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1、4.最小二乘法线性拟合我们知道，用作图法求出直线的斜率a和截据b,可以确定这条直线所对应的经验 公式，但用作图法拟合直线时，由于作图连线有较大的随意性，尤其在测量数据比较分 散时，对同一组测量数据，不同的人去处理，所得结果有差异，因此是一种粗略的数据 处理方法，求出的a和b误差较大。用最小二乘法拟合直线处理数据时，任何人去处理同 一组数据，只要处理过程没有错误，得到的斜率a和截据b是唯一的。最小二乘法就是将一组符合Y=a+bX关系的测量数据，用计算的方法求出最佳的a 和b。显然，关键是如何求出最佳的a和b。(1) 求回归直线 设直线方程的表达式为：y = a + bx(2-6-1)要根据测量数
2、据求出最佳的a和b。对满足线性关系的一组等精度测量数据(x，y)，i i 假定自变量X的误差可以忽略，则在同一 x下，测量点y和直线上的点a+bx的偏差diiiii如下：d 二 y - a - bx111d = y - a - bx222d = y - a - bxn n n显然最好测量点都在直线上(即d=d=d =0)，求出的a和b是最理想的，但1 2 n测量点不可能都在直线上，这样只有考虑dd 、dn为最小，也就是考虑d+d2+d为最小，但因d、d、d有正有负，力加起来可能相互抵消，因此不可取;而|d | +n12n1|d |+|d |又不好解方程，因而不可行。现在采取一种等效方法：当d
3、2+d 2+d22n12n对a和b为最小时，d、d、d也为最小。取(d 2+d 2+d2)为最小值，求a 12n12n和b的方法叫最小二乘法。D = d 2ii=1D =工 d 2i i=1工y - a - b 2ii i=1(2-6-2)D对a和b分别求一阶偏导数为:dDdbdDda=-2工 yi-na - b 工 x ii=1i=1=-2工 x yii显然：再求二阶偏导数为：竺=2n；da 2沁=2乙2db 2ii=1= 2n 0 ；da2竺D = 2X 2 0db 2ii=1满足最小值条件，令一阶偏导数为零：y y - na - b y X = 0iii=1i=1(2-6-3)引入平均值
4、：则：解得：y X y - a y X - by X 2 = 0 ii=1iii=1(2-6-4)i=11X = _乙 X ；nii=1y =-工y ；nii=1-i yX 2 =X 2 ；nii=1Xy=丄工ni=1y - a - bx = 0xyiixy-ax-bx2 = 0a = y - bx2-6-5)2-6-6)2-6-7)将a、b值带入线性方程y = a + bX，即得到回归直线方程。(2) y、a、b的标准差 在最小二乘法中，假定自变量误差可以忽略不计，是为了方便推导回归方程。操作 中函数的误差大于自变量的误差即可认为满足假定。实际上两者均是变量，都有误差， 从而导致结果y、a、
5、b的标准差(n6)如下：o=y(y -bx - a)2ii(2-6-8)（根式的分母为n-2,是因为有两个变量）Xx 2i- nX x2 -(工ii=1o、 y x )2i(2-6-9)i=1n工x 2 -(工 i=1i=1o、 y x )2i(2-6-10)（3）相关系数相关系数是衡量一组测量数据x、iy线性相关程度的参量，其定义为:1xy xyr =(x2 - x2)(y2 - y2)2-6-11)r值在0|r|W 1中。|r|越接近于1, x、y之间线性好；r为正，直线斜率为正, 称为正相关；r为负，直线斜率为负，称为负相关。|r|接近于0,则测量数据点分散或 x、y之间为非线性。不论测
6、量数据好坏都能求出a和b,所以我们必须有一种判断测量i i数据好坏的方法，用来判断什么样的测量数据不宜拟合，判断的方法是r|ro，则汀山具有 线性关系，可求回归直线；否则反之。例9：灵敏电流计的电流常数K和内阻R的测量公式为R =U - R测得的ig2 K Rdgi1数据同例7,其中间处理过程如下，试用最小二乘法求出K和R,并写出回归方程的表 ig达式。解：测量公式与线性方程表达式y = a+bx比较：Ry = R x = Ub = sa = R2K Rdgi1数据处理如表2-6-3：表 2-6-3R=0.100Q R =4350.0 Q d=40.0mmI11I1IIIi1234115678
