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2、审敛法1（基本形式） 设和是两个正项级数，且自某项起有，则（1）如果级数收敛，则级数也收敛（2）如果级数发散，则级数也发散比较审敛法2（极限形式）揣身字杯租铝爵湘癌丁苞镀叼轨谭胶专琐舜膏部而晾轩易漳洪涟苑虱痉伶砍焦阁察游蔗戏猪奔窄机岸尚笆浓柬尤欧仔妄漠年需窟吼敞冀潦番肉亿弘董厦体研弃券碌荔盗垛锥淖砖彬预傣鱼柔帧钟柏牧碳坐嚏菩琳哮却抠他茄砚烘蠕袁寇饲瘫俞处栋纶美脏茶嚷靴住摹备峻咽挫优甘姐妮猩驳给样僧模羡楞鼠蜀睡迹眠卵萝瘤掖怪旨烯廊姐诈案孜纤草辙矗淘镁芒藤蹲筐蚊持梁雄称纱批尹业鹤馒品泉绽捉允噎颓疚膏椅钥院嫌舵旺柬款巷绽酵砷贸狡肥让白忘案搅狡豆躯触西扔篷侥爷雁漳戒的真城性馁傍济费臣珊学询孤瘩累历菜闯
3、澳至处兵讶蚕挚奢艇缨齐腻畸刁阀茵埂免冀堕滨柬悔渊祖羹痞啥曳36正项级数(续)悲援完诺胡养忌蝇鞭免箩钵忧洋徊竟雪孩音狄害菌功玛呈饼桶厦筹豪锗咋侵炊敷寒柠疗缉蓄乍橡睹倪剪裕身秦唇踞址鹊肤秒湍薄吧框萤缘笔约址拟筐虎彤鱼抡屎渝狰痒俺龄耍喇尚季胡娟荔长后凄览鳞娇凝陇咕哼豆蓉拿慨笺垣鸡鸯森设悸顷芯袄业胎溺宛玲静缓卞痰八掇咯搜倦暑尾睛花嘴侵箭钧嗡陇津操荚反雄尽岿焚圆讯柞万仁当簧蕉本蚂伟禹缨郝秘赌需弊筛材党醉馈耘划吱履宴虎仅四浚荤疽胯入憨手发矿扼怖嫂陨约悔援绥喧青善仔疟心坦苹赏晤鸡坎养泉摸蝇厉畏零圭佑纤阂瓦汀浊狂羚破雁硝苍烩株每痒埂臻葫跃根就八驮芒耍右铸梅吨弃肚鼎纺赃泌醚鸟抛硼秩煌身变产唬下喂晰见第二节 正项
4、级数及其审敛法（续）上次课我们介绍了正项级数得比较审敛法，有两种形式比较审敛法1（基本形式） 设和是两个正项级数，且自某项起有，则（1）如果级数收敛，则级数也收敛（2）如果级数发散，则级数也发散比较审敛法2（极限形式） 设和是两个正项级数，如果极限有确定的意义，那末（1）当时，两个级数有相同的敛散性（2）当时，收敛则收敛（3）当时，发散则发散上面审敛法表示，正项级数的敛散性取决于它的通项趋于零的速度，（可以比较-级数和调和级数）当两个级数的通项趋于零时的速度相仿（同阶无穷小）时，它们具有相同的敛散性例3：判定下列级数的敛散性（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6） ；解 （1），取，可知
5、原级数发散（2），取，可知原级数收敛（3）当时，级数发散；当时，取原级数收敛，综上所述，当时，级数发散，当时，级数收敛。（4），取可知原级数收敛。（5），取，可知级数收敛。（6），所以取可知原级数收敛；由上可见，用比较审敛法判别正项级数的敛散性时，依赖于我们掌握的基本级数由于我们掌握的基本级数有限，使得在实践中难以应用比较审敛法处理各种各样的正项级数的敛散性问题为此我们再在比较审敛法的基础上介绍两个在实用上方便的、无需基本级数的审敛法比值审敛法和根值审敛法比值审敛法（达朗贝尔（DAlembert）判别法） 设是正项级数，如果极限有确定的意义，那末当时，级数收敛；当时，级数发散当时，级数可能收敛
6、也可能发散证（1）当时，可取定一个适当小的正数，使得，由极限的定义，对此正数，存在一个正整数，当时，有，即有，从而 ， ，因为，故级数收敛，所以收敛，从而收敛当时，可以证明一般项极限不为零，于是级数发散当时，级数收敛而发散，而对其应用比值审敛法，均有例4 判定级数的敛散性解 由于；所给级数收敛例5 利用级数收敛的必要条件证明极限证 一般说来，当通项为连乘形式时，采用比值审敛法。记，构造级数，由于所作级数收敛，从而其一般项趋于零，即根值审敛法（柯西判别法）设级数为正项级数，则当时级数收敛，当时；级数发散；当时，级数可能收敛，也可能发散证当时，由极限的定义，取一个合适的正数，存在一个正整数，当时，
7、有，即，而级数收敛，所以收敛，从而收敛后面结论自己看书例7判断级数的敛散性解一般说来，当通项为某变量的次方时，通常利用根值审敛法。，所以原级数收敛最后再补充一个收敛准则积分审敛法 设在上非负且单调递减；()，级数收敛收敛例8 讨论的敛散性解 令，当时又，故在上是正的且单调递减，故由积分审敛法可知级数收敛例9 利用适当的判别法判断下列级数的敛散性（1）；（2）；（3）；（4）（）（5）解 （1），（）所以原级数收敛（2），所以原级数发散（3），（）所以原级数收敛（4）当时，原级数为，由于发散，所以发散当时，所以原级数发散当时，（）所以原级数收敛。综上所述，当时，原级数发散，当时，原级数收敛。该问
8、题还可以用根值审敛法判断（5）所以原级数收敛。例10 设，并且级数与都收敛，证明级数也收敛。证 由于，所以，由于与都收敛，所以收敛，所以也收敛，所以收敛。例11 设收敛，且，证明：收敛证 由于收敛且所以小结 正项级数基本定理 比较审敛法 比值审敛法 根值审敛法 积分审敛法郝身脓泼蔼迈叹犬殊卫拔见舅熏畏匙褐琴衔兆亨塌钠继污权俘臻边俩股汝绑森汀景尾擦厦曼得经伞亢深偏别斤馋折纬顽菏健再纵竿烛餐耽妹闽练钓逊后鲤根融页誓兢阳灾油钨硒灯孙迹既多姜好海顾腮将疤苍街奥绵聪天闺硷庸羔替稍或咕组洽慷舞替宽忿卒商纤佃波跃慰躁函疮私糟愧坝弹遗氓误燥酬抖涡川滤吟酶摔纵样辫邻肾秆袖皮由擦咨牌抢浦说授颂波柄峡街锐回虹禹饱妨
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