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1、解析几何：直线与椭圆的位置关系一、直线与椭圆相交所成图形的面积问题例1.已知椭圆C的对称中心为原点O，焦点在X轴上，离心率为1，且点(1,3)在该椭圆上.(I)求椭圆C的方程;(II)过椭圆C的左焦点F的直线I与椭圆C相交于A, B两点，若AAOB的面积为：，17求直线l的方程.X 2例2.直线y = kx + b与椭圆彳+ y2 =1交于A、B两点，记 AOB的面积为S .当I AB = 2，S = 1时，求直线AB的方程.例3.在平面直角坐标系xOy中，动点P到两点(f3，0)、(.瓦0)的距离之和等于4,设点P的轨迹为曲线C，直线l过点E (-1,0)且与曲线C交于A、B两点.(I) 求
2、曲线C的轨迹方程；(II) 是否存在 AOB面积的最大值？若存在，求出 AOB的面积；若不存在，说明理由.练1._ X2y 21已知椭圆C :云+江=1(司 0)的右焦点为孕顷，离心率为2 -(I)求椭圆C的方程及左顶点P的坐标;一36(I)设过点F的直线交椭圆C以，B两点，若ApAB的面积为汀，求直线AB的方程.练2.已知椭圆M :X2 +与= 1(。 0)的一个焦点为F(-1,0)，左右顶点分别为A、B .经过 a 23点F的直线l与椭圆M交于C、D两点.(I)求椭圆方程；(I)当直线l的倾斜角为45。时，求线段CD的长；(III)记AABD与AABC的面积分别为S和S2，求I - S2
3、I的最大值.x 2 y 2,练3.已知椭圆M : + ： = 1(a b 0)，其短轴的一个端点到右焦点的距离为2，a 2 b 2且点A (/2,1)在椭圆M上，直线l的斜率为、，且与椭圆M交于B、C两点.(I) 求椭圆M的方程；(II) 求AABC面积的最大值.x 2 V 2例4.已知椭圆亏+ ： = 1的左、右焦点分别为F1、 .过F1的直线交椭圆于B、D两点，过F的直线交椭圆于A、C两点，且AC 1 BD，垂足为P .求四边形ABCD的面积 2的最小值._ X2 V 26例5.已知椭圆C : + ： = 1(ab 0)的e =上厂，短轴一个端点到右焦点的距离为必.a 2 b3(I) 求椭
4、圆C的方程；_(II) 设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为M3 ,求AAOB2面积的最大值.练4.已知椭圆G :彳+ y2 =1,过点(m,0)作圆x 2 + y2 =】的切线1交椭圆G于A, B两点，(I) 求椭圆G的焦点坐标及离心率；(II) 将I AB I表示为m的函数，并求I AB I的最大值；X 2 V 213练5.已知椭圆G :+ = 1( a b 0)的离心率e =，且经过点P(1T).a 2 b 222(I)求椭圆G的方程；,1-(I)设直线l: y = 5 X + m与椭圆G交于A、B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点T，当m变化时，求TAB面积的最
5、大值.练6.在平面直角坐标系xOy中，椭圆G的中心为坐标原点，左焦点为(-1,0)，P为椭圆G的上顶点，且ZPFO = 45。.1(I)求椭圆G的标准方程；(II)已知直线l ： y = kx + m1与椭圆G交于A，B两点，直线12: y = kx + m(m丰m2) 与椭圆G交于C，D两点，且I AB I=I CD I，(i) 证明：m + m = 0 ；(ii) 求四边形ABCD的面积S的最大值.二、直线与椭圆相交所成直角、定角问题例1.椭圆C: + = = 1(。 b 0)的离心率为三-,且过(2,0)点. a 2 b 22(I) 求椭圆C的方程；(II) 设直线l: y =工+ m与
6、椭圆C交于A, B两点，O为坐标原点，若Z AOB为直角， 求m的值.3 八例2.已知焦点在工轴上的椭圆C过点(0,1)，且离心率为Q为椭圆C的左顶点.(I) 求椭圆C的标准方程；6 一 (II) 已知过点(一E,0)的直线l与椭圆C交于A，B两点.(i) 若直线1垂直于x轴，求ZAQB的大小；(ii) 若直线l与x轴不垂直，是否存在直线l使得QAB为等腰三角形？如果存在，求出直线l的方程；如果不存在，请说明理由.练1.已知椭圆兰+兰=1( a b 0)的长轴长为4，且点(1-)在椭圆上. a 2 b 22(I) 求椭圆的方程；(II) 过椭圆右焦点的直线l交椭圆于A、B两点，若以AB为直径的
7、圆过原点，求直线l方程练2.在直角坐标系xOy中，点M到点F (r3,0),F (思,0)的距离之和是4，点M的轨迹 _12是C，直线l: y = kx +克与轨迹C交于不同的两点P和Q.(I) 求轨迹C的方程；(II) 是否存在常数k，使OP - OQ = 0?若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由.练3.已知过点M(0,3)的直线l与椭圆C :胃+ x2 = 1交于A、B两点，且ZAOB为锐角4(其中O为坐标原点)，求直线l的斜率k的取值范围.练4.已知椭圆C:x2+y2=1(ab0)的右焦点为F(1,0)，M为椭圆的上顶点，且 OMF a 2 b2是等腰直角三角形.(I) 求椭圆的方程
