顺序如何，都是一样的组合计算：除法原理：从个不同元素中取出个元素()的所有组合的个数，叫做从个不同元素中取出个不同元素的组合数记作。一般地，求从个不同元素中取出的个元素的排列数可分成以下两步：第一步：从个不同元素中取出个元素组
5、成一组，共有种方法；第二步：将每一个组合中的个元素进展全排列，共有种排法根据乘法原理，得到因此，组合数运用除法，将元素完全一样，元素顺序不同的多种排列合并成一种组合【例 1】 小新、阿呆等七个同学照像，分别求出在以下条件下有多少种站法？1七个人排成一排；2七个人排成一排，小新必须站在中间.3七个人排成一排，小新、阿呆必须有一人站在中间.4七个人排成一排，小新、阿呆必须都站在两边.5七个人排成一排，小新、阿呆都没有站在边上.6七个人战成两排，前排三人，后排四人.7七个人战成两排，前排三人，后排四人. 小新、阿呆不在同一排。1种。2只需排其余6个人站剩下的6个位置种.3先确定中间的位置站谁，冉排剩
6、下的6个位置2=1440(种)4先排两边，再排剩下的5个位置，其中两边的小新和阿呆还可以互换位置 (种)5先排两边，从除小新、阿呆之外的5个人中选2人，再排剩下的5个人，种.6七个人排成一排时，7个位置就是各不一样的现在排成两排，不管前后排各有几个人，7个位置还是各不一样的，所以此题实质就是7个元素的全排列种.7可以分为两类情况：“小新在前，阿呆在后和“小新在前，阿呆在后，两种情况是对等的，所以只要求出其中一种的排法数，再乘以2即可432=2880(种)排队问题，一般先考虑特殊情况再去全排列。【巩固】 现有男同学3人，女同学4人(女同学中有一人叫王红)，从中选出男女同学各2人，分别参加数学、英
7、语、音乐、美术四个兴趣小组：(1)共有多少种选法(2)其中参加美术小组的是女同学的选法有多少种(3)参加数学小组的不是女同学王红的选法有多少种(4)参加数学小组的不是女同学王红，且参加美术小组的是女同学的选法有多少种1从3个男同学中选出2人，有=3种选法。从4个女同学中选出2人，有=6种选法。在四个人确定的情况下，参加四个不同的小组有4321=24种选法。3624=432，共有432种选法。2在四个人确定的情况下，参加美术小组的是女同学时有2321=12种选法。3612=216，所以其中参加美术小组的是女同学的选法有216种。3考虑参加数学小组的是王红时的选法，此时的问题相当于从3个男同学中选
8、出2人，从3个女同学中选出1人，3个人参加3个小组时的选法。33321=54，所以参加数学小组的是王红时的选法有54种，432-54=378，所以参加数学小组的不是女同学王红的选法有378种。4考虑参加数学小组的是王红且参加美术小组的是女同学时的选法，此时的问题相当于从3个男同学中选出2人参加两个不同的小组，从3个女同学中选出1人参加美术小组时的选法。323=18，所以参加数学小组的是王红且参加美术小组的是女同学时的选法有18种，216-18=198，所以参加数学小组的不是女同学王红，且参加美术小组的是女同学的选法有198种。四.优选法优选法：对于问题中的特殊元素、特殊位置要优先安排确定。在操
9、作时，针对实际问题，有时“元素优先，有时“位置优先。注意：看特殊，分步、分类，限制完，自由排，注意“0。难点：不管是位置优先还是元素优先，都要看清是分类还是分步来解决问题；注意“0，题目中往往对于“0有暗含的限制条件。例题.由数字1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位数，其中小于50000的偶数共有多少个？解析一：利用位置优先方法。偶数则要求个位为偶数，小于50000则首位要小于5。:第一步，首先看个位，从2个偶数中选择有C12种选法；第二步，看首位，从个数上已选数字和5之外的数字选，则有 C13种选法；第三步，对于剩下的三个位置没有限制，则可以随意选择剩下的三个数字排上去，则有A33 种选
