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1、 欢迎阅读本文档，希望本文档能对您有所帮助!项目四 无穷级数与微分方程 实验1 无穷级数（基础实验） 实验目的观察无穷级数部分和的变化趋势,进一步理解级数的审敛法以及幂级数部分和对函数的逼近. 掌握用Mathematica求无穷级数的和, 求幂级数的收敛域, 展开函数为幂级数以及展开周期函数为傅里叶级数的方法. 数项级数例1.1 (教材 例1.1)(1) 观察级数的部分和序列的变化趋势.(2) 观察级数的部分和序列的变化趋势.输入sn_=Sum1/k2,k,n;data=Tablesn,n,100;ListPlotdata;NSum1/k2,k,InfinityNSum1/k2,k,Infin
2、ity,40则输出(1)中级数部分和的变化趋势图1.3.图1.3级数的近似值为1.64493.输入sn_=Sum1/k,k,n;data=Tablesn,n,50;ListPlotdata,PlotStyle-PointSize0.02;则输出(2)中级数部分和的的变化趋势图1.4.图1.4例1.2 (教材 例1.2) 画出级数的部分和分布图.输入命令Clearsn,g;sn=0;n=1;g=;m=3;While1/n10-m,sn=sn+(-1)(n-1)/n;g=Appendg,GraphicsRGBColorAbsSinn,0,1/n,Linesn,0,sn,1;n+;Showg,Plo
3、tRange-0.2,1.3,Axes-True;则输出所给级数部分和的图形（图1.5）,从图中可观察到它收敛于0.693附近的一个数.图1.5例1.3 求的值.输入 Sumx(3k),k,1,Infinity得到和函数 例1.4 (教材 例1.3) 设 求. 输入Cleara;an_=10n/(n!);vals=Tablean,n,1,25;ListPlotvals,PlotStyle-PointSize0.012则输出的散点图（1.6）,从图中可观察的变化趋势. 输入 Suman,n,l,Infinity则输出所求级数的和.图1.6求幂级数的收敛域 例1.5 (教材 例1.4) 求的收敛域
4、与和函数. 输入Cleara;an_=4(2n)*(x-3)n/(n+1);stepone=an+1/an/Simplify则输出 再输入 steptwo=Limitstepone,n-Infinity则输出 这里对an+1和an都没有加绝对值. 因此上式的绝对值小于1时, 幂级数收敛; 大于1时发散. 为了求出收敛区间的端点, 输入ydd=Solvesteptwo=1,xzdd=Solvesteptwo=-1,x则输出 由此可知,当时,级数收敛,当或时,级数发散. 为了判断端点的敛散性, 输入 Simplifyan/.x-(49/16)则输出右端点处幂级数的一般项为因此,在端点处,级数发散.
5、 再输入 Simplifyan/.x-(47/16)则输出左端点处幂级数的一般项为因此,在端点处, 级数收敛. 也可以在收敛域内求得这个级数的和函数. 输入 Sum4(2n)*(x-3)n/(n+1),n,0,Infinity则输出 函数的幂级数展开 例1.6 (教材 例1.5) 求的6阶麦克劳林展开式. 输入 SeriesCosx,x,0,6则输出 注:这是带皮亚诺余项的麦克劳林展开式. 例1.6 (教材 例1.6) 求在处的6阶泰勒展开式.输入 SeriesLogx,x,1,6则输出例1.7 (教材 例1.7) 求的5阶泰勒展开式.输入serl=SeriesArcTanx,x,0,5;Po
6、ly=Normalserl则输出的近似多项式 通过作图把和它的近似多项式进行比较. 输入PlotEvaluateArcTanx,Poly,x,-3/2,3/2,PlotStyle-Dashing0.01,GrayLevel0,AspectRatio-l则输出所作图形（图1.7）, 图中虚线为函数,实线为它的近似多项式.图1.7 例1.9 求在处的8阶泰勒展开, 并通过作图比较函数和它的近似多项式. 输入Clearf;fx_=Exp-(x-1)2*(x+1)2;poly2=NormalSeriesfx,x,1,8PlotEvaluatefx,poly2,x,-1.75,1.75,PlotRang
