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1、习题课1（实数与极限，供参考、选用）一、概念题1假设数列无上界，求证存在子列，使得当时，单调增加趋向于正无穷大 解：无上界，所以存在；令，则由于无上界，故存在按此方法得到的一个子列，满足显然单调增加趋向于正无穷大. 2.若非空有界集合没有最大值，则在中存在一个无穷点列，使得证明：设不是的上界，所以存在，使得令，则不是的上界，所以存在，使得即由此得到再令，则不是的上界，所以存在，使得即由此得到以此类推，可以得到中一个无穷点列，以及趋向于零的一个数列，使得于是3若数列中既无最小值，也无最大值，问是否收敛，请证明你的结论。 答案：发散证明：（）若数列无界，则发散（）若数列有界，令，.显然由上题，在中
2、存在两个子列和，分别收敛于的上确界和下确界于是数列存在两个子列收敛于不同的极限，从而发散二、夹逼定理和单调收敛定理提示：设，求证证明：若，则结论显然成立因此不妨设不恒等于零假设，并且不妨设此时有（其中）当时，于是由夹逼定理得到用单调收敛定理说明存在，不存在4.设数列满足，并且. 求证。提示：利用单调收敛定理证明收敛：有界是显然的；当时有不等式，所以。于是由题设推出.由此得到.从而单调增加.由单调收敛定理推出存在。在不等式左端取极限得到，进一步推出得到，三、综合题设有函数如果满足，则称是函数的一个不动点求的不动点（如果存在）的一个简单方法是适当地取一个初始点，构造迭代点列如果点列收敛于，那么在一
3、定条件下就是的不动点假设是的一个不动点在点的某个邻域中存在连续的导数，求证：如果在的附近取一个初始点，则迭代点列收敛于提示：并且连续，推出在点的某个邻域中恒有（其中是某个小于的正数）假设在有界，处处可导求证存在一个单调增加并且趋向于正无穷的点列，使得提示：在区间上应用拉格朗日中值定理设数列有界，满足求证解：反证若不成立，则存在正数，以及的一个子列满足不妨设另一方面，根据与极限保号性推出：p存在自然数，当时，于是对于充分大的，有于是得到一个子列，满足同样的方法又得到子列，满足最后推出无界兴趣题：（选自R.柯朗 H.罗宾：什么是数学）设和是平面上的两个互不相交的区域（平面区域指由连续的简单闭曲线围成的部分），用连续函数的介值定理解释：存在直线，将区域分成面积相等的两个区域；存在直线，将区域和同时分成面积相等的两个区域；存在两条相互垂直的直线和，将区域分成面积相等的四个区域。构造函数分别满足下列条件：仅在一个点连续；在所有无理点连续，在所有有理点间断；在所有整数点连续，在其他点均为第二类间断提示：考察；考察在中满足条件的组成的集合是什么？3