10、法。根据乘法计数原则，共有：C12C13 A33=36。解析二：利用元素优先方法。第一步，从数字2、4中选一个放在个位上，有C12种选法；第二步，从个数上已选数字和5之外的数字选一个放在首位上，则有 C13种选法；第三步，对于剩下的三个数字没有限制，则可以随意安排到剩下的三个数位上去，则有A33 种选法。根据乘法计数原则，共有：C12C13 A44=36。五.捆绑法捆绑法：用于解决相邻问题，即在解决对于*几个元素要求相邻的问题时，先将其捆绑后整体考虑，也就是将相邻元素视作一个大元素进展排序，然后再考虑大元素部各元素间排列顺序的解题策略。注意：运用捆绑法解决排列组合问题时，一定要注意捆绑起来的大
11、元素部的顺序问题。解题过程是先捆绑，再排列。例题：假设有A、B、C、D、E五个人排队，要求A和B两个人必须站在相邻位置，则有多少排队方法？【解析】：题目要求A和B两个人必须排在一起，首先将A和B两个人捆绑，视其为一个人，也即对A，B、C、D、E四个人进展排列，有种排法。又因为捆绑在一起的A、B两人也要排序，有种排法。根据分步乘法原理，总的排法有种。六.“插空法插空法：用于解决不邻问题，即在解决对于*几个元素要求不相邻的问题时，先将其它元素排好，再将指定的不相邻的元素插入已排好元素的间隙或两端位置，从而将问题解决的策略。注意：运用插空法解决排列组合问题时，一定要注意插空位置包括先排好元素中间空位
12、和两端空位。解题过程是先排列，再插空。例题：假设有A、B、C、D、E五个人排队，要求A和B两个人必须不站在一起，则有多少排队方法？【解析】：题目要求A和B两个人必须隔开。首先将C、D、E三个人排列，有种排法；假设排成D C E，则D、C、E中间和两端共有四个空位置，也即是： D C E ，此时可将A、B两人插到四个空位置中的任意两个位置，有种插法。由乘法原理，共有排队方法：。七.“隔板法插板法隔板法：有n个一样的元素，要求分到m组中，并且要求每组中至少有一个元素问有多少种分法？根本思路：将n个一样的元素排成一行，n个元素之间出现了n-1个空档，现在我们用m-1个“档板插入n-1个空档中，就把n
13、个元素隔成有序的m份，每个组依次按组序号分到对应位置的几个元素可能是1个、2个、3个、4个、.，这样不同的插入方法就对应着n个一样的元素分到m组的一种分法，这种借助于这样的虚拟“档板分配元素的方法称之为插板法。【基此题型】【例1】共有10完全一样的球分到7个班里，要求每个班至少要分到一个球，问有几种不同分法？解析一：我们首先用常规方法。假设想将10个球分到7个班里，球的分法共三类：第一类：有3个班每个班分到2个球，其余4个班每班分到1个球。这样，第一步，我们从7个班中选出3个班，每个班分2个球；第二步，从剩下的4个班中选4个班，每班分1球。其分法种数为：C7，3*C4，4=35注明：由于排版的
14、关系，我用Cn，m和An，m代替原来的组合与排列公式。第二类：有1个班分到3个球，1个班分到2个球，其余5个班每班分到1个球。其分法种数：C7，1* C6，1* C5，5=42第三类：有1个班分到4个球，其余的6个班每班分到1个球。其分法种数：C7，1* C6，6=7所以，10个球分给7个班，每班至少一个球的分法种数为： 35+42+7=87种。解析二：从上面的解题过程可以看出，用常规方法解这类题，需要分类计算，计算过程繁琐。并且如果元素个数较多的话处理起来就变得十分的困难了。因此我们需要寻求一种新的方法解决问题，也就是插板法。我们可以将10个一样的球排成一行，10个球之间出现了9个空隙，现在
15、我们用6个档板插入这9个空隙中，就“把10个球隔成有序的7份，每个班级依次按班级序号分到对应位置的几个球可能是1个、2个、3个、4个，这样，借助于虚拟“档板就可以把10个球分到了7个班中。由上述分析可知，原问题就可以转化成：在9个空档之中插入6个“档板6个档板可把球分为7组的问题，这是一个很简单的组合问题，其方法种数为：C9，6=84【总结】：对于这种要求每组元素至少要分到一个的情况，则只需在n个元素的n-1个间隙中放置m-1块隔板把它隔成m份即可,共有Cn-1，m-1种不同方法。【注意】：这种插板法解决一样元素分到不同组的问题非常简单，但同时也提醒各位考友，这类问题模型适用前提相当严格，必须同时满足以下3个条件：1所有要分的元素须完全一样；2所要分的元素必须分完，决不允许有剩余；
