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1、Riemann 猜测漫谈 (十) 佚名更高、更快、更强三亿个零点摆平了Zagier ,但显然远不是对Riemann函数非平凡零点进行计算的终点。不过在介绍进一步的进展之前 ,我们先要对零点计算做一点补充说明。当我们说到零点计算的时候 ,一般人会很自然地认为所谓零点计算 ,顾名思义就是计算零点的数值。不知读者在阅读上一节时有没有想过这样一个问题：那就是三亿个零点 ,即使每个只保存十位有效数字 ,写下来也有三十亿个数字(如果加上小数点、等号及零点编号等 ,那么数字差不多还要翻上一番)。这许多数字以每页三千个数字而论 ,起码也要一百万页纸才能记录下来！当然 ,大规模的零点计算既然是用计算机进行的 ,
2、计算结果不是非得记录在纸上不可的。但三十亿个数字所需占据的存储空间差不多是3GB ,这在今天虽然算不了什么 ,在1982年却是非同小可的数量 ,用任何方式来记录都并不容易。以计算机硬盘为例 ,当时容量为几个MB的就算是很大的硬盘了 ,价格十分昂贵。而要想记录三亿个零点 ,起码需要上千个那样的硬盘！那得花多少钱？假设果真如此 ,Zagier岂不还大大低估了他那两瓶葡萄酒的价值？其实 ,狡猾的teRiele根本就没有计算那三亿个零点的具体数值。事实上 ,除了最初那些小范围的计算外 ,我们前面介绍的大规模零点计算根本上都并不给出零点的具体数值 ,而只是验证它们是否在临界线上。因此 ,当人们说“计算了
3、前N个零点时 ,实际上指的往往只是验证了前N个零点是否位于临界线上注一。但是不计算零点的数值 ,又如何能判断零点是否在临界线上呢？答案其实很简单。我们在第十一节中曾经介绍过 ,要研究Riemann函数在临界线上的零点 ,只需研究Z(t)的符号改变即可。假设在区间0T内Z(t)的符号改变了N次 ,那么Riemann函数在临界线上该区间内至少有N个零点。另一方面 ,我们虽不确定是否所有零点都在临界线上 ,却知道它们全部位于临界带0Re()1内(参阅第七节) ,而人们早就知道如何计算临界带内位于区间0Im()T内的零点总数(最早的方法是由Riemann本人给出的 ,即对d(s)/2i(s)沿矩形区域
4、0Re()Im()T的边界做围道积分参阅第五节)。显然 ,只要我们能够证明：1.在临界带内位于区间0Im()T的零点总数为N。2.在临界线上位于区间0T的零点至少有N个。就可以推知Riemann函数的前N个零点全部位于临界线上。由于这两者的证明都不必涉及零点的具体数值。因此我们可以不计算零点数值就直接证明Riemann函数的前N个零点(或更一般地 ,复平面上某个区域内所有的非平凡零点)都位于临界线上 ,这正是大多数零点计算所采用的方法。对Riemann函数零点的计算越推进(即N越大) ,我们在复平面上沿虚轴方向就延伸得越高(即T越大)。随着计算机的运算速度越来越快、运算本钱越来越低 ,teRi
5、ele的三亿个零点的记录很快就失守了。四年后 ,由他本人及J.vandeLune领衔将计算推进到了十五亿个零点。此后vandeLune及其他一些人继续进行着零点计算。不过这时已很少有人像当年的Turing那样觉得有可能通过零点计算直接找到Riemann猜测的反例 ,也再没有像Zagier那样敢于下注的“勇士了。人们在计算零点上的兴趣和投入遂大为下降。这其中一个显著的变化就是逐渐用廉价的小型或微型计算机取代以往的大型计算机 ,且往往使用机器的闲散时间而非正规工作时间来进行零点计算。但尽管如此 ,计算机技术的神速开展还是抵消了所有这些因素带来的不利影响。零点计算仍在推进着 ,只是推进的速度变得缓慢
