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1、.初中圆的定理和公式汇总1不在同一直线上的三点确定一个圆。 BA 圆：由定点到定长点的集合叫做圆。符号0 弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦。弦： 经过圆心的弦叫直径 半径不同，圆心相同的两个圆叫做同心圆 同圆、等圆或半径相同的叫做等圆两个完全重合的弧叫等弧 经过平面上一点可画无数个圆；经平面上二点可画无数个圆； 在三角形外画一个圆的圆心叫做此三角形的外心，此圆为三角形的外接圆。 外心：三角形三条中垂线的交点。 三角形三个顶点在圆上，这个三角形叫圆的内接三角形。2垂径定理： 垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧推论1 平分弦不是直径的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 弦的垂直平分线
2、经过圆心，并且平分弦所对的两条弧 平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 推论2 圆的两条平行弦所夹的弧相等3圆是以圆心为对称中心的中心对称图形 4圆是定点的距离等于定长的点的集合 5圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合 6圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合 7同圆或等圆的半径相等 8到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半 径的圆 9定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦 相等，所对的弦的弦心距相等10推论 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两 弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相
3、等11定理 圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它 的内对角 12直线L和O相交 dr直线L和O相切 d=r 直线L和O相离 dr 13切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线14切线的性质定理圆的切线垂直于经过切点的半径15推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点16推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心17切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等， 圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角18圆的外切四边形的两组对边的和相等19弦切角定理弦切角等于它所夹的弧对的圆周角20推论 如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等30相交
4、弦定理 圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积 相等 31推论 如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的 两条线段的比例中项32切割线定理 从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割 线与圆交点的两条线段长的比例中项 33推论 从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等34如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上35两圆外离 dR+r 两圆外切 d=R+r两圆相交 R-rdR+r(Rr) 两圆内切 d=R-r(Rr) 两圆内含dR-r(Rr) 36定理 相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦37定理 把圆分成n(n3): 依次连结各分点所得的多边形是
5、这个圆的内接正n边形经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形38定理 任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆39正n边形的每个内角都等于n-2180n 40定理 正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形 41正n边形的面积Sn=pnrn2 p表示正n边形的周长 42正三角形面积3a4 a表示边长 43如果在一个顶点周围有k个正n边形的角，由于这些角的和应为 360，因此k(n-2)180n=360化为n-2(k-2)=4 44弧长计算公式：L=n兀R180 45扇形面积公式：S扇形=n兀R2360=LR2 46内公切线长=
