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1、专题5.2 数列的综合（测试时间：120分钟 满分：150分）一、选择题（共12小题，每题5分，共60分）1. 已知数列的通项公式，设其前项和为，则使成立的自然数有（ ）A最大值15 B最小值15 C最大值16 D最小值16【答案】D【解析】试题分析： ，则， 所以 即故选D考点：1对数运算；2数列求和2. 设表示正整数的个位数，例如：，若，则数列的前2015项的和等于（ ）A0 B2 C8 D10【答案】D【解析】考点：数列的求和.【方法点晴】本题主要考查了数列的递推公式、数列的新定义的应用、数列的求和，其中解答中利用条件得出数列周期性，利用数列的周期性求解是解答的关键，解答中，利用数列的递
2、推公式，求解的值，得出数列的前项的和为，即可求解数列的值，属于中档试题.3. 若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有（ ）A13项 B12项 C11项 D10项【答案】A【解析】试题分析：根据题意，又，。故选A。考点：等差数列的性质4. 已知数列，若，则（ ）A B C D 【答案】C【解析】考点：数列的通项及求法.【易错点晴】本题的数列的通项公式的求法是借助数列的递推式,运用两边相减的变形技巧探寻出该数列的奇数项和偶数项的规律都是公差为成等差数列,然后写出偶数项的这个等差数列,再运用两边相加的变形技巧获得了答案.当然本题也可以逐一写出数列的各
3、项,观察其规律求出答案.5. 【2018云南昆明一中联考】设数列的前项和为，若， ， 成等差数列，则的值是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】因为成等差数列，所以，当时， ；当时， ，即，即， 数列是首项，公比的等比数列， ，故选B.6. 数列满足且,则数列的第100项为（ ）A B C D【答案】D【解析】考点：构造法求数列通向公式。7. 设等差数列的前项和为，若，则满足的正整数为（ ）A B C D【来源】【百强校】2017届山西长治二中等五校高三上学期联考一数学（文）试卷（带解析）【答案】B【解析】试题分析：由得，所以，因此满足的正整数为，选B.考点：等差数列性质【思路点睛】
4、等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用.但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形. 在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法.8. 数列满足，对任意的都有，则（ ）A、 B、 C、 D、【来源】【百强校】2017届黑龙江双鸭山一中高三上学期质检一数学（文）试卷（带解析）【答案】B【解析】考点：数列求和.【思路点晴】本题主要考查数列求和的应用，根据数列的递推关系，利用累加法求出数列的通项公式以及，利用裂项法进行求和是解决本题的关键在求数列前项和之前，必须先求出其通项公
5、式，根据通项公式的特征决定采用何种方法，根据数列的递推公式，可利用累加法求出数列的通项公式，根据结合裂项法进行求和即可9. 在数列中，则（ ）A B C D【答案】A【解析】试题分析：考点：迭加法求数列通向公式10. 【2018百校联盟联考】我国古代数学著作九章算术有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金杖，长5尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下1尺，重4斤；在细的一端截下1尺，重2斤；问依次每一尺各重多少斤？”设该金杖由粗到细是均匀变化的，其重量为，现将该金杖截成长度相等的10段，记第段的重量为，且，若，则（ ）A. 4 B
6、. 5 C. 6 D. 7【答案】C【方法点睛】本题主要考查阅读能力、等差数列的通项公式、等差数列的前 项和公式以及转化与划归思想，属于中档题.等差数列基本量的运算是等差数列的一类基本题型，数列中的五个基本量，一般可以“知二求三”，通过列方程组所求问题可以迎刃而解，解决此类问题的关键是熟练掌握等差数列的有关性质和公式，并灵活应用，在运算过程中，还应善于运用整体代换思想简化运算过程.11. 已知数列满足则的前60项和为（ ）A3690 B3660 C1845 D1830【答案】D【解析】试题分析：由题意得，从而可得，所以从第一项开始，依次取2个相邻的奇数项的和都等于2，从第二项开始，依次取2个相
