《与内切球外接球半径相关的问题》由会员分享，可在线阅读，更多相关《与内切球外接球半径相关的问题（9页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、与内切球外接球半径相关的问题有关于内切球、外接球的问题，应该说是一个比较困难的问题，几乎所有同学都会感到无 从下手，这是正常的，因为这类问题需要强有力的想象力，同时方法性极强。我们就这部分问题，尽量总结全面。1内切球和外接球的基本定义; 立体图形的内切球是指：与该立体图形的所有面都相切的球，注意是与所有面都相切，因 此，很多立体图形是不存在内切球的。基本性质是：球心到所有面的距离相等，且为内切球半径。 立体图形的外接球是指：立体图形的所有顶点都在球面上。 基本性质是：球心到所有顶点的距离相等，且为外接球半径。2. 长方体的外接球：v;a 2 + b 2 + c 22长方体中从一个顶点出发的三条
2、棱长分别为a,b,c ,则体对角线长为l = va2 + b2 + c2，几何体的外接球直径2R，长方体体对角线长l，则R =3. 正方体的外接球：正方体的棱长为a，则正方体的体对角线为、3a，其外接球的直径2 R为込a。4. 正四面体的内切球、外接球(1) 正四面体的内切球球心和外接球球心是重合的，并且都在正四面体的高线上。31(2)正四面体的高若为h,则外接球半径R = -h，内切球半径r = h5. 直棱柱的外接球： 直棱柱外接球半径的思想是：找出直棱柱的外接圆柱，圆柱的外接球就是所求直棱柱的外 接球。(1) 直棱柱的体对角线长就是外接球的直径，这是核心。2 2 2(2) 直棱柱的体对角
3、线 =底面图形的外接圆直径 +侧棱(即高)6. 正棱锥的外接球： 正棱锥外接球半径的思想是：球心在正棱锥的高线上，根据球心到各个顶点的距离是外接 球半径，列出关于半径的方程。我们需要考虑将“球心”“底面正多边形的中心”“底面上任一个顶点”这三个点连接起来 构成一个直角三角形，利用勾股定理，列出关于半径的方程。一般来说这个方程是：(h R)2 + a2 = R2或(R h)2 + a2 = R2，这里的h是指正棱锥的高, a是指底面正多边形的对角线长的一半，若底面为正三角形时，a是指正三角形中线长的23，考生可以划出一个图形，印证一下这些内容。7. 补体法：(1) 补体法是用于求锥体的外接球半径
4、的一种简洁方法，而且如果不使用该方法，会使问 题变得非常难于解决。(2) 使用条件：一是由三条两两垂直的棱构成的锥体，可以使用补体法，这时候往往会补 成长方体或正方体；二是有一条棱与底面垂直的锥体，可以将其先补成直棱柱，然后直接 求棱柱的外接球，参看第5 条。（3）补体法一般是将锥体补成柱体，这样的柱体多为长方体或正方体，我们一般是先画出 补成之后的图形，然后在补成之后的图形中标注出题目中所说的锥体，这样，就更清晰， 即所求的锥体的外接球也就是补成之后立体图形的外接球。8. 体积分割法 体积分割法是用于求锥体或柱体（多为求锥体的）内切球半径的一种非常简单的方法 Sh对于锥体来说，r = 1,
5、r为内切球半径，S为锥体的底面积，h为该锥体的高，为该锥S1体的全面积。对于该公式的由来，可以类比我们初中讲过的三角形中求内切圆半径的面积3S h分割法。对于柱体的内切球半径求法，r二 厂，但是这时候往往因为柱体的全面积求解S比较麻烦而采取其他思路，我们需要注意，柱体的内切球必然要与上下底面相切，那么该 柱体的高也就等于球的直径。这一点很重要。1. 已知一个正方体的所有顶点都在一个球面上，若球的体积为，则正方体的体积为2. 平面a截球O的球面所得圆的半径为1,球心O到平面a的距离为*2，则此球的体积 为 _3. 已知底面边长为1,侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体 积为 _
6、4. 若所有侧棱长均为1的正四面体的内切球与外接球半径分别为r.R，求它们的比值为5. 已知正六棱柱的12个顶点都在一个半径为3的球面上，当正六棱柱的底面边长为6时，其高的值为 6. 已知正四棱柱的侧棱与底面的边长都为3J2，则这个四棱柱的外接球的表面积为7. 一个三棱柱的底面为正三角形，且侧棱与底面垂直，一个体积为亍的球体与棱柱的所有面都相切，那么这个三棱柱的表面积为兀& 在直二棱柱 ABC ABC】中，AB = 4, AC = 6, A = , AA 4 ,则直二棱柱 ABC ABC的外接球的表面积。1119. 正四棱锥S ABCD的底面边长和各侧棱长都为J2，点S、A、B、C、D都在同一
7、球面上，则此球的体积为.10. 正四棱锥S一ABCD的底面边长为1,各侧棱长都为耳2 ,点S、A、B、C、D都在同一球面上，则此球的体积为.3 ：211. 正四棱锥0- ABCD的体积二+，底面边长为：3，则以0为球心，为OA半径的球 的表面积_12. 三棱锥A BCD 中，AB 丄平面BCD， CD丄 BC， AB = 3， BC = 4， CD = 5 则 三棱锥A BCD外接球的表面积为-13. 四面体ABCD的外接球为0， AD与平面ABC垂直，AD = 2， Rt#ABC中， /AcB = 2, AB = 73,则球0的表面积为214. 四棱锥pABCD 中,底面ABCD为正方形。p
