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1、反比例函数单元复习与巩固一、知识网络二、目标认知学习目标1使学生理解并掌握反比例函数的概念，能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式 ，能判断一个给定函数是否为反比例函数；2能描点画出反比例函数的图象，会用待定系数法求反比例函数的解析式，进一步理解函数的三种表 示方法列表法、解析式法和图象法及各自特点；3能根据图象数形结合地分析并掌握反比例函数的函数关系和性质，能利用这些函数性 质分析和解决一些简单的实际问题；4探索现实生活中数量间的反比例关系，在解决实际问题的过程中，进一步体会和认识反比例函数这 种刻画现实世界中特定数量关系的数学模型；5使学生在学习反比例函数之后，进一步理解常量与变量的
2、辨证关系和反映在函数概念中的运动变化 观点，进一步认识数形结合的思想方法重点反比例函数的概念、图象和性质难点对反比例函数及其图象和性质的理解和掌握三、知识要点梳理知识点一、反比例函数的概念一般地，如果两个变量x、y之间的关系可以表示成（k为常数，）的形式，那么称y是x的反比例函数要点诠释：（1）反比例函数y=中的是一个分式,自变量x0,也可写成或，其中k0；（2）在反比例函数（k0）中，x的指数是1。如，也可以写成：；（3）在反比例函数（k0）中要注意分母x的指数为1，如就不是反比例函数。知识点二、反比例函数解析式的确定反比例函数解析式的确定方法是待定系数法.由于在反比例函数关系式中，只有一个
3、待定系数k，确定了k的值，也就确定了反比例函数，因此只需给出一组x、y的对应值或图象上点的坐标，代入中即可求出k的值，从而确定反比例函数的解析式知识点三、反比例函数的图象和性质（一）反比例函数的图象反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限它们关于原点对称，反比例函数的图象与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远不与坐标轴相交要点诠释：观察反比例函数的图象可得：x和y的值都不能为0，并且图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴，对称中心是坐标原点的图象是轴对称图形，对称轴为两条直线；的图象是中心对称图形，对称中心为原
4、点（0，0）； (k0)在同一坐标系中的图象关于x轴对称，也关于y轴对称.注：正比例函数与反比例函数，当时，两图象没有交点；当时，两图象必有两个交点，且这两个交点关于原点成中心对称. （二）反比例函数的性质1图象位置与反比例函数性质 当时，x、y同号，图象在第一、三象限，且在每个象限内，y随x的增大而减小；当时， x、y异号，图象在第二、四象限，且在每个象限内，y随x的增大而增大。2若点(a,b)在反比例函数的图象上，则点（-a,-b）也在此图象上，故反比例函数的图 象关于原点对称。3正比例函数与反比例函数的性质比较正比例函数反比例函数解析式图 像直线有两个分支组成的曲线（双曲线）位 置k0，
5、一、三象限；k0，二、四象限k0，一、三象限k0，二、四象限增减性k0，y随x的增大而增大k0，y随x的增大而减小k0，在每个象限，y随x的增大而减小k0，在每个象限，y随x的增大而增大4反比例函数y=中k的意义过双曲线(k0) 上任意一点作x轴、y轴的垂线，所得矩形的面积为.过双曲线(k0) 上任意一点作一坐标轴的垂线，连接该点和原点，所得三角形的面积为.知识点四：应用反比例函数解决实际问题须注意以下几点1反比例函数在现实世界中普遍存在，在应用反比例函数知识解决实际问题时，要注意将实际问题转 化为数学问题。2针对一系列相关数据探究函数自变量与因变量近似满足的函数关系。3列出函数关系式后，要注
6、意自变量的取值范围。如，某三角形的面积是2时，底边长y与该底边上的 高x之间的关系式是。四、规律方法指导1反比例函数的概念需注意的问题(1) ，k是常数，且k不为零；(2) 中分母x的指数为1，如，就不是反比例函数；(3) 自变量x的取值范围是的一切实数；(4) 函数值y的取值范围是的一切实数2画反比例函数的图象时要注意的问题(1)画反比例函数图象的方法是描点法；(2)画反比例函数图象要注意自变量的取值范围是，因此不能把两个分支连接起来；(3)由于在反比例函数中，x和y的值都不能为0，所以画出的双曲线的两个分支要分别体现出无限的接近 坐标轴，但永远不能达到x轴和y轴的变化趋势3用待定系数法求反