7、邻偶数项的和构成以8位首项，以16为公差的等差数列所以的前60项和为，故选D考点：数列的前项和12. 数列满足，则的整数部分是（ ）A B C D【答案】B【解析】试题分析：，所以所以：，累加得：所以根据已知，所以根据递推公式得：，所以，那么那么的整数部分是考点：1递推数列；2累加法二填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13. 将数列按“第组有个数”的规则分组如下：（1）,（3,9）,（27,81,243）,则第10组中的第一个数是_【答案】 【解析】试题分析:前9组中共有个数,因此第9组中的最后一个数是是,所以第10组中的第一个数是.考点:数列.14. 设等差数列的前项和为，首项，公差，
8、则最小时， . 【来源】【百强校】2017届重庆第八中学高三上学期第一次月考数学（文）试卷（带解析）【答案】【解析】试题分析：，故前项和最小.考点：等差数列的基本概念【思路点晴】若已知首项和末项，则，或等差数列的首项是，公差是，则其前项和公式为.熟记等差数列的性质,并能灵活运用是解这一类题的关键,注意等差数列与等比数列的性质多与其下标有关，解题需多注意观察，发现其联系，加以应用等差数列的性质是等差数列的定义、通项公式以及前项和公式等基础知识的推广与变形，熟练掌握和灵活应用这些性质可以有效、方便、快捷地解决许多等差数列问题15. 【2018安徽十大名校联考】在数列中， ， .记是数列的前项和，则
9、的值为_【来源】【全国校级联考】安徽省十大名校2018届高三11月联考数学（文）试题【答案】130所以.点睛：本题主要考查了数列求和问题，其中解答中涉及到等差数列的判定、等差数列的前项和公式，以及数列的并项求和等知识点的综合应用，解答中根据题意，合理根据为奇数和为偶数分成两个数列求解是解答的关键，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，试题有一定的难度，属于中档试题.16. 把正整数排列成如下图甲的三角形数阵，然后擦去第偶数行的奇数和第奇数行中的偶数，得到如图乙的三角数阵，再把图乙中的数按从小到大的顺序排成一列，得到数列，若an=2015，则_【答案】【解析】考点：1等差数列；2归纳法三、解答
10、题(本大题共6小题，共70分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17. 【2018河南林州10月调研】已知数列中， ， ，记为的前项的和， （1）判断数列是否为等比数列，并求出；（2）求.【答案】（1）是公比为的等比数列， ；（2） .【解析】试题分析：（）由可得，两式相比可得，计算可得数列是等比数列；由等比数列性质可求数列的通项公式；（）由（）可知数列的奇数项和偶数项分别成等比数列，所以利用分组求和法可求试题解析：（） ， ，即， 所以是公比为的等比数列， ， 考点：1等比数列的定义与性质；2数列求和【名师点睛】本题主要考查等比数列的定义与性质以及等比数列求和与分组求和，属中档题
11、；等比数列基本量运算问题常见类型及解题策略有：1化基本量求通项；2化基本量求特定项；3化基本量求公比；4化基本量求和18. 【2018安徽十大名校联考】已知数列满足： .（1）证明：数列是等比数列；（2）设，求数列的前项和.【答案】（1）见解析；（2）【解析】试题分析：（1）根据题意，可化简得，即可得到数列是以为首项， 为公比的等比数列. （2）由（1）知，求得，再利用乘公比错位相减法，即可求解数列的前项和.试题解析:（1），则数列是以1为首项，2为公比的等比数列. （2）由（1）知， ，.，.19. 已知数列满足.（1）求数列的通项公式；（2）设，为数列的前项和，求.【来源】【百强校】201
12、7届湖南常德一中高三上学期月考二数学（文）试卷（带解析）【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）利用可得结果；（2）利用裂项相消求前项和.试题解析：（1）当时，当时，-得，.又满足上式，.（2），.考点：（1）数列的通项公式；（2）数列的求和.20. 设等差数列的前项和为，且，（1）求等差数列的通项公式.（2）令，数列的前项和为，证明：对任意，都有.【答案】（1）；（2）证明见解析【解析】试题解析：（1）设等差数列的首项为，公差为，则由，得，解得，所以，（2）因为，所以，则.因为，所以.考点：等差数列的通项公式，裂项相消法求和，数列与不等式的综合21. 已知数列满足，令（）求证：数列为
13、等差数列；（）求证：【答案】（）证明见解析；（）证明见解析【解析】试题解析：（）， 6分（）由（）知， 8分 10分由于 13分于是 15分考点：1、等差数列的定义；2、等差数列的通项公式；3、数列的“裂项”求和；4、不等式的证明22. 设，是曲线在点处的切线与x轴交点的横坐标.（）求数列的通项公式；（）记，证明.【答案】（）；（）.【解析】试题分析：，综上可得对任意的，均有.试题解析：（）解：，曲线在点处的切线斜率为.从而切线方程为.令，解得切线与轴交点的横坐标.（）证：由题设和（）中的计算结果知.当时，.当时，因为，所以.综上可得对任意的，均有.【考点定位】1.曲线的切线方程；2.数列的通项公式；3.放缩法证明不等式.