8、d丄ABCD,PD=AB=2，则pABCD的内切球与外接球半径分别为、。15. 已知三棱锥P-ABC，点P, A, B, C都在半径为3的球面上，若PA, PB, PC两两相互垂直,则球心到截面ABC的距离为。16. 三棱柱ABC -坷BQ的6个顶点都在球0的球面上。若AB = 3, AC = 4, AB丄AC, AA1 = 12,则球0的半径为。17. H为球0的直径AB上一点，AH: HB = 1:2 , AB丄平面a，H为垂足，a截球0所得截 面的面积为兀，则球0的表面积为。18. 球的半径为2，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆，若两圆的公共弦长为2，则两 圆的圆心距等于。19. A
9、、B、C、D在同一个球的球面上，AB=BC=p2 ,AC=2,若四面体ABCD体积的最大值为| ,则这个球的表面积为.20. 三棱锥S-ABC的所有顶点都在球o的球面上，AABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC=2，则此三棱锥的体积为.21. 三棱锥P- ABC中，PA丄平面ABC，AC丄BC, AC = BC二1,PA =则该三棱锥外接球的表面积为.22. 边长为2J2的正三角形ABC内接于体积是4岛 的球O ,则球面上的点到该三角形所在平面最大的距离是.23正四面体ABCD的棱长为4, E为棱BC的中点，过E作其外接球的截面，则截面面积的最 小值为。24. 三棱柱侧棱垂直于底
10、面，所有棱长都为a,顶点在同一个球面上，则该球的表面积为25. 若正四面体的棱长V6，则正四面体的外接球的表面积为。26. 一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1 的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大 圆上，则该正三棱锥的体积是：（ ）.7(C)34(D) T327. 如果三棱锥的三个侧面两两垂直，它们的面积分别为6cm2、4cm2和3曲，那么它的外 接球的体积是。参考答案1.分析：设出正方体棱长，利用正方形的体对角线就是外接球的直径，通过球的体积求出正 方体的棱长.解答：解：因为正方体的体对角线就是外接球的直径，设正方体的棱长为a，所以正方体的体对角线长为：3a，正方体的外接球的半径为：p
11、-1）球的体积为：，解得a =.故答案为:2解：因为平面a截球O的球面所得圆的半径为1,球心O到平面a的距离为，所以球 的半径为:1 =、；3 .体积易求为43兀.3.试题分析：根据正四棱柱的几何特征得：该球的直径为正四棱柱的体对角线，故即得R = 1，所以该球的体积V二3兀R24 A 4兀兀 12 33 114.每个正三棱锥体积V- Sr，而正四面体PABC体积V S x（R + r），根据前面的132311r 1分析，4 x V V ，4 x x S x r x S x（R + r 丿.1233R 36正四棱锥的各个顶点到它的底面的中心的距离都为3,.正四棱锥外接球的球心在它的底面的中心，
12、且球半径r 3，球的表面积S 4兀r2 36兀，因此，本题正确答案是：3阮.47解：此棱柱为正棱柱，体积3兀的球体半径为1,由此可以得到三棱柱的高为2,底面三角形内切圆的半径为1，故底面三角形高为3，边长为2J3，所以表面积S 2x x2：3x3 + 3x2、；3x2 183 .因此，本题正确答案是：183 .13*/28由V=_ AB 2 ON 可得，on ，在 a ona 中，OA2 ON 2 + NA2 6O -ABCD32故球的表面积S 4兀 OA2 24兀由已知条件可知，以 PA,PB,PC 为棱的正三棱锥可以补充成球的内接正方体，故而PA2 + PB 2 + PC 2 =（2R ）
13、，由已知 PA = PB = PC ,得到 PA = PB = PC = 2 .因为VP -ABC112距离为 R=VA - PBC? 3hS AABC = 3PAS APBC，得到h 卡，故而球心到截面的如图所示，球心O即为侧面BCC B对角线的交点。设BC的中点为M，连接OM，AM， 11即可知OM丄平面ABC,连接AO,则可知om=6 , AM5-，在Rt AA0M中，由勾2股定理得球O的半径R131 2又由题意得兀r2 =兀，则r = 1，故R2 = 1+，即R2 = 9 由球的表面积公式,8得S = 4兀R2 =15.2.DE为两圆的公共弦，点B为弦的中点，因为OD与OE均为球的半径
14、，所以OD=2,所以0B丄DE，因为de = 2，所以OB = 22 - 12 = 屁，因为两个圆所在平面垂直,所以AB丄BC，四边形OABC是矩形，所以圆心距AC二OB二角中，3.16.AABC中，AB = BC = 41, AC = 2, AC2 二 AB2 + BC2, zabc 二上，截面小圆的半 212径r = - AC = 1， 四面体ABCD体积的最大值为3，11 12V=-SAABC * h = 一*一* 2* h = 一 h = 2。设球的半径为R，球心为0 , 0到截D- ABC 33 23面的距离为d。当D到底面ABC距离最远，即h = R + d时，四面体ABCD体积的
15、最大值。Q d =2 1 丿 + R = 2 /.-O是SCR 2 -1 = R 2 - 4 R+4，解得R = 4 .这个球的表面积为4兀R 2 = 4K*花=T4.17分析试题：几何问题的解决一般依赖于图形，作出三棱锥S一ABC，如下图, 中点，由于SC是球的直径，a、B在球面上，故SB丄BC，SA丄AC.设H是等边AABC 的中心，则0H丄平面ABC，AABC是边长为1的正三角形，则SAABC = #，C哼又 0C =1，则 OH = 0C2 - CH2 =13 = ,Q0是SC的中点，.点S到平面ABC 的距离为 2OH =仝6，V=1SAABC 2OH =1 上3 仝6 =上23S -ABC 3