6、d-(R-r) 外公切线长= d-(R+r) 47定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半48推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等49推论2 半圆或直径所对的圆周角是直角；90的圆周角所 对的弦是直径切线长定理、弦切角定理、切割线定理、相交弦定理以及与圆有关的比例线段1.切线长概念切线长是在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长度，“切线长是切线上一条线段的长，具有数量的特征，而“切线是一条直线，它不可以度量长度。 2.切线长定理如图1对于切线长定理，应明确1假设圆的两条切线相交，那么切线长相等；2假设两条切线平行，那么圆上两个切点的
7、连线为直径；3经过圆外一点引圆的两条切线，连结两个切点可得到一个等腰三角形；4经过圆外一点引圆的两条切线，切线的夹角与过切点的两个半径的夹角互补；5圆外一点与圆心的连线，平分过这点向圆引的两条切线所夹的角。3.弦切角如图2：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角。图2图1直线AB切O于P，PC、PD为弦，图中几个弦切角呢？四个APC,APD,BPD,BPC4.弦切角定理：弦切角等于其所夹的弧所对的圆周角。即如上图中APC=CDP等证明：如图2，连接CD、OC、OP，因为CPO=PCO,所以COP=180-2CPO而CPO=90-APC,故COP=2APC,即CDP=APC。5.弄清和圆有
8、关的角：圆周角，圆心角，弦切角，圆内角，圆外角。6.遇到圆的切线，可联想“角弦切角，“线切线的性质定理及切线长定理。7.与圆有关的比例线段定理图形结论证法相交弦定理O中，AB、CD为弦，交于P.PAPBPCPD连结AC、BD，C=B,A=D,所以APCDPB相交弦定理的推论O中，AB为直径，CDAB于P.PC2PAPB用相交弦定理.切割线定理O中，PT切O于T，割线PB交O于APT2PAPB连结TA、TB，那么PTA=B弦切角等于同弧圆周角所以PTAPBT，所以PT2PAPB切割线定理推论PB、PD为O的两条割线，交O于A、CPAPBPCPD过P作PT切O于T，用两次切割线定理圆幂定理O中，割
9、线PB交O于A，CD为弦PCPDr2OP2PAPBOP2r2r为O的半径延长PO交O于M，延长OP交O于N，用相交弦定理证；过P作切线用切割线定理勾股定理证8.圆幂定理：过一定点P向O作任一直线，交O于两点，那么自定点P到两交点的两条线段之积为常数|R为圆半径，因为叫做点对于O的幂，所以将上述定理统称为圆幂定理。例1.如图1，正方形ABCD的边长为1，以BC为直径。在正方形内作半圆O，过A作半圆切线，切点为F，交CD于E，求DE：AE的值。图1例2.O中的两条弦AB与CD相交于E，假设AE6cm，BE2cm，CD7cm，求CE。图2例3.PA是圆的切线，PCB是圆的割线，那么_。例4.如图3，
10、P是O外一点，PC切O于点C，PAB是O的割线，交O于A、B两点，如果PA：PB1：4，PC12cm，O的半径为10cm，那么圆心O到AB的距离是_cm。图3例5.如图4，AB为O的直径，过B点作O的切线BC，OC交O于点E，AE的延长线交BC于点D，求证：1；2假设ABBC2厘米，求CE、CD的长。图4例6.如图5，AB为O的直径，弦CDAB，AE切O于A，交CD的延长线于E。求证：图5例7.如图6，PA、PC切O于A、C，PDB为割线。求证：ADBCCDAB图6例8.如图7，在直角三角形ABC中，A90，以AB边为直径作O，交斜边BC于点D，过D点作O的切线交AC于E。求证：BC2OE。图
11、7例9.如图8，在正方形ABCD中，AB1，是以点B为圆心，AB长为半径的圆的一段弧。点E是边AD上的任意一点点E与点A、D不重合，过E作所在圆的切线，交边DC于点F，G为切点。当DEF45时，求证:点G为线段EF的中点；图8【模拟试题】答题时间：40分钟一、选择题 1.：PA、PB切O于点A、B，连结AB，假设AB8，弦AB的弦心距3，那么PA A.20/3 B.25/3 C. 5 D. 8 2.以下图形一定有内切圆的是 A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.梯形 3.：如图1直线MN与O相切于C，AB为直径，CAB40，那么MCA的度数图1 A. 50 B. 40 C. 60 D. 55
12、 4.圆内两弦相交，一弦长8cm且被交点平分，另一弦被交点分为1：4，那么另一弦长为 A. 8cm B. 10cm C. 12cm D. 16cm 5.在ABC中，D是BC边上的点，AD=cm，BD3cm，DC4cm，如果E是AD的延长线与ABC的外接圆的交点，那么DE长等于 A. cm B. cm C. cm D. cm 6. PT切O于T，CT为直径，D为OC上一点，直线PD交O于B和A，B在线段PD上，假设CD2，AD3，BD4，那么PB等于 A. 20 B. 10 C. 5 D. 二、填空题 7. AB、CD是O切线，ABCD，EF是O的切线，它和AB、CD分别交于E、F，那么EOF_度。 8.：O和不在O上的一点P，过P的直线交O于A、B两点，假设PAPB24，OP5，那么O的半径长为_。 9.假设PA为O的切线，A为切点，PBC割线交O于B、C，假设BC20，PA=，那么PC的长为_。 10.正ABC内接于O，M、N分别为AB、AC中点，延长MN交O于点D，连结BD交AC于P，那么=_。三、解答题 11.如图2，ABC中，AC2cm，周长为8cm，F、K、N是ABC与内切圆的切点，DE切O于点M，且DEAC，求DE的长。图212.如图3，P为O的直径AB延长线上一点，PC切O于C，CDAB于D，求证：CB平分DCP。图3 13.如图4，AD为O的直径，A