6、起来。这种趋势一直延续到了二十世纪末(2019年)。但是到了二十一世纪伊始的2019年8月 ,情况有了新的变化。德国BblingenIBM实验室的研究者SebastianWedeniwski启动了一个被称为ZetaGrid的方案 ,建立了迄今为止最强有力的Riemann函数非平凡零点计算系统 ,重新将零点计算推向了快车道。ZetaGrid系统将零点计算通过计算机网络分散到了大量的计算机上 ,从而极大地拓展了资源利用面。这种将计算工作通过网络分散到大量计算机上的计算被称为分布式计算(distributedcomputing)。ZetaGrid刚启动的时候 ,参加系统的计算机只有10台 ,半年后就
7、增加到了500台 ,这些都是IBM实验室的内部计算机。一年后 ,Wedeniwski将ZetaGrid推向了互联网 ,任何人只要安装一个小小的软件包就可以使自己的机器参加ZetaGrid ,此举很快吸引了大量的参与者。很快地 ,在ZetaGrid上的联网计算机总数就稳定在了一万以上。虽然ZetaGrid上的多数计算是利用那些联网计算机的闲散CPU时间进行的 ,但涓涓小溪可以汇成浩瀚江海 ,由如此大量的计算机所形成的总体运算能力依然十分可观。到了2019年8月 ,即ZetaGrid诞生三周年的日子 ,这一系统所计算的零点总数已超过了八千五百亿个(其中有六百万个是由本文作者的计算机奉献的) ,而且
8、还在以大约每天十亿个以上的速度增加着注二。十六.零点的统计关联除了不计算具体数值这一特点外 ,前面所介绍的那些大规模零点计算还有一个特点 ,那就是都只针对前N个零点。换句话说 ,所有那些计算都是以第一个零点为起始的。它们所验证都只是复平面上0Im()T这一区间内的零点。除了这类计算外 ,在零点计算中还有一类计算也十分重要 ,那就是针对一个虚部很大的区间T1Im()T2的计算(即从某个很大的序号开始的零点计算)。这类计算中最著名的人物是出生于波兰的数学家AndrewOdlyzko(1949-) ,他在二十世纪八十年代末和九十年代初对序号在1020-30,769,710和1020+144,818,
9、015之间的总计175,587,726个零点进行了计算。2019年和2019年 ,他更是把计算的起始点推进到了第1022和1023个零点附近 ,所计算的零点数目也分别增加到了一百亿和两百亿个。Odlyzko的这些计算不仅所涉及的区域远远超出了包括ZetaGrid在内的所有其它零点计算的验证范围 ,而且还包含了对零点数值的计算。这些计算对于研究Riemann猜测的意义不仅在于它们提供了有关这一猜测的新的数值证据 ,更重要的是它们为一类新的研究 ,即研究Riemann函数的非平凡零点在临界线上的统计关联提供了数据。这也正是Odlyzko进行这类计算的目的。Odlyzko为什么会想到要为研究零点的统
10、计关联提供数据呢？这还得从二十世纪七十年代初说起。当时英国Cambridge大学(剑桥大学)有位来自美国的研究生叫做HughMontgomery ,他所研究的课题是零点在临界线上的统计关联。Montgomery这个名字不知大家有没有觉得面熟？对了 ,本系列每一篇文章所引的共同题记正是出自此人！我们以前谈论零点分布的时候 ,所关心的往往只是零点是否分布在临界线上。Montgomery的研究比这更进一步。他想知道的是 ,假设Riemann猜测成立 ,即所有非平凡零点都分布在临界线上 ,那它们在临界线上的具体分布会是什么样的？在Montgomery进行研究的时候虽然已经有Rosser对前三百五十万个
11、零点的计算结果(参阅第十三节) ,但如我们在上文中所说 ,那些计算并不涉及零点的具体数值 ,从而无法为他提供统计研究的依据。因此Montgomery只能另辟蹊径 ,从纯理论的角度来研究零点在临界线上的统计关联。Montgomery对零点分布的这一理论研究从某种意义上讲恰好与Riemann对素数分布的研究互逆。Riemann的研究是着眼于通过零点分布来表示素数分布(参阅第五节) ,而Montgomery的研究那么是逆用Riemann的结果 ,着眼于通过素数分布来反推零点分布。不幸的是 ,素数分布本身在很大程度上就是一个谜(否那么Riemann也就不会试图通过零点分布来研究素数分布了)。除了素数定
