《高等代数的主要内容》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高等代数的主要内容（3页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、高等代数的主要内容：初等代数从最简单的一元一次方程开始，一方面进而讨论二元及三元的一次方程组，另一方面研究二次以上及可 以转化为二次的方程组。沿着这两个方向继续发展，代数在讨论任意多个未知数的一次方程组，也叫线型方程组 的同时还研究次数更高的一元方程组。发展到这个阶段，就叫做高等代数。高等代数是代数学发展到高级阶段的总称，它包括许多分支。现在大学里开设的高等代数，一般包括两部分：线 性代数初步、多项式代数。高等代数在初等代数的基础上研究对象进一步的扩充，引进了许多新的概念以及与通常很不相同的量，比如最基 本的有集合、向量和向量空间等。这些量具有和数相类似的运算的特点，不过研究的方法和运算的方法
2、都更加繁 复。集合是具有某种属性的事物的全体；向量是除了具有数值还同时具有方向的量；向量空间也叫线性空间，是由许 多向量组成的并且符合某些特定运算的规则的集合。向量空间中的运算对象已经不只是数，而是向量了，其运算 性质也由很大的不同了。高等代数发展简史代数学的历史告诉我们，在研究高次方程的求解问题上，许多数学家走过了一段颇不平坦的路途，付出了艰辛的 劳动。人们很早就已经知道了一元一次和一元二次方程的求解方法。关于三次方程，我国在公元七世纪，也已经得到了 一般的近似解法，这在唐朝数学家王孝通所编的缉古算经就有叙述。到了十三世纪，宋代数学家秦九韶再他 所著的数书九章这部书的“正负开方术”里，充分研
3、究了数字高次方程的求正根法，也就是说，秦九韶那时 候以得到了高次方程的一般解法。在西方，直到十六世纪初的文艺复兴时期，才由有意大利的数学家发现一元三次方程解的公式一一卡当公式。在数学史上，相传这个公式是意大利数学家塔塔里亚首先得到的,后来被米兰地区的数学家卡尔达诺(15011576) 骗到了这个三次方程的解的公式，并发表在自己的著作里。所以现在人们还是叫这个公式为卡尔达诺公式(或称卡 当公式)，其实，它应该叫塔塔里亚公式。三次方程被解出来后，一般的四次方程很快就被意大利的费拉里(15221560)解出。这就很自然的促使数学家们 继续努力寻求五次及五次以上的高次方程的解法。遗憾的是这个问题虽然耗
4、费了许多数学家的时间和精力，但一 直持续了长达三个多世纪，都没有解决。到了十九世纪初，挪威的一位青年数学家阿贝尔(18021829)证明了五次或五次以上的方程不可能有代数解。既 这些方程的根不能用方程的系数通过加、减、乘、除、乘方、开方这些代数运算表示出来。阿贝尔的这个证明不 但比较难，而且也没有回答每一个具体的方程是否可以用代数方法求解的问题。后来，五次或五次以上的方程不可能有代数解的问题，由法国的一位青年数学家伽罗华彻底解决了。伽罗华20 岁的时候，因为积极参加法国资产阶级革命运动，曾两次被捕入狱，1832年4月，他出狱不久，便在一次私人决 斗中死去，年仅21岁。伽罗华在临死前预料自己难以
5、摆脱死亡的命运，所以曾连夜给朋友写信，仓促地把自己生平的数学研究心得扼要 写出，并附以论文手稿。他在给朋友舍瓦利叶的信中说：“我在分析方面做出了一些新发现。有些是关于方程论 的；有些是关于整函数的。公开请求雅可比或高斯，不是对这些定理的正确性而是对这些定理的重要性发表 意见。我希望将来有人发现消除所有这些混乱对它们是有益的。”伽罗华死后,按照他的遗愿，舍瓦利叶把他的信发表在百科评论中。他的论文手稿过了 14年，才由刘维尔(1809 1882)编辑出版了他的部分文章，并向数学界推荐。随着时间的推移，伽罗华的研究成果的重要意义愈来愈为人们所认识。伽罗华虽然十分年轻，但是他在数学史上 做出的贡献，不
