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1、推理与证明一、核心知识1合情推理（1）归纳推理的定义：从个别事实 中推表演一般性的结论,像这样的推理一般称为归纳推理。 归纳推理是由部分到整体 ，由个别到一般的推理。 （)类比推理的定义： 根据两个（或两类)对象之间在某些方面的相似或相似,推表演它们在其她方面也相似或相似，这样的推理称为类比推理。类比推理是由特殊到特殊的推理。 2.演绎推理(1)定义:演绎推理是根据已有的事实和对的的结论(涉及定义、公理、定理等）按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程。演绎推理是由一般到特殊的推理。()演绎推理的重要形式：三段论 “三段论”可以表达为：大前题：M 是 P小前提:S 是M 结论：S 是 P。其中是
2、大前提，它提供了一种一般性的原理;是小前提,它指出了一种 特殊对象;是结论,它是根据一般性原理，对特殊状况做出的判断。3直接证明直接证明是从命题的条件或结论出发,根据已知的定义、公理、定理,直接 推证结论的真实性。直接证明涉及综合法和分析法。 (1）综合法就是 “由因导果” ， 从已知条件出发， 不断用必要条件替代前面的条件，直至推出要证的结论。()分析法就是从所要证明的结论出发,不断地用充足条件替代前面的条件或者一定成立的式子,可称为“由果索因” 。要注意论述的形式:要证A,只要证 B，B 应是A 成立的充足条件 分析法和综合法常结合使用,不要将它们割裂开。4反证法(1)定义：是指从否认的结
3、论出发,通过逻辑推理，导出矛盾,证明结论的否 定是错误的，从而肯定原结论是对的的证明措施。 （2）一般环节:（1)假设命题结论不成立，即假设结论的背面成立；从假设出发,通过推理论证，得出矛盾；从矛盾鉴定假设不对的 ,即所求证命题对的。（3)反证法的思维措施：正难则反. 5数学归纳法（只能证明与正整数有关的数学命题)的环节 (1)证明：当 n 取第一种值 n0(0N*）时命题成立; （2)假设当 n=k(kN*,且kn）时命题成立,证明当k+1时命题也成立由(）,(2）可知,命题对于从 n0 开始的所有正整数 n 都对的。二、典型例题例1. 已知，猜想的体现式为(B ）A.; .; C.; D.
4、例2已知，计算得,，由此推测：当时，有 例3.已知：;通过观测上述两等式的规律，请你写出一般性的命题:_=（ * ）并给出（ * ）式的证明.解：一般形式: 证明:左边 = =(将一般形式写成等均对的。)例4.若均为实数，且。求证:中至少有一种不小于0。答案：（用反证法)假设都不不小于，即，则有，而 =均不小于或等于0,这与假设矛盾，故中至少有一种不小于。例求证：1+3+5+（2n+1）=n2（nN*)三、课后练习1.数列1,3,6,1，15，的递推公式也许是( B )A. .C. D 解析 记数列为an，由已知观测规律:2比a1多2,a3比a2多3,4比a3多,可知当n时，an比an1多n，
5、可得递推关系(n2，n*).2用数学归纳法证明等式+3+(n+)=(n*）时,验证n=,左边应取的项是(D ).1 B.12 C.12+3 D.1+2+3+4 解析 当时，左+2+(13)2+4，故应选D.3.已知(n）+,则(D)Af(n)中共有项,当n时,f(2)+Bf(n）中共有n1项,当n2时，f（2）=+C.（n）中共有n2-n项，当n=2时,f()+Df(n)中共有n2-n+1项,当=时，f（2)=+解析 项数为n2(n)=nn1，故应选D4.已知a+c=0,则ab+b+c的值( D ）不小于0 B.不不小于 C不不不小于0 .不不小于0 解析 解法1:a+b=0,a+c2+ab+
6、2acbc=0,ababc=-0.5已知c1，a=-，b=-，则对的的结论是（B ）A.ab B.a0，0，因此+0，因此b6.若=,则AB是( C )等边三角形 有一种内角是3的直角三角形C.等腰直角三角形 D有一种内角是3的等腰三角形解析 =,由正弦定理得，=，=，si=cosB,sinC=cosC,B=45，ABC是等腰直角三角形7观测式子：,，则可归纳出式子为( ）、 B、C、 D、解析:用n=2代入选项判断。.设，nN,则 解：,由归纳推理可知其周期是4.函数由下表定义：若,则 4 .1.在数列1,，2,3,3，3,4,4,4,中，第项为_7_.1同样规格的黑、白两色正方形瓷砖铺设的
7、若干图案，则按此规律第n个图案中需用黑色瓷砖_块(用含n的代数式表达）2. ABC的三个内角A、B、C成等差数列，求证：。答案：证明：要证，即需证。即证。又需证，需证B三个内角A、C成等差数列。=60。由余弦定理,有,即。成立，命题得证。13用分析法证明：若a0，则。答案：证明：要证,只需证。a0，两边均不小于零，因此只需证只需证,只需证，只需证，即证,它显然成立。原不等式成立。14中,已知，且，求证：为等边三角形。解： 分析:由 由 所觉得等边三角形已知：、b、cR，且+b+c=1 求证:a2+bc2证明由ab22ab,及b22，c+a22.三式相加得2+b+c2abc3（2b22)(2b2+2)+2(abbc+ca)(a+bc)2.由a+b+，得3（a+b2c2)1，即a+b2c.
