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1、通过培训算法，我想把一章常见的题型归纳起来也应当是一种算法，学生了解后便可以在思路上有据可依了。 不知总结的恰当不恰当，希望老师专家们批评指正。圆锥曲线中的八种常见题型解析几何是用代数的知识解决几何图形的自然学科，是用代数中方程与函数的思想通过建立坐标系把方程的解和曲线上的点的坐标联系起来，其解题步骤是建立直线方程和圆锥曲线方程(消去X或y )的方程2ax bx 0。当a=0时，方程为一次方程有一解。直线与抛物线有一解，对双曲线来说，直线与渐近线平行。当a=0时，方程是二次方程，再求判别式，通过 看方程解的个数，从而判定直线与圆锥曲线的位置关系，韦达定理是联系点的坐标和方程解的桥梁。解析几何有
2、以下常见八种类型题。一 用定义和几何性质解决圆锥曲线本身问题。用回到定义的方法解决数学中的疑难问题，历来被数学家推崇，进一步加强对定义的研究，并在平时解题实践中加以应用，对于理解定义，发展思维，提高解题能力是非常有必要的2X例1已知椭圆a=1 ( ab0)，ZF1PF2的外角平分线pL,过Fi作垂线FiM，垂足为M,求M的轨迹方程。解析：延长FiM交F2P的延长线于点N，pL为.F1PF2的外角平分线，则丨NP| = | PF丨二MO为J NF1F211的中位线,| M0| = | F2N | =一( I NP | + | PFz | )2211=-(| PF | + | PF2 |)=-2a
3、= a22-M的轨迹为以原点为圆心 a为半径的圆，设M的坐标为(x, y)，得M点的轨迹方程为：x2 y2 = a2。二直线与圆锥曲线相交时的中点弦问题。中点弦问题主要是求中点弦所在直线的方程问题和求弦中点的轨迹问题。解决方法有两种(1)根与系数的关系法：将直线方程代入圆锥曲线的方程，消元后得到一个一元二次方程，利用根与系数的关系和中点坐 标公式建立等式求解。(2) “点差法”：若直线L与圆锥曲线C有两个交点A和B, 般地首先设出交点坐标A(x-, y1), B(x2, y2)，代入曲线方程，通过作差，构造出 x-, x2, y, y2, xx2, yy2，从而建立 了中点坐标和斜率的关系。例
4、2如图，线段AB的两个端点A,B分别在x轴，y轴上滑动,AB =5,点M是线段AB上一点，且 amV.MBc0）。（1）求点M的轨迹E的方程，并指明轨迹E是何种曲线。（-）2当=时，过点P（1,1）的直线与轨迹E交于C,D两点,3且P为弦CD的中点，求直线CD的方程。解:(1 )设 M(x, y) ,A (a,0) ,B (0, b) , AM = (x - a, y),MB = (_x,b - y),/ AMMB, (xa, y)=(；x, b；y),a = (1，)xx _a - - x“1 + 九 t AB =5”； ay= b- y byb2 = 25彳丄a2_ 2 21 +丸 22X
5、.(1)x() y =25. 5,()2 ( )21 1 -2y =1。当 =1时，方程化为x2y2号，它表示以原点为圆心,55为半径的圆；当 -1时，方2程表示椭圆。当0 ：1时，方程表示以-5 1 - 25 1 _ 2(-,0),(L10,0）为焦点，长轴长为厂的椭圆;当丸1时，方程表示以（0,一52 j）,（o, 5d）为焦点，长轴长为 如的椭圆。1 “1 r12 2 2(2)当=-时，曲线方程为 -1。设直线L与曲线交于C （x1, y1）, D（x2,y2）,则3 942Xi2+ h=1 川 iMIIMld)/、94( 1)-( 2)得(洛X2XX1 +X2)十( y2)(% + y
6、) _ 02 29管弋刊川川)川川1(2)a99坐4 _ 飞=2,% *2=2,. X2 -X19(y1 y2)x? - 洛所以所求直线方程为 4x，9y -13 = 0。三以弦为直径的圆问题。此类问题先联立方程组，再消去 x （或y），得到关于y （或x）的方程，利用韦达定理和垂直等条件找到答案。例3.直线L： y = kx+l与双曲线的右支交于不同的两点A、E(1) 求实数k的取值范围(2) 是否存在实数k,使得以线段AE为直径的圆经过双曲线C的右焦点F?若存在求出k的值；若不存在，说明理由解：(1)将直线丨的方程y = kx 1代入双曲线C的方程2x2 - y2 = 1后，整理得(k2
7、-2)x2 2kx 2 =0依题意，直线l与双曲线C的右支交于不同两点，得.-：=(2k)2 -8(k2 -2)0,解得k的取值范围为- 2 ： k :：: -.2。2k门2 0k -222-(2 )设A、B两点的坐标分别为(,%)、(x2,y2)，则由得X1 X2x1 x22k2-k22k2 -2假设存在实数k,使得以线段 AB为直径的圆经过双曲线 C的右焦点F( c,0),则由FA! FB得 g -c)(x2 -c)%y2 = 0。既(% -c)(x2 -c)(kx1)(kx21) = 0。整理得(k21)%x21 (k -c)(% x2) c21 = 0。1 a把式及c 6代入式化简得5