6、仅是解决了几个世纪以来一直没有解决的高次方程的代数解的问题，更重要的是他在解决这个问 题中提出了 “群”的概念，并由此发展了一整套关于群和域的理论，开辟了代数学的一个崭新的天地，直接影响 了代数学研究方法的变革。从此，代数学不再以方程理论为中心内容，而转向对代数结构性质的研究，促进了代 数学的进一步的发展。在数学大师们的经典著作中，伽罗华的论文是最薄的，但他的数学思想却是光辉夺目的。高等代数的基本内容代数学从高等代数总的问题出发，又发展成为包括许多独立分支的一个大的数学科目，比如：多项式代数、线性 代数等。代数学研究的对象，也已不仅是数，还有矩阵、向量、向量空间的变换等，对于这些对象，都可以进
7、行 运算。虽然也叫做加法或乘法，但是关于数的基本运算定律，有时不再保持有效。因此代数学的内容可以概括为 研究带有运算的一些集合，在数学中把这样的一些集合叫做代数系统。比如群、环、域等。多项式是一类最常见、最简单的函数，它的应用非常广泛。多项式理论是以代数方程的根的计算和分布作为中心 问题的，也叫做方程论。研究多项式理论，主要在于探讨代数方程的性质，从而寻找简易的解方程的方法。多项式代数所研究的内容，包括整除性理论、最大公因式、重因式等。这些大体上和中学代数里的内容相同。多 项式的整除性质对于解代数方程是很有用的。解代数方程无非就是求对应多项式的零点，零点不存在的时候，所 对应的代数方程就没有解
8、。我们知道一次方程叫做线性方程，讨论线性方程的代数就叫做线性代数。在线性代数中最重要的内容就是行列式 和矩阵。行列式的概念最早是由十七世纪日本数学家关孝和提出来的，他在1683年写了一部叫做解伏题之法的著作， 标题的意思是“解行列式问题的方法”，书里对行列式的概念和它的展开已经有了清楚的叙述。欧洲第一个提出 行列式概念的是德国的数学家莱布尼茨。德国数学家雅可比于1841年总结并提出了行列式的系统理论。行列式有一定的计算规则，利用行列式可以把一个线性方程组的解表示成公式，因此行列式是解线性方程组的工 具。行列式可以把一个线性方程组的解表示成公式，也就是说行列式代表着一个数。因为行列式要求行数等于
9、列数，排成的表总是正方形的，通过对它的研究又发现了矩阵的理论。矩阵也是由数排 成行和列的数表，可以行数和烈数相等也可以不等。矩阵和行列式是两个完全不同的概念，行列式代表着一个数，而矩阵仅仅是一些数的有顺序的摆法。利用矩阵这 个工具，可以把线性方程组中的系数组成向量空间中的向量；这样对于一个多元线性方程组的解的情况，以及不 同解之间的关系等等一系列理论上的问题，就都可以得到彻底的解决。矩阵的应用是多方面的，不仅在数学领域 里，而且在力学、物理、科技等方面都十分广泛的应用。代数学研究的对象，不仅是数，也可能是矩阵、向量、向量空间的变换等，对于这些对象，都可以进行运算，虽 然也叫做加法或乘法，但是关
10、于数的基本运算定律，有时不再保持有效。因此代数学的内容可以概括称为带有运 算的一些集合，在数学中把这样的一些集合，叫做代数系统。比较重要的代数系统有群论、环论、域论。群论是 研究数学和物理现象的对称性规律的有力工具。现在群的概念已成为现代数学中最重要的，具有概括性的一个数 学的概念，广泛应用于其他部门。高等代数与其他学科的关系代数学、几何学、分析数学是数学的三大基础学科，数学的各个分支的发生和发展，基本上都是围绕着这三大学 科进行的。那么代数学与另两门学科的区别在哪儿呢？首先，代数运算是有限次的，而且缺乏连续性的概念，也就是说，代数学主要是关于离散性的。尽管在现实中连 续性和不连续性是辩证的统一的，但是为了认识现实，有时候需要把它分成几个部分，然后分别地研究认识，在 综合起来，就得到对现实的总的认识。这是我们认识事物的简单但是科学的重要手段，也是代数学的基本思想和 方法。代数学注意到离散关系，并不能说明这时它的缺点，时间已经多次、多方位的证明了代数学的这一特点是 有效的。其次，代数学除了对物理、化学等科学有直接的实践意义外，就数学本身来说，代数学也占有重要的地位。代数 学中发生的许多新的思想和概念，大大地丰富了数学的许多分支，成为众多学科的共同基础。
