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1、九年级数学竞赛专题 勾股定理一、选择题1ABC周长是24，M是AB的中点MC=MA=5，则ABC的面积是（ ）A12; B16; C24; D302如图1，在正方形ABCD中，N是CD的中点，M是AD上异于D的点，且NMB=MBC，则AM：AB=（ ）A; B; C; D3如图3，P为正方形ABCD内一点，PA=PB=10，并且P点到CD边的距离也等于10，那么，正方形ABCD的面积是（ ）A200; B225; C256; D150+104如图4，矩形ABCD中，AB=20，BC=10，若在AB、AC上各取一点N、M，使得BM+MN的值最小，这个最小值为（ ）A12; B10; C16; D
2、20 二、填空题 (4)1 如图，ABC中，AB=AC=2，BC边上有10个不同的点，记（i = 1，2，10），那么， =_。2 如图，设MPN=20，A为OM上一点，OA=4，D为ON上一点，OD=8，C为AM上任一点，B是OD上任意一点，那么折线ABCD的长最小为_。授课：XXX 3如图，四边形ABCD是直角梯形，且AB=BC=2AB，PA=1，PB=2，PC=3，那么梯形ABCD的面积=_。4若x + y = 12，那么的最小值=_。5已知一个直角三角形的边长都是整数，且周长的数值等于面积的数值，那么这个三角形的三边长分别为_。三、解答题1如图ABC三边长分别是BC=17，CA=18，
3、AB=19，过ABC内的点P向ABC三边分别作垂线PD，PE，PF，且BD+CE+AF=27，求BD+BF的长度。2如图，在ABC中，AB=2，AC=， A=BCD=45，求BC的长及BDC的面积。授课：XXX3设a,b,c,d都是正数。求证：4如图，四边形ABCD中， ABC=135，BCD=120，AB=，BC=5-，CD=6，求AD。5如图，正方形ABCD内一点E，E到A、B、C三点的距离之和的最小值为，求此正方形的边长。授课：XXX答案一、选择题1C2A3B4C5C解答：1MA=MB=MC=5， ACB=90知周长是24，则AC+BC=14，AC+BC=10，2ACBC=(AC+BC)
4、-(AC+BC) = 14-10=4242如图，延长MN交BC的延长线于T，设MB的中点为O，连TO，则BAMTOBAM：MB=OB：BTMB=2AMBT （1）令DN=1，CT=MD=k，则AM=2 k 所以BM=BT= 2 + k代入（1），得4 + (2 k )= 2 (2 k ) (2 + k ) 所以 k = 所以AM：AB=：2 = 3如图，过O作EFAD于E，交BC于F；过O作GHDC于G，交AB于H设CF=x，FB = y, AH = s, HB = x, 所以OG=x, DG = s所以OF=OB- BF=OC-CF 即4- x= 3- y所以x- y= 16 9 =7 （1
5、）同理有OH=1- s= 3- t所以t- s= 3- 1= 8 （2）又因为OH+HB=OB 即y+ t= 9（1）-（2）得(x+s) (y+ t) = 1授课：XXX所以OD=x+ s= (y+ t) 1 = 9 1 = 8所以OD=24如图，过P作EFAB于E，交CD于F，则PFCD所以PF=PA=PB=10，E为AB中点设PE = x，则AB=AD=10 + x所以AE=AB=(10 + x)在RtPAE中，PA=PE+AE所以10= x+ (10 + x ) 所以x = 6所以正方形ABCD面积=AB=(10 + 6) = 2565如图，作B关于AC的对称点B，连A B，则N点关于
6、AC的对称点N在A B上，这时，B到M到N的最小值等于BMN的最小值，等于B到A B的距离BH，连B与A B和DC的交点P，则=2010=100，由对称知识，PAC=BAC=PCA所以PA=PC， 令PA=x，则PC=x，PD=20 x，在RtADP中，PA=PD+AD所以 x = (20 x ) + 10 所以 x = 12.5因为=PABH所以BH=二、填空题140；212；3；413；56，8，10或5，12，13解答：授课：XXX1如图，作ADBC于D，在RtABD和RtAPD中，AB=AD+BD所以 所以 所以所以3 如图，作A关于ON的对称点A，D关于OM的对称点D， 连结AB，C
7、D，则AB=AB，CD=CD，从而AB+BC+CD=AB+BC+CDAD因为AON=MON=MOD=20，所以AOD=60又因为OA=OA=4，OD=OD=8，所以OD=2OA即ODA为直角三角形，且OAD=90所以AD=所以，折线ABCD的长的最小值是123如图，作PMAB于M，PNBC于N，设AB = m, PM = x, PN = y，则由（2）、（3）分别得， （3） （4）将（1）代入（4）得授课：XXX将（1）代入（5）得把x,y的表达式分别代入（1）得因为m0 所以m=5+2所以 AB=所以4如图，AB=12，AC=2，BD=3，且ABAC，ABBD，P在AB上且PA=x，PB=
8、y，连PC，PD，在RtCAP和RtDBP中如图，P点在位置时，PC+PD的值最小，为线段CD的长度，而CD=所以的最小值为13。5设三边长为a,b,c，其中c是斜边，则有（2）代入（1）得 即因为ab0 所以ab 4a 4b + 8 = 0所以(a,b为正整数)所以b 4 = 1，2，4，8，所以b = 5，6，8，12；a = 12，8，6，5；c = 13，10，10，13，所以，三边长为6，8，10或5，12，13三、解答题1如图,连结PA,PB，PC，设BD=x，CE=y，AF=z，则DC=17-x，EA=18 y，FB = 19 z在RtPBD和RtPFB中，有授课：XXX同理有：
9、将以上三式相加，得即17x + 18y + 19z = 487又因为x + y + z = 27，所以x = z 1,所以BD + BF = x + (19 z ) = z 1 + 19 z = 182如图，作CEAB于E，则CE=AE=所以BE=AB-AE=2 - 又所以BC=再过D作DFBC，交CB延长线于F，并设DF=CF=x，则BF= x BC = x + 1 - 又RtDFBRtCEB，所以DF：BF=CE：BE，即x：(x + 1 - ) = 所以x = 所以4 如图，构造一个边长为(a + b)、(c + d)的矩形ABCD，在RtABE中，BE=所以BE=在RtBCF中，BF=
10、在R tDEF中，EF=授课：XXX在BEF中，BE+EFBF即5 如图，过A作AEBC交CD于E，则1=45，2=60，过B作BFAE于F，作CGAE于G，则RtABF为等腰直角三角形，BCFG为矩形，又因为AB=，BC=5-，所以BF=AF=AB=，所以CG=BF=，所以CE=CG=2，EG=CG=1所以AE=AF+FG+GE=AF+BC+GE=6DE=CD-EC=6-2=4过D作DMAE延长线于MMED=180-AED=180-BCD=180-120=60所以EM=DE=2，DM=DE=2在RtAMD中，AD=5如图，以A为中心，将ABE旋转60到AMN，连NB，MB，则AE+EB+EC=AN+MN+EC因为AE=AN，NAE=60所以AE=NE所以AE+EB+EC=MN+NE+EC当AE+EB+EC取最小值时，折线MNEC成为线段，且MC=，MBC=150在RtPMC中，设BC=x，PM=所以所以x = 2, BC=2 （注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!） 授课：XXX