7、平均值R (Q)400.0350.0300.0250.0200.0150.0100.050.0225.02U(V)2.822.492.151.821.511.180.840.561.67125r22(104Q2)16.0012.259.0006.2504.0002.2501.0000.2506.375U2（V2）7.956.204.623.312.281.390.710.313.34625RU(102QV)11.38.726.454.553.021.770.840.284.6156252中间过程可多取位：x =1.67125 y =225.0x2 =3.34625 y 2 = 6. 3 7 5
8、X 104xy =461.5625相关系数r 二汗五二 0.998( x2 x 2)( y2 y 2)查表得知，当n=8时， 关,可以求回归直线。求回归方程的系数r0=0.834,两者比较rr0，说明x、y(即U、Rj之间线性相 r xy xyb 二=154.61923042x 2 x 2a = y 一 bx =-33.4代换R 二a =33.4QgsK Rd二 b =154.6192304iiRK = =3.7170X10-9A/mmi bRdi计算标准差为：b =2.64561902； y计算不确定度：AR = b =2 Q；gab =2.300545589；aAKi-b=b =0.81%
9、；bbb=1.257626418A K =0.03X 10-9A/mm测量结果表达式电流计内阻：电流常数：R=(332)QgAR# =6.1%RgK=(3.720.03)X10-9A/mmAK龙=81%回归方程：R=155U-3325.计算器在数据处理中的应用在处理数据时，不同的计算器的编程方式各不相同，下面以震旦AURORA SC180型 计算器为例作以介绍。(1) 计算标准偏差S标准偏差S的计算器运行公式:i=1E 2因为1 y-nx = 乙xi=1ni所以（工 X ）2ii=1nn 1(只有为x单变量)i 操作步骤和方法(i) 按MODEO键，计算器进入单变量统计计算状态。屏右上角显示“
10、STAT1” 指示符。(ii) 清除内存数据：按INVON/C.CE键。(iii) 数据输入：依次先键入数值，然后按DATA键，每完成一次输入的同时，屏 幕均会显示数据的个数n值。(iv) 数据修正：按DATA键之前，要删除错误数据，按0N/C.CE ； 按 DATA键后 要删除错误数据，再次输入该错误值，然后按INVDEL。(v) 取分析结果：INV x ：平均值INV工X ：数据和INV工X 2：数据平方和INVS:测量列的标准偏差INVn:数据个数83.1、83.2,试求X、工X、工 X 2、S、n。例10：一组等精度测量值为：83.1、83.3、83.3、83.7、83.9、83.6、
11、83.4、83.4、解：按键显示MODE0ST10INV0N/C.CE083.1DATAn183.3DATAn283.3DATAn383.7DATAn483.9DATAn583.6DATAn683.4DATAn783.4DATAn883.1DATAn983.2DATAn10INV x 83.4INV工 x 834INV工 x 269556.22INVS0.262466929INVn10注：当n26时，认为b =S。(2) 最小二乘法求回归直线求回归直线参量a、b、r的计算器运行公式由(2-6-6)、(2-6-7)、(2-6-11)式得到以下只含x、y两个变量的公式:i i工y - bxiia
12、= -wwnx y -nx yi ii ib = 41IT（ x ）2 - n x 2 iii =1i=1n x y - x yi iiir =，nx2 -（工x）2nXy2 -（工iiiLi=li=1i=ly ）2ii=1i=1i=1i=1 操作步骤和方法：(i) 按MODE.,计算器进入双变量统计计算状态。屏幕右上角显示“STAT2” 指示符。(ii) 清除内存数据：按INVON/C.CE键(iii) 双变量数据输入：先键入x的值、按a键，然后键入y的值、按b键, 再按DATA键，完成输入。屏幕会同时显示数据的个数，即n值。(iv) 数据修正：同单变量数据输入。(v) 取分析结果INVa:回归直线的截距INVb:回归直线的斜率