7、e-2,3/2,PlotStyle-Dashing0.01,GrayLevel0则得到近似多项式和它们的图1.8. 图1.8例1.10 求函数在处的阶泰勒展开, 通过作图比较函数和它的近似多项式, 并形成动画进一步观察. 因为 所以输入DoPlotSum(-1)j*x(2j+1)/(2j+1)!,j,0,k,Sinx,x,-40,40,PlotStyle-RGBColor1,0,0,RGBColor0,0,1,k,1,45则输出为的3阶和91阶泰勒展开的图形. 选中其中一幅图形,双击后形成动画. 图1.9是最后一幅图.图1.9例1.11 利用幂级数展开式计算(精确到).因为根据在处的展开式有故
8、前项部分和为输入命令sn_=3(1-1/(5*34)-SumProduct5i-1,i,1,k-1/(5k k!3(4k),k,2,n-1);rn_=Product5i-1,i,1,n-1/5n/n!3(4n-5)/80;delta=10(-10);n0=100;DoPrintn=,n,sn=,Nsn,20;Ifrndelta,Break;Ifn=n0,Printfailed,n,n0则输出结果为 傅里叶级数例1.12 (教材 例1.8) 设是以为周期的周期函数,它在的表达式是 将展开成傅里叶级数. 输入Clearg;gx_:=-1/;-Pi=x0gx_:=1/;0=xPigx_:=gx-2P
9、i/;PiRGBColor0,1,0; 则输出的图形 (图1.10).图1.10因为是奇函数, 所以它的傅里叶展开式中只含正弦项. 输入b2n_:=b2n=2 Integrate1*Sinn*x,x,0,Pi/Pi;fourier2n_,x_:=Sumb2k*Sink*x,k,1,n;tun_:=Plotgx,Evaluatefourier2n,x, x,-Pi,5 Pi,PlotStyle-RGBColor0,1,0,RGBColor1,0.3,0.5,DisplayFunction-Identity; (*tun是以n为参数的作图命令*)tu2=Tabletun,n,1,30,5; (*t
10、u2是用Table命令作出的6个图形的集合*)toshow=Partitiontu2,2; (*Partition是对集合tu2作分割, 2为分割的参数*)ShowGraphicsArraytoshow (*GraphicsArray是把图形排列的命令*)则输出6个排列着的图形（图1.11）,每两个图形排成一行. 可以看到越大, 的傅里叶级数的前项和与越接近. 图1.11实验2 微分方程（基础实验） 实验目的 理解常微分方程解的概念以及积分曲线和方向场的概念,掌握利用Mathematica求微分方程及方程组解的常用命令和方法. 用Dsolve命令求解微分方程例2.1 (教材 例2.1) 求微分
11、方程 的通解. 输入Clearx,y;DSolvey x+2x*yx=x*Exp-x2,yx,x或 DSolveDyx,x+2x*yx=x*Exp-x2,yx,x则输出微分方程的通解: 其中C1是任意常数. 例2.2 (教材 例2.2) 求微分方程在初始条件下的特解. 输入Clearx,y;DSolvex*y x+yx-Expx=0,y1=2 E,yx,x则输出所求特解: 例2.3 (教材 例2.3) 求微分方程的通解. 输入DSolvey x-2y x+5yx=Expx*Cos2 x,yx,x/Simplify则输出所求通解: 例2.4 (教材 例2.4) 求解微分方程, 并作出其积分曲线.输入g1=TablePlotEx+x3/3+c1+x*c2,x,-5,5,DisplayFunction-Identity,c1,-10,10,5,c2,-5,5,5;Showg1,DisplayFunction-$DisplayFunction;则输出积分曲线的图形（图2.3）.图2.3例2.5 (教材 例2.5) 求微分方程组在初始条件下的特解. 输入Clearx,y,t;DSolvex t+xt+2 yt=Expt, yt -xt- yt=0,x0=1,y0=0,xt,yt,t则输出所求特解: 例2.6 验证是微分方程的通解.输入命令GraphicsPlotField
