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1、题型练9大题综合练(一)1.设f(x)=2sin(-x)sin x-(sin x-cos x)2.(1)求f(x)的单调递增区间;(2)把y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再把得到的图象向左平移个单位,得到函数y=g(x)的图象,求g的值.2.某公司计划购买1台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200元.在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图:记x表示1台机器在三年
2、使用期内需更换的易损零件数,y表示1台机器在购买易损零件上所需的费用(单位:元),n表示购机的同时购买的易损零件数.(1)若n=19,求y与x的函数解析式;(2)若要求“需更换的易损零件数不大于n”的频率不小于0.5,求n的最小值;(3)假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件,或每台都购买20个易损零件,分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数,以此作为决策依据,购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件?3.如图,在三棱锥P-ABC中,平面PAC平面ABC,ABC=,点D,E在线段AC上,且AD=DE=EC=2,PD=PC=4,点F在线段AB上,且EFBC
3、.(1)证明:AB平面PFE;(2)若四棱锥P-DFBC的体积为7,求线段BC的长.4.已知an是等差数列,其前n项和为Sn,bn是等比数列,且a1=b1=2,a4+b4=27,S4-b4=10.(1)求数列an与bn的通项公式;(2)记Tn=a1b1+a2b2+anbn,nN*,证明Tn-8=an-1bn+1(nN*,n2).5.如图,在平面直角坐标系xOy中,已知直线l:x-y-2=0,抛物线C:y2=2px(p0).(1)若直线l过抛物线C的焦点,求抛物线C的方程;(2)已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q.求证:线段PQ的中点坐标为(2-p,-p);求p的取值范围.6.已知
4、曲线f(x)=在点(1,f(1)处的切线与y轴垂直,F(x)=xexf(x).(1)求k的值和F(x)的单调区间;(2)已知函数g(x)=-x2+2ax(a为正实数),若对于任意x20,1,总存在x1(0,+)使得g(x2)19时,y=3 800+500(x-19)=500x-5 700.所以y与x的函数解析式为y=(xN).(2)由柱状图知,需更换的零件数不大于18的频率为0.46,不大于19的频率为0.7,故n的最小值为19.(3)若每台机器在购机同时都购买19个易损零件,则这100台机器中有70台在购买易损零件上的费用为3 800,20台的费用为4 300,10台的费用为4 800,因此
5、这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为(3 80070+4 30020+4 80010)=4 000.若每台机器在购机同时都购买20个易损零件,则这100台机器中有90台在购买易损零件上的费用为4 000,10台的费用为4 500,因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为(4 00090+4 50010)=4 050.比较两个平均数可知,购买1台机器的同时应购买19个易损零件.3.(1)证明 由DE=EC,PD=PC知,E为等腰PDC中DC边的中点,故PEAC.又平面PAC平面ABC,平面PAC平面ABC=AC,PE平面PAC,PEAC,所以PE平面ABC,从而PEAB.
6、因ABC=,EFBC,故ABEF.从而AB与平面PFE内两条相交直线PE,EF都垂直,所以AB平面PFE.(2)解 设BC=x,则在RtABC中,AB=,从而SABC=ABBC=.由EFBC知,得AFEABC,故,即SAFE=SABC.由AD=AE,SAFD=SAFE=SABC=SABC=,从而四边形DFBC的面积为S四边形DFBC=SABC-SAFD=.由(1)知,PE平面ABC,所以PE为四棱锥P-DFBC的高.在直角PEC中,PE=2.体积VP-DFBC=S四边形DFBCPE=2=7,故得x4-36x2+243=0,解得x2=9或x2=27,由于x0,可得x=3或x=3.所以,BC=3或
7、BC=3.4.(1)解 设等差数列an的公差为d,等比数列bn的公比为q.由a1=b1=2,得a4=2+3d,b4=2q3,S4=8+6d.由条件,得方程组解得所以an=3n-1,bn=2n,nN*.(2)证明 由(1)得Tn=22+522+823+(3n-1)2n,2Tn=222+523+(3n-4)2n+(3n-1)2n+1.由-,得-Tn=22+322+323+32n-(3n-1)2n+1=-(3n-1)2n+1-2=-(3n-4)2n+1-8,即Tn-8=(3n-4)2n+1,而当n2时,an-1bn+1=(3n-4)2n+1.所以,Tn-8=an-1bn+1,nN*,n2.5.解 (
8、1)抛物线C:y2=2px(p0)的焦点为,由点在直线l:x-y-2=0上,得-0-2=0,即p=4.所以抛物线C的方程为y2=8x.(2)设P(x1,y1),Q(x2,y2),线段PQ的中点M(x0,y0).因为点P和Q关于直线l对称,所以直线l垂直平分线段PQ,于是直线PQ的斜率为-1,则可设其方程为y=-x+b.证明:由消去x得y2+2py-2pb=0.(*)因为P和Q是抛物线C上的相异两点,所以y1y2,从而=(2p)2-4(-2pb)0,化简得p+2b0.方程(*)的两根为y1,2=-p,从而y0=-p.因为M(x0,y0)在直线l上,所以x0=2-p.因此,线段PQ的中点坐标为(2-p,-p).因为M(2-p,-p)在直线y=-x+b上,所以-p=-(2-p)+b,即b=2-2p.由知p+2b0,于是p+2(2-2p)0,所以p00x,由F(x)=-ln x-2,F(x)的单调增区间为,单调减区间为.(2)对于任意x20,1,总存在x1(0,+),使得g(x2)F(x1),g(x)maxF(x)max.由(1)知,当x=时,F(x)取得最大值F=1+.对于g(x)=-x2+2ax,其对称轴为x=a.当0a1时,g(x)max=g(a)=a2,a21+,从而01时,g(x)max=g(1)=2a-1,2a-11+.从而1a1+.综上可知:0a1+.
