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1、广西民族师范学院数计系高等数学课程教案 课程代码：_ _ 061041210_总学时周学时： 51/3 开课时间： 2018年9 月16 日第 3周至第18周 授课年级、专业、班级：_制药本152班 使用教材：_ 高等数学_同济大学第7版_教研室： _ _数学与应用数学教研室_授课教师：_ _一、课程教学计划表章 次内 容讲 授实 践一函数与极限13二导数与微分8三微分中值定理与导数应用6四不定积分8五定积分6六定积分的应用6七复习4八九总学时51二、教案正文第一章 函数与极限（一）教学目的：1理解映射与函数的概念，掌握函数的表示方法，并会建立简单应用问题中的函数关系式。2了解函数的奇偶性、单
2、调性、周期性和有界性。3理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。4掌握基本初等函数的性质及其图形。5理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系。6掌握极限的性质及四则运算法则。7了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。8理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。9理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。10了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。（二）重点、难点1重点
3、 函数与复合函数的概念，基本初等函数与初等函数，实际问题中的函数关系，极限概念与极限运算，无穷小，两个重要极限公式，函数连续的概念与初等函数的连续性。 2难点 函数符号的运用，复合函数的复合过程，极限定义的理解，两个重要极限的灵活运用。（三）教学方法、手段：教师讲授，提问式教学，多媒体教学第一节 映射与函数一、映射1. 映射概念定义4.设X、Y是两个非空集合, 如果存在一个法则,使得对X中每个元素x, 按法则, 在Y中有唯一确定的元素y与之对应, 则称为从X到Y的映射, 记作f : XY.其中y称为元素x(在映射f下)的像, 并记作, 即,元素x称为元素y(在映射f下)的一个原像; 集合X称为
4、映射f的定义域, 记作, 即。X中所有元素的像所组成的集合称为映射的值域,记为 , 或f(X), 即 =f(X)=f(x)|xX. 注意:1)映射的三要素: 定义域 , 对应规则 , 值域 . 2)对每个xX,元素 x 的像 y 是唯一的; 但对每个yR元素y 的原像不一定唯一 . 例1设 f : RR, 对每个xR, f(x)=x2.f 是一个映射, f 的定义域Df =R,值域 =y|y0. 例2设X=(x, y)|x2+y2=1,Y=(x, 0)|x|1,f : XY,对每个(x, y)X,有唯一确定的(x, 0)Y与之对应.f 是一个映射, f 的定义域Df=X, 值域 =Y.在几何上
5、,这个映射表示将平面上一个圆心在原点的单位圆周上的点投影到x轴的区间-1, 1上.2、满射、单射和双射设f是从集合X到集合Y的映射.（1）若 =Y, 即Y中任一元素y都是X中某元素的像, 则称f为X到Y上的映射或满射;（2）若对X中任意两个不同元素x1x2, 它们的像f(x1)f(x2), 则称f为X到Y的单射;（3）若映射f既是单射, 又是满射, 则称f为一一映射(或双射). 从实数集（或其子集）X到实数集Y的映射通常称为定义在X上的函数.3. 逆映射与复合映射逆映射定义：设f是X到Y的单射, 则由定义, 对每个y , 有唯一的xX, 适合f(x)=y, 于是, 我们可定义一个从到X的新映射
6、g, 即g : X,对每个y , 规定g(y)=x, 这x满足f(x)=y. 这个映射g称为f的逆映射, 记作f -1, 其定义域为 , 值域为X . 按定义，只有单射才存在逆映射。例如, 映射其逆映射为复合映射定义：设有两个映射g : XY1, f : Y2Z, 其中Y1Y2. 则由映射g和f可以定出一个从X到Z的对应法则, 它将每个xX映射成fg(x)Z. 显然, 这个对应法则确定了一个从X到Z的映射, 这个映射称为映射g和f构成的复合映射, 记作f o g,即 f o g: XZ, (f o g)(x)=fg(x), xX . 说明：（1）映射g和f 构成复合映射的条件是： g的值域R必
7、须包含在 f 的定义域内，即R D f .（2）映射的复合是有顺序的,f o g有意义并不表示g o f 也有意义. 即使它们都有意义,f o g与g o f也未必相同.例3 设有映射 g : R-1, 1, 对每个xR, g(x)=sin x, 映射，对每个则映射g和f构成复映射f o g: R0, 1,对每个xR,有二、函数1. 函数的定义：设和是两个变量，是一个给定的数集，如果对于给定的每个数，变量按照一定法则总有确定的数值和它对应，则称是的函数，记作，数集叫做这个函数的定义域，叫做自变量，叫做因变量的取值范围叫函数的值域2. 定义域的求法原则：（1）分母不为零（2）（3）（4）（5）同