8、；(II) 是否存在直线l交椭圆于P，Q两点，且使点F为 PQM的垂心(垂心：三角 形三边高线的交点)？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由.三、直线与椭圆相交所成定值、定点问题例1.椭圆C中心在原点，焦点在工轴上，焦距为2,短轴长为2 b 0)的左、右焦点分别为F1, F 2，点M (0, 2)是椭圆的一个顶点，AM是等腰直角三角形.(I) 求椭圆的方程；(II) 过点M分别作直线MA、MB交椭圆于A、B两点，设两直线的斜率分别为 k 1、k2，且ki + k2 = 8，证明：直线AB过定点，并求出定点的坐标.练1.已知椭圆C:三+ b2 = 1(a b 0)的两个焦点分别为F (
9、-2,0)，FG/2,0)，点M (1,0)与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直.(I) 求椭圆C的方程；(II) 过点M (1,0)的直线l与椭圆C相交于A、B两点，设点N (3,2)，记直线AN、BN 的斜率分别为匕、，求证：kk2为定值.练2.已知椭圆的两个焦点(-J3，0)、(3，0)，过F且与坐标轴不平行的直线m与 椭圆相交于M、N两点，如果AMNF的周长等于8 .2(I) 求椭圆的方程；(II) 若过点(1，0)的直线l与椭圆交于不同两点P，Q，试问在x轴上是否存在定点 E (m，0)，使PE- QE恒为定值？若存在，求出E的坐标及定值；若不存在， 说明理由.x 2 y 2练3.已知
10、直线1 ： x = my)与椭圆C + =1。 0)相交于E,F两点，与x轴9 t8相交于点B，且当m = 0时，I归尸1= .(I) 求椭圆C的方程；(II) 设点A的坐标为(-3,0)，直线AE AF与直线x = 3分别交于M、N两点.试判断以MN为直径的圆是否经过点B ?并说明理由.一尤2 V 22例3.已知椭圆C :一 + ： = 1(a b 0)的离心率为二厂，且经过点M(2,0). a 2 b 22(I) 求椭圆C的标准方程；(II) 设直线/: V = kx + m与椭圆C相交于A( x , y ), B( x , y )两点，连接MA, MB并1122延长交直线X = 4于P,
11、 Q两点，设y , y分别为点P, Q的纵坐标，1111、:、。且一+ = + .求证：直线I过定点.% v2 yp vq例4.已知E(2,2)是抛物线C: y2 = 2 px上一点，经过点(2,0)的直线l与抛物线C交于A、B两点(不同于点E )，直线EA、EB分别交直线x = 2于点M、N .(I) 求抛物线方程及其焦点坐标；(II) 已知O为原点，求证：AMON为定值.练4.椭圆C的中心为坐标原点O，点AA2分别是椭圆的左、右顶点，B为椭圆的上顶点， 一个焦点为F(以3,0)，离心率为寸.点M是椭圆C上在第一象限内的一个动点，直线A1M与y轴交于点p，直线a2m与y轴交于点Q .(I)
12、求椭圆c的标准方程；(II) 若把直线MA,MA的斜率分别记作k ,k，求证：kk =1 ；12121 24(III) 是否存在点M使| PB 1= 1| BQ I?若存在，求出点M ；若不存在，说明理由.练5.如图，已知抛物线y2 = 4x的焦点为f .过点P(2,0)的直线交抛物线于A(xy1)，B(%,马两点，直线AF、BF分别与抛物线交于点M、.(I)求yy2的值；(I)记直线MN的斜率为ky直线AB的斜率为k .证明：,为定值.k2四、直线与椭圆相交中点弦问题一 X 2 V 2例1.设椭圆C :一 + ： = 1(a b 0),斜率为1的直线(不过原点O )与椭圆C相交于 a 2 b
13、 2A,B两点，M为线段AB的中点.问：直线AB与OM能否垂直？说明理由.例2.已知椭圆C ： += 1(a b 0)的右焦点为F(2,0)，且过点p(2,寸2) .直线I过点 a 2 b 2F且交椭圆C于A、B两点.(I) 求椭圆C的方程；1，(II) 若线段AB的垂直平分线与x轴的交点为M (号,0)，求直线l的方程._ X2 V 21例3.已知椭圆C : + ： = 1(a b 0)的一个焦点是F (1,0)，且离心率为一 a 2 b 22(I)求椭圆C的方程；(I)设经过点F的直线交椭圆C于M,N两点，线段MN的垂直平分线交V轴于点P(0, V0)，求V0的取值范围.X 2 V 2例4
14、.如图，椭圆一+ = 1(a b 0)的左焦点为F，过点F的直线交椭圆于A,B两点. a2 b2当直线AB经过椭圆的一个顶点时，其倾斜角恰为60.(I) 求该椭圆的离心率；(II) 设线段AB的中点为G，AB的中垂线与x轴和v轴分别交于D, E两点.记XGFD的面积为气，AOED (O为原点)的面积为S2，求S-的取值范围.2x 2 V 23练1.已知椭圆C: = l(a b 0)的左焦点F(1,0)，点E(1吁)在椭圆C上.a 2 b 22(I) 求椭圆C的方程；(II) 过左焦点F斜率为k (k。0)的直线l交椭圆C于A, B两点，过弦A, B的中点P作垂直平分线与V轴相交于点D .若偌;=*3，求直线l的方程.I AB I 6 X 2 V 21练2.设椭圆C: + =1(a b 0)的左、右焦点分别为F、F ,离心率为，左焦点F a 2 b 21221至U直线l: X-0 V 3 = 0的距离等于长半轴长.(I
