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1、椭圆离心率的解法一、运用几何图形中线段的几何意义。基础题目：如图，0为椭圆的中心，F为焦点，A为顶点，准线L交0A于B, P、Q在椭圆上,| PF| QF| A0|PDL L于D, QF丄AD于 F,设椭圆的离心率为 e,则e= | pp|e= | BF |e=|BO|I AF|FBAe=I F0|hAO!DB评：AQP为椭圆上的点，根据椭圆的第二定义得，。| A0| =a, | 0F| =c, 有；TA0| =a, |B0| =a2c有。x2y2题目1 ：椭圆+=1(ab 0)a2b2的两焦点为F1、F2，以F1F2为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的两边，则椭圆的离心率e ?思路：A点
2、在椭圆外，找a、b、c的关系应借助椭圆，所以取 AF2的中点B,连接BF1 ,把 已知条件放在椭圆内，构造F1BF2分析三角形的各边长和关系。解：| F仆2| =2c | BF1 | =c | BF2| = 3cc+ 寸 3c=2a+变形1：椭圆x2a2y2b2=1(ab 0)的两焦点为F1、F2 ,点P在椭圆上，使 0PF1为正三角形，求椭圆离心率？解：连接 PF2 ,则丨 0F2| = | OF1 | = | 0P| , / F1PF2 =90 图形如上图，e=, 3-1变形2:x2椭圆-+ y2=1(ab 0)的两焦点为F1、F2，AB为椭圆的顶点, b2P是椭圆上一解：T| PF1 |
3、b2aI F2 F1 | =2c | OB| =b | 0A| =aPF2 / AB| PF1 |= b| F2 F1 | = o又/ b=a2-c2-a2=5c2 e=,55a与c的方程点评：以上题目，构造焦点三角形，通过各边的几何意义和关系，推导有关 式，推导离心率。、运用正余弦定理解决图形中的三角形题目2：椭圆X2- +号厂=l(ab 0) , A是左顶点，F是右焦点，B是短轴的一个顶点，/ a2 b2ABF=90，求 e?解：| A0| =a | 0F| =ca2I BF | =a | AB | = a2+b2 a2+b2+a2 =(a+c)2 =a2+2ac+c2 a2-c2-ac=
4、0两边同除以-1+-1入e2+e-仁0 e= 2 e= 2(舍去)变形:顶点，点评：案：90椭圆X2- + 嘗=1(ab 0)，e】1；5 , A 是左顶点,求/ ABF?此题是上一题的条件与结论的互换，解题中分析各边，OF是右焦点，B是短轴的一个由余弦定理解决角的问题。答引申：此类。=一2的椭圆为优美椭圆。性质：1、/ ABF=90 2、假设下端点为 B1 ,则ABFB1四点共圆。3、焦点与相应准线之间的 距离等于长半轴长。总结：焦点三角形以外的三角形的处理方法根据几何意义，找各边的表示，结合解斜三角形公式，列出有关e的方程式。2一=1(ab 0)，过左焦点F1且倾斜角为60的直线交椭圆与
5、AB两占八、：若|F1A| =2 |BF1 |,求e?解:设|BF1 | =m则|AF2 | =2a-am| BF2|+=2a-mx2题目3：椭圆-在厶AF1F2和厶BF1F2中，由余弦定理得:a2 - c2=m(2a-c)2(a2-c2)=m(2a+c)两式相除-2a-c2a+ce=3题目x2 y24:椭圆02一 +，b5_=1(ab 0)的两焦点为 F1(-C, 0)、F2 (c,0), P是以 | F仆2|为直径的圆与椭圆的一个交点，且/ PF1F2 =5 / PF2F1 ,求 e?分析：此题有角的值，可以考虑正弦定理的应用。解：由正弦定理:| F1F2 | F1P |sin F1PF2
6、 = sin F1F2P| PF2|sin PF1F2根据和比性质：| F仆2 | F1P| + | PF2|sin F1PF2 = sin F1F2P+sin PF1F2变形得:| F1F2| PF2 | + | F1P|sin F1PF2sin F1F2P +sin PF1F22c =e2a/ PF1F2 =75 Z PF2F1=15 3e=sin F1F2P +sin PF1F2sin a +sin(120 - a )1 12sin( a +30 ) / 21寸 eb 0)的两焦点为F1 (-c , 0)、F2 (c,0) , P是椭圆上一点, a2 b2且/ F1PF2 =60。，求e