7、比例函数关系式的一般步骤(1)设所求的反比例函数为：（）；(2)根据已知条件，列出含k的方程；(3)解出待定系数k的值.(4)把k值代入函数关系式中4注意数形结合思想方法的应用（1）学会从图象上分析反比例函数的性质；（2）从交点的横坐标寻求类似方程的解；（3）从图象上会直接写出类似或不等式的解集。经典例题透析类型一：确定反比例函数的解析式1. 已知函数y（k2）是反比例函数，则k的值为_. 思路点拨:根据反比例函数概念，=且，可确定k的值.解析：k=2总结升华：此题确定函数是否为反比例函数要满足以下两点：一个是自变量的次数是-1，另一个是自变量的系数不等于0.举一反三：【变式1】已知yy1y2
8、， y1与x成正比例，y2与x成反比例，且x2与x3时，y的值都等于10求y与x间的函数关系式 【答案】由题意得，将（2,10）与（3,10）代入解出，【变式2】反比例函数图象经过点（2，3），则n的值是（ ）.A. B. C. 0 D. 1【答案】反比例函数过点（2，3）故选D类型二：反比例函数的图象及性质参数与反比例函数图象2、反比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） 思路点拨：一次函数是经过定点（1，0）,排除掉B、D答案；选项A中m的符号自相矛盾，选项C符合要求.总结升华：还可以按照m0，m0分别画出函数图象，看哪一个选项符合要求。 举一反三：【变式1】已知,且则函
9、数与在同一坐标系中的图象不可能是( ) .A BCD【答案】B ；因为从B的图像上分析，对于直线来说是a0，b0，则a+b0，对于反比例函数来说，a+b0，所以相互之间是矛盾的，不可能存在这样的图形。【变式2】如图是三个反比例函数、在x轴上方的图象，由此观察得到k1，k2，k3的大小关系（ ）.Ak1k2k3 Bk3k2k1 Ck2k3k1 Dk3k1k2【答案】B【变式3】如图：等腰直角三角形ABC位于第一象限，AB=AC=2，直角顶点A在直y=x上，其中A点的横坐标为1，且两条直角边AB、AC分别平行于x轴、y轴，若双曲线(k0)与有交点，则k的取值范围是（ ） A B C D【答案】：C
10、；双曲线经过点A和BC的中点，此时k=1或k=4，当时，双曲线与有交点。参数与反比例函数的增减性3. （2011黑龙江黑河）若A(x1，y1)，B(x2，y2），C(x3，y3)是反比例函数y=图象上的点，且x1x20x3，则y1、y2、y3的大小关系正确的是 ( ) Ay3y1y2 By1y2y3 Cy2y1y3 Dy3y2y1思路点拨:图象在一、三象限，y30，A、B两点在第三象限，y随x的增大而减小，所以0y1y2 【答案】：A总结升华：反比例函数，当时，在每个象限内，y随x的增大而减小；当时，在每个象限内，y随x的增大而增大. 举一反三：【变式1】知（），（），（）是反比例函数的图象上
11、的三个点，并且，则的大小关系是_.【答案】【变式2】如下图是反比例函数的图象的一支，根据图象回答下列问题：（1）图象的另一支在哪个象限？常数n的取值范围是什么？（2）在图象上任取两点A（a,b）和B（a,b），如果a a,那么b和b的大小关系？ 【答案】（1）因为反比例函数的图象的分布只有两种可能，分布在第一、三象限，或者第二、四象限，这个函 数的图象一支在第二象限，则另一支必在第四象限。因此这个函数的图象分布在第二、四象限， 所以n+70，n7。（2）因为 n+70 ，所以双曲线的两支分布在二、四象限， 当A,B两点在同一象限时,由于在每一个象限内y随x的增大而增大,所以当aa时,有bb；
12、当A,B两点不在同一象限时，由aa,可得只能A在第二象限,B在第四象限,此时有b0b. 综上，当A,B两点在同一象限时，有bb；当A,B两点不在同一象限时，有b b.【变式3】（2011江苏淮安）如图，反比例函数的图象经过点A(-1,-2).则当x1时，函数值y的取值范围是（ ）Ay1 B0y1 C. y2 D0 y2 【答案】D；在第一象限，y随x的增大而减小，且y0，所以当x1时，0 y2 反比例函数与图形面积4如图,过反比例函数的图象上任意两点A、B，分别作x轴的垂线，垂足为，连接的交点为，记与梯形的面积分别为，试比较的大小.思路点拨:分别设A、B两点坐标为（），（）分别表示与梯形的面积即可.解析：，且，.总结升华：反比例函数中的几何意义是: 等于双曲线线上任意一点作轴、轴的垂线所得的矩形的面积，如图：（1）,（2）.举一反三：【变式1】（2011山东东营）如图,直线和双曲线交于A、B两点,P是线段AB上的点（不与A、B重合）,过点A、B、P分别向x轴作垂线,垂足分别是C、D、E,连接OA、OB、OP,设AOC面积是、BOD面积是、POE面积是、则（ ）A. C. = D. = 【答案】D；设PE与双曲线交于点F，由k的几何意义，则，但是,所以=.【变式2】如图，点A在双曲线上，点B在双曲线上，且ABx轴，C、D在x轴上，若四边形ABCD的面积为矩形，则它的面积为_.