12、理外 ,有关素数分布的很多命题都只是猜测。而素数定理 ,如我们在第七节中看到的 ,与零点分布的相关性非常弱 ,缺乏以反推出Montgomery感兴趣的信息。于是Montgomery把目光投注到了比素数定理更强的一个命题 ,那便是Hardy与Littlewood于1923年提出的关于孪生素数(twinprime)分布规律的猜测 ,即迄今尚未被证明的著名的强孪生素数猜测注三。Montgomery以Riemann猜测的成立为前提 ,以Riemann的公式及Hardy与Littlewood所猜测的孪生素数分布规律为依据 ,研究提出了一个有关Riemann函数的非平凡零点在临界线上的分布规律的重要命题：
13、上式中t和t分别表示一对零点的虚部 ,和是两个常数()。很明显 ,上式表示的是零点的对关联(paircorrelation)规律。这一规律被称为Montgomery对关联假设(Montgomerypaircorrelationconjecture) ,其中的密度函数(t)=1-sin(t)/t2那么被称为零点的对关联函数(paircorrelationfunction)。【零点的对关联函数】从上述分布规律中可以看到limt0(t)=0 ,这说明两个零点互相靠近的几率很小。换句话说Riemann函数的非平凡零点有一种互相排斥的趋势。这一点很有些出乎Montgomery的意料。Montgomery
14、曾经以为零点的分布是高度随机的 ,如果那样的话 ,对关联函数应该接近于(t)1。这一分布也不同于Montgomery当时见过的任何其它统计分布比方Poisson分布或正态分布中的对关联函数 ,它与素数本身的分布也大相径庭。这一分布究竟有何深意呢？对Montgomery来说还是一个谜。大家也许还记得 ,在第五节中我们曾经介绍过Riemann提出的三个命题 ,其中第一个命题(也是迄今唯一被证明的一个)说明在区间0Im()T内Riemann函数的非平凡零点的数目大约为(T/2)ln(T/2)-(T/2)。由此不难推知(请读者自行证明)Riemann函数相邻零点的间距(即虚部之差)平均而言大约为t2/
15、ln(t/2)。这一间距随t而变 ,这使得Montgomery对关联假设的形式呈现出一点表观上的复杂性。有鉴于此 ,Montgomery之后的数学家(比方Odlyzko)对零点的虚部做了一点处理 ,引进了间距归一化的零点虚部：n=(t/2)ln(t/2)利用这一定义 ,相邻零点的平均间距被归一化为了n1 ,而Montgomery对关联假设那么可以简化为(请读者自行证明)：Montgomery对关联假设提出之后 ,一个很自然的问题就是：零点分布果真符合这一假设吗？这正是Odlyzko登场的地方。由于Montgomery对关联假设涉及的是对关联在T情形下的渐进分布 ,因此要想对这一假设进行高精度的
16、统计检验 ,最有效的方法是研究虚部很大的零点的分布 ,这也正是Odlyzko将零点计算推进到1020及更高的区域 ,并且计算其数值的原因。那么这两人的研究结果的匹配程度如何呢？我们在右上方的图中给出了Montgomery零点对关联假设中的关联函数(曲线)及由Odlyzko利用1020附近七千万个零点对之进行统计检验的结果(数据点)。两者的吻合几乎到达了完美的境界。1972年春天 ,刚刚完成上述零点统计关联研究的Montgomery带着他的研究成果飞往美国圣路易斯(St.Louis)参加一个解析数论会议。在正式行程之外 ,他顺道在Princeton高等研究院(InstituteforAdvancedStudy)做了短暂的停留。没想到这一停留却在数学与物理之间造就了一次奇异的交汇 ,我们Riemann猜测之旅也因此多了一道神奇瑰丽的景