8、k2 2、6k -6 = 0。2解得 k - - 6 *6 或 k = 6 f 6(-2,2)(舍去)。556 + 76可知k使得以线段AB为直径的圆经过双曲线 C的右焦点。5四共线问题。此类问题大胆设端点坐标，借助曲线方程构造方程组，利用韦达定理与方程联系在一起，达到消去参数的目的。例4已知圆C的方程为(X，1)2 y2 =8，定点A(1,0),M为圆上一动点，点 P在AM上，点N在CM上，且满足 aM =2AP,nP aM =0,点N的轨迹为曲线E.且满足（1）求曲线E的方程。（2）若过定点F（0,2）的直线交曲线 E于不同的两点 GH（点G在FH之间） fG =.，求，的取值范围。解：（
9、1）因为AM2AP,NP AM =0，所以NP是AM的垂直平分线，.NA=NM二 NC + NA=NC|+|MN| =2j22=|CA 二动点 N 的轨迹是以 C(-1, 0)，A(1,0)为焦点2的椭圆，丁心，曲线E的方程为筲。（2）当直线GH的斜率存在时，设 G（Xi,yi）,H（X2,y2），直线GH的方程为y=kX2，2X 2 V1,r2222 232得(2k1)x 8kx 6=0， a. =64k -24(2k1)0= k2 y = kx 2X1 X2J2k 1X fX， 丁.2k 1(Xi,yJ Y(X2, y2 -2)XX? = (1 _，)x2n2凶 X2 二X2(X *2)2
10、 _ X1X2(1 一2c 1)216丸32 +32k2乜2= 厂坐2厂(2k21)(1 ) (2 k21),1616日 n ,、丄 1 丄 c 1 6 d c4 。即 4232 3扎 330 ： : 1。当直线GH的斜率不存在时,1综上1。3五.直线与圆锥曲线位置过定点问题。此类问题常将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去y （或消X）得到关于x （或 y）的一元二次方程形式，然后考虑二次 项系数是否为0及厶的情况来解决问题。例5在平面直角坐标系 过定点Xoy 中,C（ 0,p）作直线与抛物线2 _ x = 2 py( p 0)相交于 A、B两点。(1)(2)若点N是点C关于坐标原点 是否存在垂
11、直于y轴的直线O的对称点，求L,使得L被以AC为直径的圆截得的弦长2k2 3恒为定值？若存在，求出 L的方程；若不存在，说明理由。解：(1)依题意知N(0, -p)，可设A(,y1), B(x2,y2)，直线AB的方程为y = kx十p，与2 2x =2py(p 0)联立得 x 二 2pv22消去y得x2 -2pkx-2p2 =0。由根与系数的关系得y = kx p2 1X + X2 = 2 pk, X X? = 2 p。于是 S出bn = Sbcn + S出cn = 2 p X1 X2=p Xi X2=p . (xX2)2 -4X1X2 二 p、4p2k2 8 p2 = 2 p2 . k2
12、2，当 k =0 时，(S abn )min = 2 2 p。(2)假设满足条件的直线L存在，其方程为y = a，AC的中点为O ，L与以AC为直径的圆相交于点 PQ ， PQ 的中点为 H，贝U O H_P Q点O的坐标为今宁)，3=庆二2 X12 (如 _ P)2 = 1、xja_y1 p2.2.212212p=OP OH =-(y1+p) (2a - p) = (a -一也 + a( p - a)3 42二 PQ=(2 PH )2 =4(a R)% +a(p a)。令 a -卫=0，得 a=，此时 PQ = p 为 2 2 2定值，故满足条件的直线 L存在，其方程为y = p，即抛物线的
13、通径所在的直线。2六. 直线与圆锥曲线相交弦的线段成比例问题。此类问题可将线段比例转化成点的坐标成比例，再借助方程求解。例6已知：中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的离心率为.5，(1) 求渐近线的方程。(2)过双曲线上点P的直线分别交渐近线于R,F2两点，且 pp = 2pp2，Sopp2 =9，求双曲线的方程。解：(1 )由题意设双曲线的方程方程为:2 X 2 a2 _計，由离心率为5知:-=5又c2 = a2-2 渐近线方程为:aby - - - x，解得 y _ _2x。a设双曲线方程为：x22y C = 0)()，/yox=：，则 tan ： =2,4易求tan 2 一31 T i1sin 2： = op1 op2 tan 2 (x1x2 y1y2)2 29又叮 yi 2xi , y2 2x?，S书PP2 = 2xi x2 =9，则 xix2 = ?。-_ 1 T spP2 =2opitan 2：(也可用S opp2=丄 J5xi J5x2 sin 2。，又易求得 sin 2 =-