8、时含有上述四项时，要求使各部分都成立的交集3. 分段函数用两个以上表达式表达的函数关系叫分段函数如称为分段点4. 复合函数若，当的值域落在的定义域内时称是由中间变量u复合成的复合函数5. 反函数设函数的定义域为，值域为对于任意的，在上至少可以确定一个与对应，且满足如果把看作自变量，看作因变量，就可以得到一个新的函数：我们称这个新的函数为函数的反函数，而把函数称为直接函数说明：一个函数若有反函数，则有恒等式相应地有例如，直接函数的反函数为，并且有，由于习惯上表示自变量，表示因变量，于是我们约定也是直接函数的反函数6. 函数的性质（1）有界性有界定义：若有正数存在，使函数在区间上恒有，则称在区间上
9、是有界函数；否则，在区间上是无界函数上界定义：如果存在常数（不一定局限于正数），使函数在区间上恒有f(x)M，则称在区间上有上界，并且任意一个的数都是在区间上的一个上界；下界定义：如果存在常数，使在区间上恒有，则称在区间上有下界，并且任意一个的数都是在区间上的一个下界显然，函数在区间上有界的充分必要条件是在区间上既有上界又有下界（2）单调性严格单调递增：设函数在区间上的任意两点，都有（或），则称在区间上为严格单调增加（或严格单调减少）的函数严格单调递增：如果函数在区间上的任意两点，都有（或），则称在区间上为广义单调增加（或广义单调减少）的函数广义单调增加的函数，通常简称为单调增加的函数或非减函
10、数；广义单调减少的函数则简称为单调减少的函数或非增函数例如，函数在区间内是严格单调减少的；在区间内是严格单调增加的而函数在区间内都是严格单调增加的（3）奇偶性若函数在关于原点对称的区间上满足（或）则称为偶函数（或奇函数）偶函数的图形是关于轴对称的；奇函数的图形是关于原点对称的例如，在定义区间上都是偶函数而、在定义区间上都是奇函数（4）周期性对于函数，如果存在一个非零常数,对一切的均有，则称函数为周期函数并把称为的周期应当指出的是，通常讲的周期函数的周期是指最小的正周期7. 初等函数基本初等函数图1-1 幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数和常数这6类函数叫做基本初等函数这些函数在中
11、学的数学课程里已经学过（1）幂函数 它的定义域和值域依的取值不同而不同，但是无论取何值，幂函数在内总有定义当或时，定义域为常见的幂函数的图形如图1-1所示图1-2（2）指数函数 它的定义域为，值域为指数函数的图形如图1-2所示图1-3（3）对数函数 定义域为，值域为对数函数是指数函数的反函数其图形见图1-3在工程中，常以无理数e2.718 281 828作为指数函数和对数函数的底，并且记，而后者称为自然对数函数（4）三角函数三角函数有正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数、正割函数和余割函数其中正弦、余弦、正切和余切函数的图形见图1-4图1-4（5）反三角函数反三角函数主要包括反正弦函数、反余
12、弦函数、反正切函数和反余切函数等它们的图形如图1-5所示图1-5 图1-66常量函数为常数 （为常数）定义域为，函数的图形是一条水平的直线，如图1-6所示初等函数 通常把由基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的复合步骤所构成的并用一个解析式表达的函数，称为初等函数非初等函数经常遇到例如符号函数，取整函数等分段函数就是非初等函数在微积分运算中，常把一个初等函数分解为基本初等函数来研究，学会分析初等函数的结构是十分重要的作业 P16 第1题的（1）、（3）、（5）、（7）、（9）小结与思考：本节复习了中学学过的各种函数，应该熟记六种基本初等函数的性态，为后继课的学习作好准备1是否为初等函数？第
13、二节 数列的极限一、 数列极限的定义极限概念是由于求某些实际问题的精确解答而产生的引例 我国古代数学家刘徽（公元3世纪）利用圆内接正多边形来推算圆面积的方法割圆术，就是极限思想在几何学上的应用设有一圆，首先作内接正六边形，把它的面积记为；再作内接正十二边形，其面积记为；再作内接正二十四边形，其面积记为；循此下去，每次边数加倍，一般地把内接正边形的面积记为这样，就得到一系列内接正多边形的面积：它们构成一列有次序的数当越大，内接正多边形与圆的差别就越小，从而以作为圆面积的近似值也越精确但是无论取得如何大，只要取定了，终究只是多边形的面积，而还不是圆的面积因此，设想无限增大（记为，读作趋于无穷大），即内接正多边形的边数无限增加，在这个过程中，内接正多边形无限接近于圆，同时也无限接近于某一确定的数值，这个确定的数值就理解为圆的面积这个确定的数值在数学上称为上面这列有次序的数（所谓数列）当时的极限在圆面积问题中我们看到，正是这个数列的极限才精确地表达了圆的面积在解决实际问题中逐渐形成的这种极限方法，已成为高等数学中的一种基本方法，因此有必要作进一步的阐明数列的概念 如果按照某一法则，有第一个数，第二个数，这样依次序排列着，使得对应着任何一个正整数有一个确定的数，那么，这列有次序的数就叫做数列数列中的每一个数叫做数列的项，第项叫做数列的一般项例如：都是数列的例子，它们