7、的取值范围？ 分析：上题公式直接应用。解：设/ F1F2P=a,则/ F2F1P=120 - asin F1PF2sin60x2 y2变形2:已知椭圆 + 42 =1 (t0) F1F2为椭圆两焦点，M为椭圆上任意一点(M不与1aR 1长轴两端点重合)设/ PF1F2=a , / PF2F1=R若yvtan y tan R2，求e的取值范围?分析：运用三角函数的公式，把正弦化正切。解；根据上题结论sin F1PF2e=sin F1F2P +sin PF1F2sin( a + R ) sin a +sin Ra + R a + R2sin 2 cos -a + R a - R2sincos -2
8、 2acos 2 cosR . a . R2-sin 2-sinaRaRcos cos +sin -sinaR1- tan tan 2 2=eaRtan 2 21- tan1 1-e1v_3 1+e21 13eb 0)，斜率为1,且过椭圆右焦点 F的直线交椭圆于 A、Ba2 b2两点，OA+OB与 a =(3,-1)共线，求e?法一：设 A(x1,y1) ,B(x2,y2)b2x2+a2y2=a2b2y=x-c(a2+b2)x2-2a2cx+a2c2-a2b2=0x1+x2=2a2ca2+b2y1+y2=2a2c -2b2ca2+b2-2C= a2+b2OA+OB=(x1+x2,y1+y2)与
9、(3, -1 )共线，则e=(x1+x2) =3(y1+y2)既 a2=3b2 法二：设AB的中点N,则20M0AH0Bx12y12+=1a2b2x22+旦=1a2b2-得:y1-y2b2x1 +x2x1-x2 -a2y1+y2b2仁莎(-3)既 a2=3b2e=四、由图形中暗含的不等关系，求离心率的取值范围。题目6:椭圆x2a2+=1(ab 0)的两焦点为 F1(-C , 0 )、F2 (c,0)的点M总在椭圆内部，贝U e的取值范围?=0 以F1F2为直径作圆,M在圆0上，与椭圆没有交点。解： c2c20eb 0)的两焦点为F1(-c, 0)、F2 (c,0)，P为右准线 L 上一点，F1
10、P的垂直平分线恰过 F2点，求e的取值范围?分析：思路1,如图F1P与F2M垂直，根据向量垂直，找a、b、c的不等关系。思路2：根据图形中的边长之间的不等关系，求e解法一：F1丹b2既(，vp_,2c2MF2 =-(b22cta2) 则 PF1 =-(+c, y0 )ca2(-c, 0) F2 (c,0) P( ,y0 ) c-c,M(a2 -cc y01-)2 ，2丿解法2:| FiF2| =1 PF2|=2ca2nrta2a21PF2 1一-c则2c -c 3c ccc33c2 a2贝w ei3设椭圆2 x2 a2b21 (a b 0)的左、右焦点分别为F,、F2，如果椭圆上存在点P,使a
11、2(+c，y0) ( b2-c,a2b2y02(-+c) ( c2c -c)lT-=0a2-3c2 w 0 w eiF,PF290，求离心率e的取值范围。解法1 ：利用曲线范围设 P(x，y)，又知 Fi( c, 0), F2 (c, 0)，则FiP (x c，y)， F2P (x c，y) 由 F, PF2 90，知 F,P F2P，则 Fi P F2P0，即(x c)(x c) y20222得xy c将这个方程与椭圆方程联立，消去2 2 2, 22 a c a bx 2 2a b但由椭圆范围及2 2x a2 22 2a c a b2ay，可解得F1PF290可得c2 b2，从而得所以e解法2:由椭圆定义知b2a2即c2且 c2a2ce _a2 、丁，1)利用二次方程有实根2 2 2|PFi| |PF2| 2a |PFi| |PF2| 2|PFi|PF2| 4ac2）0的两个实根，因此8(a2c2) 0c21a222又由 F1PF290，知|PFIPF2I2 IF1F2I2 4c2 则
